关于立体几何中探究点的位置的教学指导
作者： 陈叶
［摘 要］ 探究点的位置是立体几何中的常见问题和关键环节. 在具体解析时，可以采用猜想证明法、直接探究法和设点解方程法. 研究者深入剖析这三大解法，并结合实例指导学生强化应用，同时提出相应的教学建议.
［关键词］ 立体几何；点的位置；三大解法
方法综述
立体几何问题常涉及探究点的位置，学生只有在确定点的位置后才能进行后续的分析推理. 在综合性问题中，这些关键“点”的位置通常难以确定，学生解题时常感到迷茫，无从下手，解题思维停滞，造成无法解题或错解. 实际上，立体几何中的这些关键“点”，需要结合与之相关的点、线、面来确定，常用的方法技巧有猜想证明法、直接探究法和设点解方程法.
在实际教学中，笔者建议分为三个环节进行分析和指导：环节一，深入解读方法概念，指导学生明确其使用情境，并构建相应的解题策略；环节二，结合实例进行解题指导，特别强调运用对应方法来探究“点的位置”；环节三，通过解题后的反思，引导学生总结思考过程，从而深化对方法的应用.
方法探究
上述列举了立体几何中探究点位置的三种方法，教师需引导学生理解这些方法，并掌握其使用技巧. 下面开展方法讲评，以及解题应用指导.
方法探究一 猜想证明法
猜想证明法是立体几何探究点位置的常用方法，顾名思义，该方法的使用逻辑为：先猜想，再证明. 显然，点位置的猜想并非毫无根据，而是基于题设条件，点、线、面之间的相互关系，所作出的合理推断. 该方法常用于涉及等分点的问题中，例如中点或1∶2等分点.
建议引导学生采取两步解题策略：第一步，分析题设条件，提取特殊关系，根据条件猜想点可能位于的特殊位置；第二步，整合条件，探索分析，证明猜想.
综上可知，侧棱PA上存在点E，使得BE∥平面PCD，此时点E为PA的中点.
方法探究二 直接探究法
直接探究法，即根据问题条件、计算分析直接确定点位置的一种方法. 该方法的计算分析过程相当复杂，通常需要进行代数运算，其中涉及高中阶段的知识和定理，例如正弦定理、余弦定理以及三角函数、相似三角形等知识.
直接探究法的解析过程通常分为三个步骤：首先，解析条件，以理解立体几何图形；其次，关注特殊条件，根据位置关系提取或构建模型；最后，基于模型进行运算推理，结合性质定理来计算，最终确定点的位置.
反思总结 上述探究立体几何中满足特定条件的点位置，采用的是直接探究法. 通过分析并提取其中的特殊关系——三角形相似，构建线段比值关系，从而直接计算出线段的长，完成点位置的确定. 利用直接探究法确定点位置，解析过程侧重于推理和运算，是对三角形性质定理的综合运用，通常采用解三角形的方式来推导线段的长. 教学中建议指导学生加强解三角形的练习，灵活运用正弦定理、余弦定理以及三角函数、相似三角形等知识.
方法探究三 设点解方程法
在立体几何中探究点的位置时，设点解方程法也是一种常用的技术. 这种方法的关键在于设定未知点的坐标，然后利用线段关系来构建与坐标参数相关的代数方程，并通过解方程找到点的确切位置. 设点解方程法适用于能够建立空间直角坐标系的问题，通过空间向量来设定并构建方程.
分析指导 本题以四棱柱为背景，设定了垂直、平行、等长线段、中点等条件. 题设两问，其中第（2）问为核心之问，探究是否存在满足条件的点M，适合运用设点解方程法来求解.
过程解析 以点A为原点，按照图4建立空间直角坐标系.
反思总结 采用设点解方程法探究点M的坐标，首先需要构建一个空间直角坐标系，是对向量、方程知识的综合运用. 在指导教学中，需要引导学生注意两点：一是设点时，注意参数的取值范围，以避免产生多个解；二是设点时，根据实际情况设定未知数个数，以尽可能减少计算量.
教学思考
在立体几何中，探究点的位置是一个常见的问题，它经常作为解析过程中的关键环节出现. 上述总结的三大解法可高效确定点的位置. 在教学中，教师应当详细阐释各种解法，制定出解题策略，并指导学生灵活运用. 下面提出几点建议.
1. 关注适用场景和步骤讲解
上述所探究的猜想证明法、直接探究法和设点解方程法均可用于确定点的位置，但它们各有优劣，适用于不同类型的问题. 在教学中，教师应针对每种解法进行详细讲解，并明确指出其适用的题型和操作步骤. 以猜想证明法为例，它适用于涉及特殊点或特殊线段关系的问题，实际应用时按照“先猜想，再证明”的步骤.
2. 关注解析细节的指导
三种探究点位置的方法具有普遍适用性，其难点在于条件的整合和细节的把控. 学生在应用时常常难以掌握推理的细节，感到无从下手. 这时就需要教师进行合理的引导，指导学生根据题设条件和逻辑关系进行分析和推理. 例如，在运用直接探究法时，学生可以根据特征条件提取特殊模型，随后利用模型的属性解三角形，进而求得参数的值.
3. 关注思维能力的提升
教师应关注学生思维能力的提升，引导他们反思解题过程，总结方法应用的细节，并深入理解相应策略. 同时，教师应适度引导学生发散思维. 在解题过程中，教师应针对解题思维的关键环节进行启发式引导. 例如，在运用设点解方程法时，引导学生掌握空间向量的“设点、解点”技巧，并深入探讨异面直线夹角问题的解法.
结束语
解决立体几何中点的位置问题的三种方法各有千秋. 教师应根据每种方法的特点进行有针对性的讲解，并通过实例来培养学生的应用能力. 在解析过程中，教师应注意引导学生发散思维，使学生在掌握方法的同时提高思维能力，并培养勤于思考、敢于猜想和论证的良好思维习惯.