HPM视角下“复数”同课异构的实践与思考

［摘  要］ HPM视角下的数学教学不仅能揭露知识的形成与发展过程，还能有效驱动学生的学习动机，为他们提供丰富的探索机会，使课堂充满文化气息、探究之趣. 文章以两位教师执教“复数”一课为例，从复数的形成背景入手，分别从宏观的四个教学环节设计与微观的史料运用的贴合性、史料融入的多元性以及史料应用的自然性等角度，对两位教师的教学方案谈一些拙见.

［关键词］ HPM；同课异构；复数

HPM是指数学史和数学教育之间的关系. 基于HPM视角展开教学，不仅可以追溯知识的起源，还能让学生体验知识的发展历程. 实践发现，基于HPM视角实施课堂教学，能促使学生从本源上掌握知识的来龙去脉，有效落实新课标对发展个人关键品格的要求，从真正意义上促进学生核心素养的发展［1］. 本文以两位教师执教“复数”一课为例，揭示基于HPM视角实施教学所带来的利好.

复数形成背景

综上所述，虚数并不是基于解一元二次方程而来的，而是在解二元二次方程组或三次方程时自然生成的，引起了数学家们的重视. 尽管人们对一元二次方程的判别式Δ＜0时，可能会“无视”无根的情况，但这种态度并不适用于一元三次方程. 例如，邦贝利在解决三次方程时发现，尽管解中包含实根，但按照求根公式推导，均涉及复数的平方根；再看莱布尼茨遇到的情况，未知数之和虽然是实数，但构成这个实数的两个数却不是实数. 正是实数与非实数之间的这种矛盾关系，激发了数学家对虚数的深入研究.

鉴于此，教师在教授复数时，可以利用数学史的背景来构建教学情境，引导学生在类似的历史背景中体验矛盾和冲突，从真正意义上驱动学生的学习动机.

整体视域比较两节课

如表1所示，甲、乙两位教师分别从情境创设、概念探索、实际应用与归纳总结四个环节展开教学，但在每一个环节的设计上又有所区别.

两位教师均基于HPM的视角设计了教学方案，但具体教学方法又不一样，教师甲由“10拆为不同乘积的数”为起点，揭露了数系的发展史，学生跟着这个节奏自然而然地进入了实数域的扩充中，整个过程充满了乐趣；教师乙则再现了莱布尼茨所发现的矛盾，有效激起了学生的认知冲突. 在探索复数代数的环节，教师甲采用了类比法，而教师乙则通过造数活动来引导学生深入理解复数代数. 关于虚数的应用，教师甲并未展示其实际应用案例，而教师乙通过微视频揭示了复数在物理领域中的应用实例.

从两位教师教学的相似点来分析，他们均捕捉到了解决莱布尼茨与卡丹问题的核心，即导致方程无解的主要原因在于“负数无法开平方”. 解决这个问题最好的办法就是让负数可以开平方，由此导出虚数i. 在应用层面，两位教师都通过典型例题来巩固和加强学生的理解.

微观视域比较两节课

1. 史料引用的贴合性

基于HPM的视角设计教学方案，首先需确保史料的科学性，在此基础上加以适当的剪裁与加工，使史料更贴近课堂，成为教学的催化剂. 从虚数的引入环节来分析，两位教师均对三次方程求根公式的复杂性表示担忧，因此没有选择这个材料介入课堂，而是结合学生的认知经验选择了学生容易接受的二元二次方程组作为课题引入的切入点.

基于上述分析，教师乙的导入方法更能说明为什么要扩充数系，引入虚数. 尤其是微视频的展示，让学生从真正意义上理解了“虚数不虚”，而且还大有作用. 进一步证明了虚数的重要性，让学生发自内心地去探索什么是虚数，提高了学生学习的积极性. 当然，教师甲所设计的拆数游戏，也让课堂充满了活力. 总体而言，这两位教师所使用的史料均基于科学证据，与历史事实相符，值得肯定. 然而，在数系扩展的顺序方面，他们应更加严谨，明确区分数的发展逻辑顺序和历史顺序，避免将两者混淆.

2. 史料融入的多元性

将数学史有机地融入课堂，可采用附加式、顺应式、复制式与重构式的方法. 教师甲选择附加式的方法向学生阐述了数系扩充的过程，再以顺应式的方法带领学生应用数学史，而后探索拆数游戏，并以复制式的方法向学生揭露了虚数定义的由来. 教师乙以复制式的方法用莱布尼茨问题激活课堂，再以附加式的方法带领学生理解并应用数学史，让学生感知数系扩充是因为数学内部与社会发展的需要，并以重构式的方法设计造数活动，促使学生理解复数的代数表达式. 课堂尾声，以微视频的方式展示，属于附加式的融入法.

由此可见，两位教师在数学史融入教学的方法上都相当多样化. 除了教师乙未涉及顺应式方法外，其他几种方法都被两位教师所采用. 因此，在这一方面，两位教师都做得相当到位.

3. 史料应用的自然性

将数学史融入数学教学，需要从授课内容的历史发展顺序、知识的逻辑顺序、学生认知发展规律等方面着手，遵循“自然”的原则，可让课堂深入人心.

（1）教师甲的教学

评析 这位教师以顺应式的方法对卡丹的问题进行了改编，为生活与数学建立了联系，让HPM视角下的课堂显得更加流畅，也为接下来探索数系扩充的问题夯实了基础. 显然，拆数活动的应用成功引入了虚数，让课堂充满了灵活性，有效激发了学生的学习动机. 然而，此过程对“拆解后的两个数之和为实数，但这两个数却不是实数”缺乏深入探索.

（2）教师乙的教学

评析 以布莱尼茨所遇到的问题激发学生的认知矛盾，并借助几何画板的演示进一步激发学生的认知冲突，这种教学方法将情感渲染到极致，使得HPM的融入更加自然. 然而，在此过程中，关于史料问题的引入缺少了一些问题基础，整个过程有些突兀. 如果教师能结合学情，顺应学生的思维来改编史料，可让课堂更加生动.

探索发现，以虚数形成的历史顺序作为课堂引入，比借助方程引入虚数的定义更符合学生的认知特征. 这两位教师都在了解学情的基础上再现了虚数的历史，促使数系的扩充史与学生的心理发展有机地融合，彰显了数学课堂的自然与淳朴.

思考与感悟

从上述对比分析来看，两位教师基于HPM视角执教的“复数”课程既科学又有趣，且具有创新性. 然而，美中不足的是两位教师未能清晰地区分数系扩充的逻辑顺序与历史顺序. 教师乙所使用的史料能更有效地揭露引入虚数的必要性，尤其是微课的运用，为课堂注入了活力，加深了学生对虚数的理解.

通过类比分析，笔者认为基于HPM视角实施教学，首先，必须精选史料，并在不同环节采用多样化的方式进行融合，这样才能真正顺应学生的思维模式，使课堂内容更贴近学生的生活实际；其次，必须端正对待史料的态度，以科学的方法审视史实，切勿为了追求教学效果而歪曲历史；再次，必须展现数学史的教育价值，例如虚数的形成就经历了复杂的历史进程，数学家们艰辛的探索历程不仅具有教育价值，而且对培养学生的个人品质具有重要意义.

总之，HPM视角下“复数”同课异构的实践与研究给笔者带来了很大的启示，使笔者充分认识到数系扩充的过程是数学发现与创造的过程，是人类社会文明发展的客观需要. 作为教师，应学会选择史料素材，从多维度将史料渗透在教学的方方面面，这是发展学生关键品格的重要举措.

参考文献：

［1］ 孙雨琴，娄慧敏，朱哲. HPM视角下高中数学课堂教学的特点初探：基于“椭圆的定义”的同课异构教学案例分析［J］. 中学数学月刊，2018（11）：45-48.