问题引领促生成　深度探究促发展

［摘  要］ 随着新课程的实施，数学教学的目标不仅是让学生掌握知识，更重要的是让学生掌握方法，获得持续学习的能力. 在数学教学中，教师应重视引导学生体验知识的生成过程，深入挖掘其中的数学思想与方法，从而促进学生对数学的深刻理解，并提高他们的数学能力和数学素养.

［关键词］ 生成过程；数学能力；数学素养

在数学概念教学中，引导学生深入挖掘其中蕴含的数学思想与方法，有助于加深学生对概念的理解，揭示概念的本质，提升学生的数学能力和数学素养. 在概念教学中，教师要为学生营造一个良好的探究环境，引导学生经历概念生成和应用等过程，以此引发高阶思维，落实数学素养［1］. 笔者以“任意角的三角函数”教学为例，探讨如何通过问题引导生成，落实数学学科核心素养.

教材内容及学情分析

任意角的三角函数是本章的起始课，奠定了本章的基础. 在学习本节课之前，学生已经积累了丰富的研究锐角三角函数的经验，这有助于他们更自然、更顺畅地学习新知. 然而，将锐角三角函数的概念扩展到任意角三角函数，并非简单地从特殊到一般的推广. 在这个过程中，观念和方法都有所改变，研究工具也有所变化. 另外，在初中数学教学中，锐角三角函数主要强调直角三角形中各边的比值，并未从函数的角度去作分析. 进入高中后，则要引导学生从函数的角度去分析、构建和理解三角函数的概念.

通过分析学情，我们发现学生已经具备了函数的基本概念，这为理解任意角的三角函数提供了一定的知识基础. 然而，大多数学生仍然习惯于使用直角三角形各边的比值来理解三角函数，而任意角的三角函数则是通过角终边上的点的坐标来描述的. 这样的认知切换对于许多学生而言并不自如，这无疑为教学带来了一定的挑战.

基于上述分析，在实际教学中，应将教材研究与学情研究的结果结合起来，设计一个能够促进学生认知顺利迁移和处理的教学流程，从而使学生更加积极主动地构建与任意角的三角函数相关的知识. 从非智力因素的角度来看，在本节课的教学中，教师应致力于激发学生的兴趣，唤醒他们学习的内在动力，从而促进学生积极主动地进行探究与思考. 鉴于高中数学教学的核心目标是培养学生的数学学科核心素养，因此在进行具体的教学设计与实施时，必须依据不同的教学环节，拓宽核心素养培育的空间.

教学设计

1. 创设情境，感悟过程

师：生活中有许多周期性现象，你能列举一二吗？

生1：四季更替，昼夜循环.

生2：海水的潮汐，月亮的圆缺.

……

师：非常好. 如果从数学的角度去分析，我们可以用什么样的数学模型来刻画这些周期性现象呢？（学生陷入沉思）

师：二十四节气对大家来说并不陌生，它体现了天气和农作的周期性规律. 那么，你知道古人是如何确定二十四节气的吗？

生3：古人依据太阳的照射，测量物体每日影子的长度变化.

师：看来我们的学生知识渊博. 古人将一根杆子垂直于地面，随着太阳高度的变化，光线照射地面的角度以及杆子在地面上的影子长度也会相应地发生改变. 通过持续的观察和记录，他们总结出了宝贵的二十四节气. 基于这些分析，你能从数学的角度来描述这一测量过程吗？

学生通过互动交流，最终构建出如图1所示的直角三角形.

师：很好，这表明很早以前人们就用三角形知识来研究生活中的问题了.

师：在初中时期，我们学习了正弦、余弦和正切，你们还记得是如何定义它们的吗？

生4：如图1所示，在Rt△ABC中，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则sinα=b/c，cosα=a/c，tanα=b/a.

设计意图 从日常生活出发，引导学生将数学与实际生活紧密联系起来，让学生深刻体验数学的实用性，从而有效吸引学生的注意力. 在教学中，教师利用二十四节气这一周期性现象作为切入点，引导学生用数学眼光进行观察，用数学知识进行探索，自然而然地引出初中所学的锐角三角函数的相关定义，为后续从特殊到一般的推广奠定了基础. 本环节的设计意图是，当学生完全融入情境后，能够顺利激活对三角函数已有的知识储备，即借助直角三角形来理解三角函数；同时，让学生将生活实例转化为数学问题，并进行简单的推理，以促进数学抽象与逻辑推理的发展.

师：随着角的推广，原来的锐角三角函数的定义还适用吗？例如，sin135°，cos300°，tan200°分别等于多少呢？

生5：不适用，我们之前是在三角形中研究的，显然这些角的度数已经超过了原来的取值范围，不能放在三角形中继续研究了.

师：很好. 那么，我们应该如何去求索呢？又该怎样继续研究呢？

生6：我们可以利用直角坐标系来研究.

师：你是怎么想到的？

生6：在先前研究任意角的概念时，我们就引入了直角坐标系这个工具.

设计意图 教师通过引入特例来激发学生的认知冲突，使学生深刻理解将锐角三角函数扩展到任意角三角函数的必要性. 从学生的学习心理的角度来看，特例的出现导致学生的认知失去了平衡. 然而，这种失衡能够激活学生新的学习动机. 因此，这样的设计对于学生的认知发展，尤其是数学探究，具有特别积极的影响. 同时，在此过程中，教师让学生思考怎样继续研究，由此自然地引出直角坐标系这个工具. 这不仅让学生充分体会到了数学知识间的内在联系，而且提高了学生分析和解决问题的能力，培养了思维的严谨性［2］. 当学生的视角从三角形转向直角坐标系时，意味着学生构建新知的工具发生了变化. 如何引导学生有效应用直角坐标系这个工具来研究任意角的三角函数，成了学生学习动机被激活后面临的新的探究任务.

2. 数学构建，生成定义

学生沉思片刻后一致认为这种表示方法适用于任意角. 基于此，教师进行归纳和总结，并在黑板上板书任意角三角函数的定义.

设计意图 锐角是基础几何概念之一，也是学生最熟悉的内容之一. 从这一熟悉的内容入手，不仅可以降低思维难度，也可以提升探究积极性. 在本环节中，当角α不是锐角时，学生的认知会出现一定的失衡. 此时，教师不要急着去引导学生，而是鼓励学生自主探究，比较角α是锐角与非锐角时的不同之处，以及非锐角时可能引发的问题……当学生的思维经历了这些切换之后，他们面对的问题将变得更加直接. 学生通过自主探究，能够实现知识的迁移与扩充，进而优化和完善其认知结构.

3. 自主探究，加深理解

教师鼓励学生独立解决问题，随后在小组内交流思路，并促进学生对结果进行比较和分析，分享个人的思考和收获，同时积极提出疑问. 在学生对这些问题有了深入理解之后，教师引导他们进一步深入探究.

探究1 如果点P在角α的终边上移动，那么角α的正弦、余弦和正切值会发生变化吗？

教师鼓励学生动手作图，并利用几何画板展示点P在角α终边上的移动过程. 学生结合相似三角形的相关知识得知：即使点P在角α终边上的位置发生了变化，角α的正弦、余弦和正切值依然保持不变. 在这个过程中，鼓励学生动手作图，有助于学生积累数学活动经验，进而使他们对这三个比值的变化有更为深刻的理解；而借助现代教学工具（如几何画板）来展示动态过程，主要目的是帮助学生构建清晰的表象，以便让思维加工的对象变得更加明确. 因此，结合学生的实际情况，实现动手作图与仔细观察之间的平衡，是至关重要的教学策略.

探究2 既然三个比值不随着点P在角α终边上的位置变化而变化，那么它们会随着什么变化而变化呢？

生8：三个比值会随着角α终边的位置的变化而变化.

师：是吗？（学生点头表示赞成生8的说法）

师：一个量随着另一个量的变化而变化，你想起了什么呢？

生齐声答：函数.

师：非常好！这里的自变量是谁？因变量又是谁呢？

在师生互动交流中，学生了解到正弦、余弦、正切是以角为自变量，以比值为函数值的函数.

设计意图 通过层层递进的问题引导学生从函数的角度出发思考问题，使他们知道了任意角的三个比值实际上是角的函数，从而攻克了本节课的教学难点.

师：既然是函数，它们的定义域分别是什么呢？

部分学生不假思索地认为，这三个三角函数的定义域均为R.

师：它们的定义域全都是R吗？

生9：正弦函数和余弦函数的定义域是R，正切函数的定义域不是R.

师：请详细说一说你的理由.

学生独立解决问题，教师在旁巡视指导. 根据学生的反馈，发现部分学生在求解过程中遇到了难点. 鉴于此，教师决定组织学生进行交流讨论，旨在帮助他们克服这些难点，从而提高他们的数学解题能力.

师：谁来说一说，0°的三个三角函数值分别是多少呢？都是0吗？

生10：若角α是0°，说明角α的终边在x轴的正半轴上，不妨在其终边上任取一点（1，0），由此可知sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0.

在此基础上，教师鼓励学生继续展示对其他问题的思考过程，以便通过实际应用进一步加深对任意角三角函数的理解.

设计意图 教师引导学生分析函数的定义域，进一步深化学生对任意角三角函数的理解，提升其数学素养.

4. 课堂小结，内化知识

师：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些问题？

设计意图 教师引导学生用自己的语言归纳和总结本节课的学习重点和难点，并让学生谈谈自己的心得体会，以此提升课堂的凝聚力，内化知识.

教学思考

在本节课之前，学生已经理解了锐角三角函数的定义，并积累了研究任意角的经验. 如果在教学中直接引入任意角三角函数的定义，他们同样能够理解和接受. 然而，这种直接讲授的教学方法会使课堂变得枯燥，不利于激发学生的数学学习兴趣，也不利于培养他们的数学思维能力. 因此，在本节课中，教师首先引导学生体验数学与日常生活的紧密联系，以此激发他们的数学学习兴趣，随后让他们参与概念的构建过程，培养他们的实践能力和创新思维. 在教学中，教师应重视知识的生成，引导学生以数学家的思维方式进行思考，领悟数学的本质，从而促进智力的发展和能力的提升［3］.

总之，数学教学不是简单地将书本上的知识传授给学生，而是引导学生体验数学知识的生成过程，深入挖掘其中的数学思想和方法，从而加深学生对知识的理解，培养学生的理性思维，并提升课堂教学效率.

参考文献：

［1］ 章建跃，陶维林. 概念教学必须体现概念的形成过程：“平面向量的概念”的教学与反思［J］. 数学通报，2010，49（1）：25-29+33.

［2］ 吴洪生. 基于核心素养的“任意角的三角函数”教学案例［J］. 中学数学教学参考，2017（25）：14-17+23.

［3］ 陈小艳，周思波. 教会学生思考〓提升课堂质量：基于“任意角的三角函数”同课异构评析［J］. 数学通讯，2019（10）：17-20.