聚焦单元主题　关注学习能力

［摘  要］ 新课标下的数学教学，强调既要重视“教”，更要重视“学”，促进学生学会学习.在“函数零点存在定理”的教学中，聚焦单元主题，引领学生宏观认识学习内容，主动关注知识应用；把握教学逻辑，引导学生经历命题形成过程，掌握命题学习方法；融入信息技术，促进学生直观理解知识内涵，增强技术使用意识.

［关键词］ 数学教学；函数应用；函数零点；学会学习

基本情况

1. 内容分析

函数零点存在定理是人教A版（2019）教材第三章“函数的应用（二）”的核心内容，从数学学科内部的应用视角出发，利用函数来研究一般方程的解. 它既是对函数零点概念及其等价关系、函数性质、基本初等函数的巩固，也是对解方程问题的深化.同时，本节内容的学习为后续利用二分法研究方程的近似解奠定了基础.探索函数零点存在定理的过程，本质是用函数的观点看方程，用动态的眼光分析静态的结果，蕴含函数与方程、从特殊到一般、数形结合、化归与转化等数学思想，涉及观察、分析、类比、抽象、归纳等思维策略，是发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的良好素材.

2. 学情分析

在本节课之前，学生已经认识了函数零点的概念，对基本初等函数的性质和图象有了较为系统的学习，具有利用函数图象解决问题的经历，这为函数零点存在定理的探索提供了知识和经验基础. 尽管高一学生正处于认知发展的形式运算阶段，能够运用命题形式进行思考，并具备一定的演绎推理能力，但他们的抽象逻辑思维尚未完全成熟. 因此，他们对学习函数零点存在定理的必要性的理解不够深刻，对于如何提炼出函数零点所必需的特性也存在困难. 同时，处于这一阶段的学生往往缺乏逆向思维和主动反思总结的能力，他们用数学语言表达问题的意识和能力也有待提升，通常无法充分概括事物的特征. 此外，在理解和表达命题条件与结论之间的逻辑关系上，他们也显得不够灵活.

3. 教学目标

（1）深入理解函数零点、方程解、函数图象与x轴交点横坐标之间的等价转换关系，掌握函数零点存在定理及其推导过程.

（2）在探索函数零点存在定理的过程中，学会用函数观点认识方程，能应用函数的图象及性质解决问题；感悟函数与方程、从特殊到一般、数形结合、化归与转化等数学思想，增强观察、分析、类比、抽象、归纳等数学能力.？摇？摇

（3）体验数学探究的乐趣，增强自主学习的意识和能力；学会用辩证统一的观点看待问题，形成严谨治学的科学态度和理性精神.

4. 教学重点和难点

重点：理解函数零点与方程解之间的关系；对函数零点存在定理的应用.

难点：探索函数零点存在定理；理解定理条件是充分非必要条件.

教学过程

1. 复习回顾，提出问题

复习回顾：在二次函数零点的基础上，我们认识了一般函数的零点. 请回顾函数零点的概念.

学生活动：理解函数的零点就是对应方程的解，是函数图象与x轴交点的横坐标.

问题1 学习了函数零点，你觉得可以解决哪些问题呢？

教师活动：函数零点可以明确地应用于解方程问题. 具体来说，对于一些简单的方程，能够直接使用求根公式来求解. 然而，对于高次方程或初等超越方程，由于无法使用求根公式，因此将方程的解转化为函数的零点. 此外，教师介绍挪威数学家阿贝尔的成就，他成功证明了“高于四次的一般代数方程没有一般形式的代数解”，从而引导学生理解从函数角度研究方程解的重要性.

问题2 将解方程的问题转化为求函数零点的问题，那么如何求解函数的零点呢？以高次方程x5－3x+1=0为例，说说你的想法.

学生活动：大部分学生想利用函数的图象找出其零点，但发现“取值、描点、连线”的过程烦琐，且无法找出函数图象与x轴交点横坐标的精确值.

教师活动：引导学生应用函数性质绘制图象，简化取值、描点的过程.例如f（x）=x5－3x+1的图象可以看作由奇函数g（x）=x5－3x的图象向上平移1个单位得到的. 通过几何画板演示图象的平移过程，作出f（x）=x⁵－3x+1的图象（见图1），引导学生发现函数零点（方程解）的范围为x₁∈［－2，－1］，x₂∈［0，1］，x₃∈［1，2］. 通过数形结合，让学生体会到解高次方程的一般思路为：将解方程的问题转化为求函数零点的问题→利用函数的图象和性质确定零点的范围→缩小零点的范围→获得方程的近似解，并明确求解问题的关键是“确定零点的范围”. 基于这样的体验，自然而然地引出问题3.

问题3 求函数的零点需要满足什么条件？

设计说明 通过复习回顾，帮助学生进一步理解函数零点与方程解之间的关系，认识函数的应用价值. 通过解高次方程激发学习动机，引出探索问题，明确学习方向，并为后续学习二分法求方程的近似解做铺垫.

2. 特例分析，探索问题

问题4 以二次函数f（x）=x2－2x－3为例，作出其图象，观察零点所在区间的函数图象有何特征.

师生活动：学生指出该二次函数存在两个零点，分别在区间［－2，0］和［2，4］上（如图2所示）；发现对应区间的函数图象与x轴相交，函数图象被x轴分割成上、下两部分，函数图象连续不断，等等. 教师引导学生用动态的眼光观察图象，强调函数图象连续不断，图象与x轴相交可以形象地描述为“‘穿过’x轴”.

追问1 以区间［－2，0］上的图象为例，如何从数的角度刻画“函数图象‘穿过’x轴”？

学生活动：利用函数f（x）的取值规律来分析，即x轴下方的图象所对应的函数值均小于0，上方的图象所对应的函数值均大于0.

追问2 如何将x轴上方和下方的图象所对应的函数值关联起来？

学生活动：观察区间端点的函数值，发现函数在端点x=-2和x=0的取值异号，即f（－2）f（0）<0.

追问3 函数在区间［2，4］上“穿过”x轴，又如何表达？

学生活动：类比分析，得出f（2）·f（4）<0.

问题5 请再画几个函数的图象，并指出其零点所在的区间，利用函数的取值规律刻画函数零点所在区间的图象特征.

学生活动：结合已学的函数知识，画出了几个函数的图象（如图3所示），类比二次函数的探究，得出零点所在区间［a，b］的端点函数值的关系：f（a）f（b）<0.

设计说明 基于学生的最近发展区，运用从特殊到一般的数学思想，“退”回到学生熟悉的二次函数来研究函数零点存在定理，引导学生掌握自主学习的技巧. 同时，通过数形结合，可以有效降低学生发现结论的难度. 鼓励学生绘制各种类型的函数图象，通过丰富的实例引导他们归纳共性，经历合理的推理过程，从而增强他们提出问题和解决问题的实践体验.

3. 变式研究，形成定理

问题6 如果函数y=f（x）满足条件f（a）f（b）<0，那么它在区间［a，b］上一定有零点吗？

学生活动：经过思考后指出，还需要满足图象在区间［a，b］上连续不断. 如图4所示，分段函数满足f（a）·f（b）<0，但它在区间［a，b］不存在零点.

问题7 如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线，且满足条件f（a）f（b）<0，那么它在区间［a，b］上是否有且只有一个零点？

学生活动：根据指示绘制图象，发现零点并非只有一个，可能是两个、三个，甚至无限多个. 然而，可以肯定的是：至少存在一个零点.

问题8 根据以上讨论，说说函数y=f（x）在区间［a，b］上满足什么条件时必定存在零点.

师生活动：归纳函数零点存在定理. 如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线，且f（a）f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的解.

问题9 如果函数y=f（x）满足f（a）·f（b）>0，那么它在区间［a，b］上是否一定没有零点？

学生活动：根据指示绘制图象，发现当区间端点的函数值f（a），f（b）同号，函数在［a，b］上可能存在零点，也可能不存在零点.例如，图2中的f（－2）f（4）>0，函数在［－2，4］上存在两个零点；f（1）f（2）>0，函数在［1，2］上没有零点.

教师活动：引导学生总结函数零点存在定理的逆命题不一定成立，即函数零点存在定理的条件是结论的充分不必要条件. 帮助学生探讨变式命题的条件和结论，研究原命题的逆命题、否命题等也是重要的教学思路.

设计说明 通过问题链激发学生的深度思考，引导他们经历函数零点存在定理的生成过程，理解条件与结论之间的内在逻辑联系，掌握数学命题的学习与研究方法，从而增强数学学习能力，提升数学思维品质，并培养敢于质疑的批判精神.

4. 知识应用，强化理解

例1 对于高次方程x5－3x+1=0：

（1）证明该方程在区间［－2，－1］，［0，1］，［1，2］上均存在实数解.

（2）该方程在区间（2，+∞）上是否存在实数解？为什么？

例2 求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数．

设计说明 例1与引入环节的问题2相呼应，解答学生在课前的疑惑. 其中，第（1）问直接运用函数零点存在定理即可验证方程解的存在性，再次让学生深刻体会从函数角度研究方程解的必要性和重要性. 第（2）问则需要结合幂函数和一次函数的性质，判断出函数f（x）=x5－3x+1在（2，+∞）上的图象连续且函数值均大于0，因此图象不会“穿过”x轴，函数不存在零点，即方程x5－3x+1=0在区间（2，+∞）上无实数解. 这可以检验学生对函数零点存在定理条件和结论关系的深入理解，并考查他们的直观想象和逻辑推理素养.

解析例2应把握以下几点：一是分析出函数f（x）=lnx+2x－6在定义域（0，+∞）上单调递增，直观想象函数最多有一个零点. 二是结合对数性质探索零点所在区间端点的函数值，例如优先计算f（1），f（e），f（3）等，体验应用函数性质在确定区间上的高效性. 三是基于图象思考函数在某一区间内的严格单调性对其零点个数的影响，引出零点存在唯一性定理. 四是从函数图象交点视角探索方程解的个数，例如将方程lnx+2x－6=0转化为lnx=6－2x，构造函数g（x）=lnx和h（x）=6－2x，两图象交点的个数即方程lnx+2x－6=0的解的个数. 以此拓宽解题路径，训练思维的灵活性和深刻性.

5. 知识拓展，反思总结

定理拓展（闭区间上连续函数的介值定理）：若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，且f（a）≠f（b），η为介于f（a），f（b）之间的任意一个数，即f（a）<η<f（b）或f（b）<η<f（a），则至少存在一个实数ξ∈（a，b），使得f（ξ）=η.

师生活动：教师借助函数图象（如图5），利用几何直观引导学生理解介值定理，体会函数f（x）的图象从点（a，f（a））画到点（b，f（b）），一定会“穿过”直线y=η，即至少会与直线y=η相交一次. 特别地，当f（a），f（b）异号，取η=0时，介值定理特殊化为函数零点存在定理，即函数零点存在定理是介值定理的推论.

问题10 在介值定理中，如果有且只有一个实数ξ∈（a，b），使得f（ξ）=η，则函数f（x）还应满足什么条件？