立足“三个理解”发展核心素养

［摘  要］ 基于“三个理解”的数学教学，即理解学生，将学生的长期发展放在首位；理解教学，发挥教学的内在力量；理解数学，挖掘数学内容所蕴含的价值观资源，以促进学生的理性精神与关键品格的发展. 研究者以“正弦函数、余弦函数的图象”教学为例，从“自然引入主题”“概念同化概念”“问题驱动探索”“辨析作图原理”四个方面展开研究，并有针对性地分享一些思考与感悟.

［关键词］ 三个理解；数学教学；函数图象

“三个理解”（理解数学、理解学生、理解教学）理念由章建跃教授提出，该理念历经岁月的洗礼，对新课改背景下的数学教学依然具有重要的指导意义. 实践证明，理解数学能够确保教学方向的正确性，理解学生能够提升教学的针对性，而理解教学则能使课堂更加生动活泼. 那么，关于“正弦函数、余弦函数的图象”的教学，能否在“三个理解”的基础上进行呢？这是一个值得深入研究的问题.

教学过程设计

1. 自然引入主题

师：在之前的学习中，我们已经掌握了指数函数与对数函数的相关知识，关于这两类函数的探索主要遵循以下路径（多媒体展示）：运算→性质（概念→图象→性质）→应用. 本节课将基于大家已掌握的知识、经验和研究方法，深入探讨三角函数的图象及其性质.

设计意图 在回顾旧知的基础上，引导学生从更高层次的视角分析三角函数章节的内容，将三角函数与指数函数（或对数函数）等初等函数的知识联系起来，从方法层面构建起一般化的研究思路，凸显研究过程的连贯性特征. 这种结合旧知回顾和开门见山的导入方式简洁明了，能够使学生的思维从基础出发，迅速触及教学内容的核心.

2. 概念同化概念

借助函数的概念来同化正弦函数和余弦函数的概念. 通过多媒体展示图1，引导学生回顾三角函数的定义：一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的. 所以，点P的横坐标、纵坐标都是角α的函数.

当角α的终边绕坐标原点旋转时，可以观察到三角函数值呈现出周期性的重复. 为了让学生直观感知这一周而复始的现象，教师借助几何画板进行演示，为后续将正弦函数的图象从R上转换到［0，2π］上奠定基础.

师生活动：在教师的引导下，学生总结出以下结论. 任意实数x都唯一对应一个sinx或cosx，从函数的定义出发，明确取正弦值、余弦值构建的对应关系都是函数关系. 将y=sinx，y=cosx分别称为正弦函数和余弦函数，它们的定义域均位于实数集R上.

设计意图 借助函数的定义同化三角函数的定义，为提炼一般性的研究方法创造条件. 几何画板的应用使得原本抽象的周而复始现象变得直观，为培养学生的数学直观想象能力打下了坚实的基础.

3. 问题驱动探索

师：大家是否还记得，在之前的学习中，我们研究函数时所使用的一般思路吗？

生1：一般从定义出发，先研究函数的图象，随后研究函数的性质.

生2：也可以从定义出发，先研究函数的性质，再研究函数的图象.

师：确实存在两种研究思路，通常在新课授课时我们采用生1提出的研究思路，在解题教学中则会采用生2提出的研究思路. 本节课，我们将按照生1提出的研究思路，对正弦函数、余弦函数的图象进行分析. （教师在此并未回避生2提出的研究思路，为后续探索正切函数的性质和图象做铺垫.）

设计意图 在开始正式研究之前，引导学生明确研究思路，可以为课堂教学提供指导，让学生初步认识到“方法比知识更重要”.

4. 辨析作图原理

问题1 绘制函数图象一般遵循怎样的过程？

生（众）：列表—描点—连线.

问题2 现在请以同桌为一组，自行构建一个函数以绘制图象，温习一下“列表—描点—连线”的过程.

设计意图 回顾绘制函数图象的过程，为正弦函数、余弦函数的图象的探索夯实方法基础.

问题3 在确定正弦函数的定义域为R的情况下，若要清晰地描述正弦函数的变化规律，需要画出多少个单位长度的图象？请说明理由.

生3：至少需要画出2π个单位长度的图象，可借助诱导公式sinx=sin（2kπ+x），k∈Z来阐明理由.

师生活动：有学生提出，可以从［0，2π］上取5个特殊的点来绘制图象. 教师依据学生的思路，对这些点所构成的曲线（出现多样性）进行提问.

问题4 通过观察发现，由这5个点连接起来的曲线呈现出了不同的形状，那么，哪种情况更接近真实的正弦函数的图象呢？若要得到更精确的图象，我们应该如何操作？

生（众）：需要增加更多的点.

师：这是个不错的建议. 现在请大家在两点之间选取3个点，将这两点间的距离分成4等份，从而将原来的5个点增加至17个点，然后“列表—描点—连线”.

设计意图 虽然学生能顺利说出“列表—描点—连线”的基本步骤，但在实际应用中，点的选择方法和数量会直接影响所绘制的图象的精确度. 因此，鼓励学生自主选点并加密，可进一步突出“数形结合”在探索函数图象中的作用.

问题5 观察表1可以发现，有些点的纵坐标属于无理数的范畴，而有些数值则难以估算. 面对这种情况，我们应该如何处理呢？例如，我们该如何精确地确定点π/8，sinπ/8的位置？

设计意图 部分学生在课前预习过，会提出应用三角函数线进行作图的想法. 为了让学生心悦诚服，必须揭露知识的来龙去脉. 因此，为学生提供充分的时间和空间，让他们理解为何使用三角函数线作图是至关重要的. 如此设计，能够进一步激发学生的探究兴趣，让他们深刻认识到使用三角函数线作图的重要性和必要性.

问题6 众所周知，想要获得精准的函数图象，关键在于函数值与自变量的准确度. 目前面临的困难是难以从代数角度获得精确的函数值. 如果转变思维，我们可从哪些角度去探寻精确的函数值呢？追溯到三角函数的“发源地”，或许能找到一些启示.

在这个问题的启发下，一些学生恍然大悟，立即提出可从几何角度来刻画相应的函数值；而另一些学生还未完全理解教师的意图. 此时，教师提出了一个具体的问题：“在数轴上标出2的位置.”以此激发学生的联想，引导他们的思维自然过渡到“以形刻数”的层面.

为了增强学生对这个问题的直观认识，教师借助几何画板进行了动态画图演示. 以π/8为例，先画出一个以原点O为圆心的单位圆，然后作出π/8的终边，与单位圆相交于点P，则sinπ/8为点P的纵坐标. 为了确定点π/8，sinπ/8的位置，将正弦线MP向左平移，直至点M和π/8所对应的点完全重合. 此时，点π/8，sinπ/8的位置就找到了.

问题7 通过探索点π/8，sinπ/8的位置，大家已经掌握了基本流程. 那么，如何精确地定位其他点呢？是否可以快速定位？

设计意图 精确地定位点的位置对于绘制图象至关重要，几何画板的应用使得这一过程变得更加直观，从而提升了学生的理解能力. 在一系列问题的引导下，学生不仅获得了y=sinx在［0，2π］上的图象，还对图象上各个点的来源有了清晰的认识.

问题8 大家已经获得了y=sinx在［0，2π］上的图象，那么，如何获得y=sinx在R上的图象？

问题9 如何获得y=cosx，x∈R的图象呢？

设计意图 鼓励学生自主讨论、辨析和表征，通过平移变换来实施作图，进一步揭示新知的生成往往依赖于旧知的辅助，理解新旧知识的融合是构建完整认知体系的基础.

问题10 观察正弦函数和余弦函数的图象，是否存在什么特殊的方法能快速掌握它们的特征？

学生通过合作交流，一致认为采用“五点作图法”能更直观地理解图象特征，即“选取5个特殊点→y=sinx，x∈［0，2π］的图象特征→y=sinx，x∈R的图象特征”.

思考与感悟

1. 理解学生，明确教学方向

学生是课堂的中心，是知识的接受者. 深入了解学情是教学的基础，也是所有教学活动的起始点与落脚点. 为了最大化一节课的教学效益，首要任务是深入了解学生的认知水平和他们对知识的实际需求. 例如，我们在设计问题时应考虑设置合理的梯度，让不同层次的学生都有事可做，都能得到不同程度的提高［1］.

在本节课开始之前，教师与学生进行了交流，发现许多学生有这样的疑问：我们不是已经学习过正弦函数和余弦函数了吗？我们已经掌握了用三角函数线来探索三角函数性质的方法，为什么又要从图象着手重新探索一遍？这两者之间有什么必然的联系吗？实际上，学生在之前学习的三角函数的定义，本质上是对已知概念赋予新的符号表示，即y=sinx，y=cosx，y=tanx，这是数学抽象的一个典型例子. 在绘制三角函数图象的过程中，回顾这一点可以帮助学生发现三角函数值的来源，从而理解研究三角函数的思路与指数函数或对数函数是一致的.

本节课是三角函数图象与性质的起始课，与研究指数函数或对数函数的思路进行类比，可提高教学效率. 同时，探索三角函数的性质，必须基于“任意角的终边旋转”这一条件，但由此产生的性质难以通过直观图象来描述. 那么，如何用直观的方法来描述这一现象呢？这便突显了绘制三角函数图象的必要性和重要性. 因此，从理解学生的角度出发，明确教学方向，可以为学生能力的发展打下坚实的基础.

2. 理解数学，关注作图过程

在设计教学方案之前，教师必须对课程内容的背景、概念的内涵与外延、知识点之间的内在联系，以及教学内容所蕴含的数学思想方法和理性精神有清晰的理解. 教师应明确通过教学能够培养学生的哪些核心素养. 深入研读教材、课程标准要求、学科指导意见等是理解教学的关键途径，必要时，教师还应通过查阅相关文献资料进一步掌握知识的脉络，为课堂教学做好充分的准备.

就本节课的教学来说，引导学生顺利准确地作出正弦函数一个周期内的图象实属不易. 实际上，关于本节课的教学，存在不少“伪探究”的现象. 为了帮助学生真正掌握精准作图的原理与方法，并促进深度学习，建议鼓励学生先自主尝试，以发现“困顿”之点，而后再追根溯源，还原整个作图过程. 这种将学生置于“愤悱”状态的教学模式，能够有效激发学生主动探索的欲望.

当然，教师的点拨在这一过程中起着至关重要的作用. 例如，教师需要引导学生理解三角函数的描点过程，以及在平移三角函数线之前，如何在单位圆中划分角度. 既然选择使用三角函数线来描点，那么列表时就不必局限于kπ/6（k∈Z），因为三等分角没有平分角来得容易. 因此，在增加点数时，师生选择kπ/8（k∈Z）来展开探索. 同时，在x轴上精准找出kπ/8（k∈Z）所对应的点以及均分［0，2π］，都要让学生知其所以然.

3. 理解教学，突破教学难点

为了充分发挥数学教学在育人方面的职能，教师不仅要理解数学与学生之间的关系，还必须深入理解教学本身. 深入理解教学能够帮助我们从根本上突破教学的重点和难点，从而提升教学效果. 高效的数学教学活动依赖于师生之间积极的互动和交流，这是一个教学相长的过程. 正如古语所言：“教之道，在于度；学之道，在于悟.”在课堂上恰当地掌握“取舍”的尺度是提高教学效率的关键. 部分教师为了让学生掌握尽可能多的知识，不惜在课堂上用尽各种方法强行灌输，结果学生无法吸收，反而产生了抵触情绪. 实际上，根据学生的实际情况和教学条件，精心设计教学内容的取舍，可以增加学生参与讨论、辨析和领悟的机会，这才是提升教学活力的根本［2］.

使用描点法作y=sinx，x∈［0，2π］的图象是本节课的教学难点，教师为学生提供了充足的时间去感知、辨析、体验、感悟，取得了良好的教学成效. 另外，“五点作图法”是本节课的教学重点，教师为学生提供了充足的时间去操作，并借助几何画板直观演示，让整个教学过程充满生命力.

总之，以“三个理解”为基础的数学教学，应当聚焦于学生的长远发展，充分利用数学的内在潜能，深入挖掘数学内容所承载的价值观资源，培养数学思维和理性精神. 这是一条提升学术能力，发展核心素养的关键路径.

参考文献：

［1］ 高洪武. 基于“三个理解”教学观下的概念课设计：“正弦函数、余弦函数的图像”的教学及反思［J］. 中小学数学（高中版），2014（Z1）：85-88.

［2］ 陈义明. 在教学中践行“三个理解”：以《基本不等式（第1课时）》的教学为例［J］. 数学通报，2017，56（12）：33-36.