核心素养导向下指向学力发展的教学路径探索
作者： 祁伟
［摘 要］ 随着新课改的深入推进，培养学力、提升核心素养是当前学科教学的重中之重. 然而，学力的培养和核心素养的提升并非一蹴而就，需要长期的探索与积累. 文章以“函数的奇偶性”教学为例，从“利用情境，导入新课”“问题驱动，构建概念”“例题探索，应用概念”“总结提炼，反思升华”四个方面展开实践，引导学生感悟知识间的内在联系，从而真正提升学力.
［关键词］ 奇偶性；学力；问题；核心素养
核心素养导向下的学科教学将学力培养放在首位，然而学力的形成无法一蹴而就，这需要教师在深入理解学生和教学情况的前提下，运用恰当的问题激发学生的思维，引导他们在自主探索的过程中发现、体验并深刻理解知识的脉络，实现深度学习并提升学力. “函数的奇偶性”是高中阶段的重要基础知识之一. 在教学过程中，引导学生积极参与教学活动，通过逐步深入的探索，领悟知识的本质，这不仅能够提升学力，还能促进核心素养的发展.
教学过程设计
1. 利用情境，导入新课
如图1所示，教师在课堂的起始阶段利用多媒体向学生展示一系列美丽的图片，让学生初步感知生活中的对称现象，为本节课的教学做铺垫.
师：通过观察图片，相信大家都感受到了生活中所存在的对称现象. 本节课我们将一起探索数学中的对称现象. 现在，请大家取出课前准备好的网格纸，在纸张上作一个平面直角坐标系，并在坐标系内画出函数y=x2与y=x的图象.
问题1 这两个函数图象具备什么共同特征？
生1：这两个函数图象看起来均关于y轴对称.
师：这是你们通过直观观察所发现的对称性，但所画出来的图象仅是函数的一部分. 那么，那些未被画出来的部分是否也具有对称性呢？请给出理由.
生2：应该具有对称性，但我不会描述.
师：直观感知的对称性是从函数的“形”方面着手分析的，但由于函数图象具有无限延伸的特性，因此我们无法通过翻折明确其对称性. 那么，我们是否可以从“数”的维度来探索函数的对称性呢？
通过合作交流，有学生提出了以下想法：将函数图象视为点的集合，并探究图象上的点在沿y轴翻折后，是否能与另一个点完全重合. 简而言之，即验证图象上的点关于y轴对称的点是否也位于该函数图象上.
师：有道理！若以函数y=x2为例，可以怎么描述这一特征？
生2：从函数y=x2中选取几个特殊点，如点A（2，4），该点关于y轴对称的点为A′（-2，4），易知A′（-2，4）同样位于函数y=x2的图象上……
师：函数图象是由无数个点组成的，是不是选取几个特殊点就能充分说明问题呢？
生2：可将特殊点转化为一般点，即探索函数y=x2图象上的点P（a，a2）关于y轴对称的点P（-a，a2）也位于其图象上，从而确定函数y=x2的图象关于y轴对称.
教师高度评价了“从特殊到一般”的思想方法，并强调在面对“无穷”且难以逐一验证的问题时，可以采用“随机抽样”的方法进行分析. 对于函数y=x图象的对称性的研究，可以参考函数y=x2的研究过程.
设计意图 通过丰富的图片吸引学生的眼球，使他们迅速注意到图形的“对称性”特征，从而引入函数的对称性，这一过程显得自然. 学生通过合作与交流的方式，分别绘制了函数y=x2和y=x的图象，并习惯性地从“形”的维度进行分析，但遇到“无穷”问题时，他们意识到仅凭图形分析是不够的. 由此，自然而然地将学生的思维推入到“数”的探索中来，凸显了数形结合以及从特殊到一般的数学思维方法的重要性，为深入理解函数的奇偶性打下了坚实的基础.
2. 问题驱动，构建概念
（1）探索偶函数
问题2 通过以上探索，可知y=x2和y=x的图象均关于y轴对称，且定义域均为R. 从函数的解析式来看，其所涉及的运算法则包括平方和绝对值，那么这两者是否具有共同点呢？
生3：有，从运算法则来看，若两个数互为相反数，则它们的平方是相等的. 同样，它们的绝对值也是相等的.
师：从“输入”与“输出”的角度该怎么解释？能否用符号f来表示？
生4：输入：互为相反数的两个数；输出：值具有相等的关系. 表示为f（－x）=f（x）.
师：非常好！这是我们本节课探讨的一个重要概念——偶函数（投影展示定义，略）. 请列举几个偶函数的例子.
生5：y=3x2，y=x2，y=x……
师：这些都是大家所熟悉的偶函数，有同学能构造出其他类型的偶函数吗？
生6：y=x8，y=x6，y=x4.
师：这些函数具有什么共同点？
生7：函数中均包含偶次方，难怪被称为偶函数.
（2）探索奇函数
问题3 现在请大家继续在网格纸上画出函数y=x和y=x/1的图象，根据以上探索经验分析这两个函数的对称性，并命名且给出完整的定义.
学生通过自主作图和探索，得出结论：两个函数图象均关于原点对称，以函数y=x/1为例，任取其图象上的一点Pa，1/a，该点关于原点对称的点为P′-a，-1/a，显然点P′同样位于该函数图象上，由此确定y=x/1为一个关于原点对称的函数. 可用数学符号f（－x）=－f（x）来表示.
师：太棒了！由此可抽象出奇函数的定义吗？
生8：通过类比偶函数的定义，我们可得奇函数的定义如下：设函数y=f（x）的定义域是A，对任意x∈A均有f（－x）=－f（x），则y=f（x）为奇函数.
教师将奇函数的定义展示在偶函数定义的下方，并要求学生自行列举几个奇函数的例子，阐述奇函数所具有的特征.
生9：例如y=x7，y=x5，y=x3等，奇次方是这些函数的共同特征.
（3）深入探索
问题4 已知函数f（x）的定义域为R，如果f（－2）=f（2），那么函数y=f（x）是不是一定为偶函数？
生10：虽然偶函数的形式为f（－x）=f（x），但f（－2）=f（2）只能说明一个特殊值满足该形式，其他自变量有可能并不满足这一形式，该函数不一定为偶函数.
师：不错，如果明确函数f（x）是偶函数，那么f（－2）=f（2）必定成立吗？
生11：成立，这是偶函数中的一个特定值情况.
师：如果f（－2）≠f（2），那么函数f（x）一定不是偶函数. 这种说法对不对？
生12：既然已经发现一个特定值无法满足f（－x）=f（x），根据偶函数的定义，我们可以确定该函数并非偶函数.
师：如果f（－2）=f（2），那么函数f（x）一定不是奇函数. 这种说法对吗？
生13：如果f（－2）=f（2），那么f（－2）≠－f（2），根据奇函数的定义，可知函数f（x）不是奇函数. 因此这种说法是正确的.
生14：我认为这种说法是错误的，题设条件并没有明确规定f（－2）≠ －f（2），若f（－2）=－f（2）=0，这就满足了奇函数的定义. 因此这种说法不准确.
师：看来大家的思维越来越缜密了，接下来我们继续往下探索.
问题5 已知函数y=x2，x∈R为偶函数，如果将其定义域更换为［－2，1］，那么函数y=x2依然为偶函数吗？说明理由.
生15：不是，在此条件下的函数y=x2不再关于y轴对称.
生16：我也认为不是，理由是f（2）没有意义，当x=－2时，f（－x）≠f（x），显然有悖于偶函数的定义.
教师对这两名学生的观点表示了充分的肯定，并强调通过举反例来解决问题是一个重要方法. 同时，教师要求学生结合之前的探讨，分析一个具有奇偶性的函数应如何定义，并分别阐述这类函数的特征.
生17：主要从定义域着手，若函数f（x）的定义域为R，可确保f（x）和f（－x）都有意义.
生18：若将上述问题中的定义域更换为［－1，1］或［－2，2］，则f（x）和f（－x）同样都有意义.
师：很好！具有奇偶性的函数，其定义域必定关于原点对称. 相反地，如果一个函数的定义域不满足关于原点对称的条件，那么我们可以断定该函数不是奇偶函数.
设计意图 以探索偶函数为起点，引导学生自主地将探索方法迁移到奇函数的探索中，顺利揭示了偶函数与奇函数的定义. 随着师生积极的互动，学生在一系列问题的驱动下，通过分别对不同函数的探索，明确了函数在何种条件下具备奇偶性的特征. 这种设计不仅促进了学生思维的深入发展，还为后续探索更多函数问题打下了坚实的基础，彰显了课堂的“生本”理念，实现了深度学习.
3. 例题探索，应用概念
例1 分析下列函数的奇偶性：①f（x）=x4－1；②f（x）=4x；③f（x）=3x；④f（x）=（x－1）2.
例2 函数f（x）位于y轴右侧的图象见图2，请画出函数f（x）分别为奇函数与偶函数时位于y轴左侧的图象.
在讲解这两道例题时，教师通过例1①向学生展示了一个正确的示范，帮助学生初步掌握判断函数奇偶性的基本步骤，并鼓励学生从“数”和“形”两个角度进行探索与分析，从而掌握一般性的解题程序.
设计意图 知识点的教学旨在为解题提供支持，而解题教学又能助力学生巩固知识基础，两者相辅相成，共同促进学力的提升. 这两道例题的讲解，旨在指导学生掌握判断函数奇偶性的通用方法，深入理解数形结合的理念，从而有效提升数学抽象思维和推理能力.
4. 总结提炼，反思升华
师：本节课采用了哪些方法？我们获得了哪些知识和思想方法？
生19：从“数”和“形”两个维度来判断函数的奇偶性，掌握了偶函数、奇函数等概念的定义及其判定技巧.
生20：应用的思想方法包括从特殊到一般、数形结合等.
师：函数的奇偶性属于一种从整体视域来看的性质，其直观的图象具有对称性特征，这与函数的单调性不一样，我们将在后续继续深入研究.
设计意图 引导学生从多个角度对课堂教学内容和思想方法进行回顾与总结，有助于进一步加深学生对知识的理解，促进学力的提升，并为培养核心素养奠定基础.
教学思考
1. “以生为本”是引发探究的基础
新课标明确指出，学生是课堂的主体，因此课堂教学应将“以生为本”落到实处. 基于“以生为本”理念设计的教学活动，不仅能够触及学生的“已知”领域，还能依据学生的最近发展区来设计教学计划，助力学生完成从“未知”到“已知”的转化过程.
课程开始时，教师通过展示一系列与学生兴趣相关的图片，成功激发了他们的探索欲望；在课堂上，教师依据学生的实际认知水平，引导他们主动归纳出奇偶函数的定义，并鼓励他们将这些定义应用于函数的判断和实际问题中，有效地完善了学生的认知结构，提升了他们的学习能力. 此外，课堂上为学生提供充分的探索时间至关重要. 在学生掌握了偶函数的概念之后，他们可以独立地探究奇函数的概念，因为两者的学习路径是相同的.
2. 问题驱动是引发探究的灵魂
课堂是由一系列问题串联而来的，好的问题具有激疑启思的作用. 在课堂上，学生在问题的驱动下，经历生疑、质疑与释疑的过程，从而有效地提升了思维层次，增强了思考能力. 本课程围绕5个核心问题展开，每个教学环节都紧密围绕相应问题进行探索与交流，为学生的探究活动提供了明确的方向. 例如，问题“函数y=x2的图象未被画出的部分是否依然具有对称性”促使学生认识到仅从“形”的角度进行分析是不够的，由此自然过渡到从“数”的角度进行探索；又例如，要求学生自主阐述并用符号表示“函数y=x2与y=x相对应法则的特性”，这个问题引导学生深入理解并掌握偶函数的本质.
综上所述，在核心素养的指导下，探索促进学力发展的教学路径是一项艰巨且长远的任务. 教师需深入理解学生的实际认知水平，精心设计问题以激发学生的思维，提升他们的思考能力，从而实现深度学习，使核心素养在学生心中生根.