理解数学视角下的高中数学概念教学

［摘  要］ “理解”是教育永恒的追求. 如何在“理解数学”的视角下实施概念教学呢？研究者以“三角函数的概念”为例，在深入分析教学内容的基础上，结合概念形成过程中必须经历的辨别、分化、类化、检验、概括、推广以及形成七个阶段来设计教学，并从“对概念生成层次的理解”“数学理解的逻辑过程”以及“数学理解的目标是育人”三个方面谈一些思考.

［关键词］ 理解数学；三角函数；概念教学

“理解数学、理解学生、理解教学”是促进数学学科教育发展的基础，其中“理解数学”是实现教育价值的根本因素. 理解数学不仅要深谙知识的来龙去脉与本质，还要对知识的建构过程有明确的认识，此为发展数学理性精神的基础. 如何在“理解数学”的理念下实施概念教学呢？首先必须清晰地认识到概念的抽象过程，然后在理解概念构建流程的基础上，结合概念的特性以及学生的认知水平来设计教学活动，让学生在“理解数学”的视角下掌握概念的本质，形成严谨的数学研究精神，为发展核心素养奠定基础.

概念形成的一般过程

数学是一门层次分明的学科，因此学生在构建新知时，必须遵循逐层递进的原则. 史宁中教授认为，数学概念的抽象主要涵盖以下三个层级：①简约期，即辨别、分化与类化阶段；②符号期，即检验与概括阶段；③普适期，即推广与形式阶段［1］. 如图1所示，七个层次分明的阶段揭示了概念形成的一般流程. 本节课，教师可从这三个层级出发，设计教学活动，让学生切身体会借助单位圆定义三角函数概念的便捷性，真正做到理解数学，发展核心素养.

教学内容分析

任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一. 由于它的定义方法与学生之前接触的指数函数、对数函数、幂函数的定义方法存在显著差异，因此任意角的三角函数一直被视为高中数学教学的核心内容. 不少教师在执教时，选择从单位圆的定义入手，与锐角三角函数相结合，揭示相关概念. 这种教学方法虽然没有什么问题，但从学生的认知结构来看，常会因为没有紧密关联锐角三角函数的定义，反而增加了学生的认知负担. 如何基于学生已有的认知经验，引导他们在理解数学的前提下进行教学活动呢？实践表明，基于概念构建的层次性，逐层递进地实施教学，可提高教学效率.

基于上述分析，本节课以概念形成过程的三个层级七个阶段为明线，以“锐角三角函数值—以角为自变量的三角函数—一般三角函数”为暗线，展开教学实践与探索.

教学过程设计

1. 简约期，理解数学基础

（1）辨别阶段：旧知回顾，自然过渡

概念形成的简约期，主要是基于学生已有的认知经验，对各种刺激模式进行甄别，以实现对数学的初步理解，并为新知的构建奠定坚实的基础. 刺激模式的甄别可以基于学生已有的认知经验，抑或是生活实际中遇到的数学现象. 引导学生回顾锐角三角函数的定义，不仅能够激发他们已有的认知经验，让学生自然而然地进入课堂的探索状态，还能让学生从浅入深地感知知识的形成与发展过程，对不同学习阶段对三角函数的理解产生清晰的认识.

问题1 请大家回顾在初中时，探索锐角α的正弦函数与余弦函数的方法.

设计意图 此为旧知回顾环节，学生在问题的引导下回顾使用相似直角三角形研究特殊锐角三角函数值的过程. 该研究并非深入的函数分析，只涉及锐角三角函数值的计算. 教师若不带领学生回顾旧知，而是直接引入单位圆，学生则无法顺利进行知识衔接. 如此设计，旨在引导学生回顾旧知，为新知教学夯实基础，这符合建构主义理论的发展规律.

（2）分化阶段：变化视角，初步融合

此阶段主要致力于将各种刺激模式的属性分化出来. 这需要从函数与变化的维度来探索刺激模式属性的分化情况. 学生亲历三角函数概念的抽象、形成与发展过程，即通过知识的“再创造”，增强对三角函数概念的理解程度.

问题2 要求学生自主思考并探索以下几个问题：如何用几何图形构造一个sin60°？基于此，如何再构造一个sin45°？函数是探索事物变化规律的基础模型，那么，如何在变化中描述0°～90°的三角函数呢？

在学生自主解决前两个问题之后，引导他们从0°～90°的角度出发，利用“比”的视角进行分析，并用两种情况来描述其变化过程：①如图2所示，固定直角三角形的一条直角边长度，通过改变另一条直角边与斜边的长度，比较角度的大小；②如图3所示，固定直角三角形的斜边长度，通过改变两条直角边的长度，展示不同角度.

设计意图 函数是一种具有变化规律的数学模型. 在初中阶段，学生接触的函数内容往往是静态的，想要提升学生的认知水平，就要“化静为动”，引导学生从变化的角度重新审视三角函数. 通过几何直观的展示与探索，顺利地引导学生的思维进入使用单位圆定义任意角三角函数的领域.

问题3 图2与图3描述变化的方法有何不同？它们各自的优势是什么？

师生活动：教师运用多媒体展示这两幅图，引导学生阐述两者的区别及其各自的优点. 在已有的认知经验的驱动下，学生一致认为关于图2的描述，应从角的连续变化入手，但这种描述方法不便于用代数符号表示变量，也不适用于描述大于90°的角. 至于图3，结合题目中的“变”与“不变”的条件，将“轨迹圆”命名为“单位圆”. 对于0°～90°的角α，它的终边与单位圆交点的纵坐标与sinα相同，横坐标与cosα一致.

设计意图 “比较”使得单位圆模型的应用显得更为合理，同时揭示了三角函数的核心——角的终边与单位圆交点的坐标. 如此设计，旨在引导学生从变化的视角观察数学现象，促进新旧知识的融合，并顺利完成概念构建的分化阶段.

（3）类化阶段：思维延伸，抽象概念

该阶段是抽象概念属性的关键过程. 基于三角函数概念的共同属性，可以初步推测：角α的终边与单位圆的交点的纵坐标、横坐标，与角α都存在一一对应的关系. 因此，在理解数学的基础上，重视坐标法的应用，为抽象概念创造条件.

问题4 若要推广三角函数的概念，图2和图3的描述方法哪种更适合？说明理由.

此问从角的定义延伸至三角函数的概念. 学生已经初步接触过前一个概念，而后者则需要通过关联单位圆模型进行推广. 这一过程离不开解析几何的辅助，即通过使用“点坐标”来替代“边的比例”，从而逐步扩展和延伸，为揭示任意角的三角函数概念奠定基础.

设计意图 引导学生深入理解坐标法在解决函数问题中的重要性，不仅有助于拓宽他们的思维视野，还能有效提升他们的数学理解能力. 在这一阶段中，学生在特定的背景下进行假设和检验，认识到用点坐标来定义三角函数具有重大的价值.

2. 符号期，理解数学本质

（1）检验阶段

实例作为检验的重要手段，可应用于本阶段，即通过列举生活中常见的周期变化现象，引导学生感知三角函数概念的形成过程，体会角度与实数集之间所存在的对应关系. 由此构建完整的模型，充分凸显概念形成过程的层次性.

问题5 从实际生活出发，我们发现三角函数可用来描述物体匀速圆周运动、潮汐、简谐振动等周期性变化现象. 现在，请大家思考：以角为自变量的三角函数与一般三角函数之间存在哪些差异呢？

通过合作与交流，学生认识到：首先，以角为自变量的三角函数，并不能帮助他们从整体视角理解三角函数的含义. 以“潮汐”现象为例，其自变量是时间而非角度，因此，仅从角度出发是难以全面理解这一现象的；类似地，交流电和简谐振动等现象虽然也可以用三角函数来描述，但它们的自变量与角度并无直接联系. 其次，三角函数的自变量与函数值之间不存在直接的运算关系，例如，45°与sin45°不能直接进行加减运算.

设计意图 引导学生从以角为自变量的三角函数入手，进而拓展到一般三角函数的领域，这不仅展现了“从特殊到一般”的数学思想，还让学生亲身体验了概念形成过程的逐步深化. 这种教学设计有助于学生更深刻地理解知识的核心，为掌握抽象的一般三角函数概念奠定了坚实的基础.

（2）概括阶段：宏观掌握三角函数的概念

在成功验证假设之后，接下来的任务是提炼出概念的关键属性，并通过分析其从属关系来深入理解概念的本质. 类似于初高中阶段学习函数与三角函数的过程，运用辨析的思维去分析和思考，有助于学生抽象出逻辑清晰的新概念.

问题6 尝试从多维度说一说什么是三角函数.

学生得到的结论包括：①三角函数是一种反映变量间变化规律的基本模型；②三角函数的图象是一种特殊图象；③三角函数反映的是实数集之间的对应关系.

设计意图 随着剖析的逐步深入，学生对三角函数的概念已经有了更加全面、深刻的理解，并将新构建的概念与认知结构中已有的概念进行了有机融合，从而宏观掌握核心概念. 这样的设计旨在完善学生的认识结构，巩固知识基础.

3. 普适期，即推广与形式阶段

本阶段的关键在于将概念的本质延伸至与之相关的同类事物中. 本质上，三角函数属于函数的范畴，因此可以借鉴函数研究的通用方法. 接下来，考虑从其基本要素和性质等维度进行探索，包括定义域、对应关系、值域、单调性与奇偶性等方面.

问题7 回顾本节课的教学过程，谈谈你对函数又产生了哪些新的理解.

纵观本节课的教学内容，发现对三角函数的研究需要建立在变化的维度之上，从自变量和因变量这两个实数集的背景中抽象出概念.

设计意图 普适期为本节课教学的重中之重，即引导学生从整体视角理解概念形成的过程，并使用规范的数学符号语言来描述概念，从而促进深度学习真正实现，有效提升学生逻辑推理、数学抽象、直观想象等核心素养.

教学思考

1. 对概念生成层次的理解

对于课堂教学而言，概念的生成需要经历一个层次分明的过程. 教师必须对每个层次有深刻的理解，并基于对概念形成层次的理解来设计核心问题，引导学生的思维沿着清晰的路径逐步深入，为构建稳固的概念体系打下坚实的基础. 在本节课教学之前，教师深入研究了概念形成的一般过程，据此引导学生从简约期、符号期与普适期三个层级深入研究三角函数的概念，帮助他们在充分理解数学的基础上构建三角函数的知识体系，并学会从整体视角认识、理解与拓展概念.

2. 数学理解的逻辑过程

数学理解属于一个内隐、复杂且多元的过程，真正的数学理解会给学生带来一些复杂的体验，如猜想证明的解释等［2］. 从学生思维发展的视角来看，认知的萌生到表象的形成，再到对知识形式化与结构化的理解，离不开批判思维的参与. 因此，数学理解是一个持续探索的过程，要求学生从他们已有的认知经验出发，逐步深入地研究知识的本质，以构建一个完整的认知结构，形成一个结构优良的多元认知体系. 本节课，教师从实际学情出发，根据学生的认知发展规律设计问题，引导学生逐步理解知识的本质，完善他们的知识架构.

3. 数学理解的目标是育人

随着新课程改革的深入实施，当前的数学教育已经展现出良好的系统性和发展性. 为了最大限度地发挥数学教育的潜力，关键在于如何基于数学理解来实现“立德树人”这个教育目标. 这不仅是当前需要特别关注和深入研究的课题，也是未来很长一段时间内学科教学的重要议题. 构建概念是一个逐步的过程，教师在细化教学过程的同时，可以建立一个多元化的评价体系，在“过程性评价”的基础上，落实“育人”目标，发展学生的核心素养. 在本节课的每个教学环节中，教师都针对性地培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养，这些都是让核心素养落地生根的基础，也是“育人”的重要举措.

总之，理解数学是高质量教学的基础，发展核心素养为概念教学的核心目标. 在日常教学过程中，教师应当重视概念形成的层次结构，将探究活动作为抽象概念的基础支撑，合理设计问题情境，引导学生深入理解知识的本质，并促进其数学核心素养的发展.

参考文献：

［1］ 张雁冰. 理解抽象的层次性 落实数学抽象素养：基于王尚志教授“三角函数概念”的教学设计与分析［J］. 中小学课堂教学研究，2023（94）：23-26.

［2］ 包伟. 基于“四个理解”的高中概念教学探究：以“正切函数的性质与图象”的教学为例［J］. 中小学数学（高中版），2022（5）：1-3.