基于“课堂深度学习”的高中数学教学实践研究

［摘  要］ 在高中数学教学中，教师应巧妙地创设问题情境，激励学生主动发现问题、提出问题、分析问题和解决问题；以问题为核心，采用一题多解、多题归一的方式引导学生深入思考，促进深度学习真实发生.

［关键词］ 深度学习；零点；零点存在定理

自《中国学生发展核心素养》发布以来，深度学习与深度教学便成为教育研究领域中的热门话题［1］. 作为一位一线数学教师，笔者通过深入研究相关资料，认识到深度教学是为了学生核心素养发展的教学，是让学生深度参与数学学习过程，深刻理解数学内容的本质和思想，实现学生与教材、教师、生活经验深度对话，培养学生质疑反思习惯和思维能力的教学［2］. 数学深度教学过程不是一个告知与接受的过程，而是一个交流合作、深度探究、质疑反思的过程，是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程［3］. 据此，笔者对在核心素养指导下的数学深度教学有了新的理解，并引发了深入思考. 接下来，笔者以高三复习课“用导数探究函数的零点”为例，简要阐述笔者对深度教学的思考与实践.

教学分析

1. 教学内容分析

函数的单调性、极值、最大（小）值是函数的重要性质，它们是运用函数解析客观世界运动变化规律的关键所在. 导数，作为一种数学工具，专用于描述瞬时变化率，它能够定量地刻画函数的局部变化. 借助导数这个重要工具，可以更加精确地研究函数的性质，以及函数、方程和不等式等数学问题. 在高中数学教科书中，导数在函数中的应用主要涵盖三个方面：求函数图象的切线、判断函数的单调性、求函数的极值和最值．这三个看似简单的问题，却往往让学生望而生畏，原因是将导数问题包装了起来，其本质被掩盖了，从表面上看不出题目是在考查上述三个问题之一. 若想攻克这个难题，需要学生洞察问题的本质，利用转化与化归思想，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将不会解决的问题转化为能够解决的问题，最终实现问题的解决.

首先，从学生作业中发现的问题入手，引领学生深度剖析函数零点问题，通过转化与化归，将复杂问题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题． 通过经历“研究什么问题→转化成什么问题→构造函数→利用导数研究函数→解决问题”这一分析和解决问题的过程，梳理出解决函数零点问题的三种方法，形成一条通用的解题路径. 其次，通过变式习题的练习，发散数学思维，让学生能够阐述解决变式习题的基本步骤，深刻体会解题路径. 最后，通过考题的呈现，检验学生对知识的掌握程度，并在分析和解决问题的过程中，感悟用数学方法研究问题的基本过程．

2. 教学目标分析

教学目标如下：

（1）通过分析和解决函数零点问题，明确函数零点与方程根、两个函数图象交点之间的联系；能够构造恰当的函数，运用导数画出函数的大致图象，进而解决零点个数的问题；同时，能够利用函数零点存在定理进行论证，并能利用规范格式书写解答.

（2）在研究函数零点问题的过程中，体会数形结合思想，领悟导数在分析函数图象和性质中的关键作用，从而提高逻辑分析和转化与化归的能力.

（3）在分析函数图象变化趋势的过程中，发展逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．

实现上述目标的标志包括：

（1）通过研究函数f（x）=lnx－ax+1（a∈R）的零点问题，学生能够把函数的零点、方程的根、图象的交点三者等价转换，并总结出解决函数零点问题的三种方法；能够利用导数确定函数的单调区间，并在绘制函数图象时，体会零点存在定理、定点、函数值符号、极限等性质的应用；通过自主变式和考题演练，深化学生对通性通法的理解和掌握；课堂上，通过教师板书、学生板演，规范学生的书写格式，完善解决导数问题的常规方法.

（2）通过对具体函数零点问题的深度剖析，将复杂问题转化为简单问题，培养学生的转化与化归思想；在使用导数研究简单含参函数性质的过程中，能够正确地分类讨论并解决问题；能够将含有量词（任意或存在）的不等式问题转化为函数的最值问题，并利用导数解决问题.

（3）通过对条件和结论的变式探究，培养学生的创新思维；通过设计问题串，引导学生深入探究，让学生经历思考、推理、变式、应用、反思等过程，使学生在学习知识的同时学会深入思考，从而将数学学科核心素养的培养落到实处.

3. 教学重点和难点

教学重点：利用导数研究函数的图象.

教学难点：合理转化函数零点问题.

教学过程

1. 回顾反思习题，梳理总结方法

在课前的作业题目中，学生对以下例题的解答情况并不乐观. 这既说明学生对这部分知识的掌握程度有待提高，也反映学生的解题能力、知识迁移能力和对已有知识的加工创造能力欠佳.

例题 若函数f（x）=lnx－ax+1（a∈R）有两个零点，求a的取值范围.

（1）解题方法

（2）学生问题

①基础知识不扎实，知识结构不完整. 从学生的作业情况来看，班上有部分学生已经掌握了基本知识和基本方法，能够独立且较为顺利地解决常见的函数零点问题. 然而，大多数学生对函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标的转化不够熟练. 他们对零点存在定理的应用掌握得不够深入，对参数的分类讨论标准也不够严谨. 此外，学生还没有形成利用导数研究函数性质的一般解题路径，缺乏构建知识结构间逻辑关系的能力.

②解题方法不全面，变形转化不熟练. 深度学习的关键在于深入研究和思考. 笔者对班上不同层次的学生进行访谈后得知，他们普遍存在的问题是对题目整体认识和分析的意识比较差，缺乏对函数性质的整体关注. 例如，许多学生拿到题目后就直接求导，而不是先观察函数的解析式，判断函数是否过定点，或者能否直接得出函数的单调性. 这反映学生在解题方法和技巧方面存在不足. 此外，部分学生提到，拿到函数题目时，不知道应该怎样变形处理. 这表明学生通过转化与化归解决问题的能力有待提高.

（3）解法梳理总结

解析与点评 这三种解法各具特色. 首先，对已知条件进行转化，解法1和解法2利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理画出函数的草图，问题迎刃而解. 这两种解法思路清晰，推理严谨，表述规范.解法3展现了数形结合思想，直观明了，但其严谨性略显不足. 因此，若此题为解答题，学生在选择解法时需格外谨慎.

2. 自主变式习题，激发创新思维

深度探究是指学生深入探讨问题情境，从数学的角度出发，提出问题、分析问题并解决问题. 然而，许多学生的思维往往局限于既定题目之内. 鉴于此，笔者引导学生从出题者的角度出发，把题目的各个条件按照一定的思维逻辑进行变式拓展，从而形成变式链［4］. 这有助于打通学生的解题思维脉络.

师：上述解题方法是否适用于一般的函数零点问题呢？能否通过变换题目条件或结论来检验自己对知识和方法的掌握是否牢固，以及应用是否得心应手？

生1：改变函数解析式，即把对数函数换成指数函数或者其他函数.

变式1：若函数f（x）=ex－ax－1（a∈R）有两个零点，求a的取值范围.

生2：改变参数的位置.

变式2：若函数f（x）=alnx－x+1（a∈R）有两个零点，求a的取值范围.

生3：变成恒成立问题，求参数的取值范围.

变式3：已知函数f（x）=lnx－ax+1（a∈R），若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围.

生4：变成能成立问题.

变式4：已知函数f（x）=lnx－ax+1（a∈R），若存在x>0使得不等式f（x）≤0成立，求a的取值范围.

设计意图 深度教学的核心在于促进学生深入参与教学活动. 那么，怎样才算学生深入参与了教学活动呢？在本环节中，笔者鼓励学生自主命题并求解，一方面激发学生解题的积极性，另一方面检验学生对本节课内容的掌握情况. 这种设计不仅富有深意，而且能确保学生深入参与教学活动，帮助他们深刻理解本节课内容的本质. 同时，引导学生从更宏观的角度对已有的经验和知识进行反思和更新.

3. 呈现考题，促进思维的迁移与提升

考题 （2023年朝阳期中第20题）已知函数f（x）=mxlnx－x2+1（m∈R），若f（x）≤0在区间［1，+∞）上恒成立，求m的取值范围.

（1）解题方法分析

（2）解题过程简析

4. 总结提炼

笔者邀请学生深入思考并交流，共同归纳出解决函数零点问题的基本策略，旨在激发学生的学习智慧，提高课堂的教学效果.

师：导数的主要功能是什么？

生：导数在辅助研究函数性质方面发挥着关键作用，它帮助我们分析函数的单调性、寻找函数的极值以及确定函数的最大值和最小值. 通过转化，许多问题都可以归结为这三个基本问题来解决.

师：拿到问题时，切勿急于求成，盲目求解，而应深入分析函数解析式、已知条件、已获得的结论以及待解决的问题. 求解数学问题的基本策略如图2所示.

教学反思

1. 循序渐进，由浅入深，促进深度学习

深度学习重视学生高阶思维能力的发展，但其关键不在于解决问题的“难”度，而在于确保学生对基础知识的牢固记忆、基本技能的熟练掌握以及对基本原理的深入理解与应用. 在本节课教学中，首先引导学生回顾零点概念和零点存在定理等基础知识点，随后引导学生研究函数零点问题的一般解决方法，最后带领学生进行变式探究. 这个循序渐进、由浅入深的教学路径，符合学生逻辑思考的习惯，既能完善学生的知识体系，又促进其思维能力的发展.

2. 一题多解，多题归一，促进深度学习

深度学习在很大程度上就是引导学生学会迁移，即在遇到新问题时能够运用所学的知识和技能进行解决. 在本节课教学中，先通过例题引导学生从多个角度进行思考，总结出三种解题方法，然后采用问题串的方式进行变式探究，多题归一，唤起学生的好奇心与求知欲，促使学生将所获得的经验通过各种变式广泛迁移，不断进行概括和系统化，进而转化为解题能力. 更进一步，从更高层次对已有的解题和学习经验进行反思和更新.

3. 问题引领，变式探究，促进深度学习

深度学习是一种旨在培养深层次学习能力、解决问题层次逐级提高的过程. 通过创设情境，激发学生发现并提出问题，进而引导他们通过思考和探究来寻找解决方案，最终得出结论. 通过例题探究和变式训练，加强学生对知识的理解和巩固，引导学生从浅层思考转向深度思考，经历一个完整的深入思考过程. 通过思考和交流，促进学生对知识的深化理解与灵活应用. 在本节课的教学中，引导学生专注于解决函数零点问题，鼓励他们从多个角度进行思考，从而培养学生的思维能力，提升他们的数学学科核心素养.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 张科. 高中数学新授课的深度教学策略：以“空间向量运算的坐标表示”为例［J］. 数学教学研究，2021，40（3）：2-5+10.

［3］ 卢光.高中数学深度学习与深度教学研究述评［J］. 中学数学教学参考，2021（28）：73-76.

［4］ 张鹏，白雪峰. 基于变式教学培养高中生的数学再创造思维：以“直线与圆的综合问题”专题复习课教学设计为例［J］. 华夏教师，2023（7）：54-57.