数学问题链教学的预设与生成

［摘  要］ 研究者基于数学问题链教学的内涵与特征，以“圆锥曲线中的定值、定点问题”为主题设计一节高三复习课，旨在明晰这类问题的解题方法和理论基础；同时，在预设与生成中反思问题链教学的功能、设计原则和价值诉求．

［关键词］ 圆锥曲线；问题链；教学设计

“三年课程两年完成”是当前高中教育最常见的现象. 在高三复习阶段，如何应对由于高一、高二阶段赶进度而引发的课堂内容不充分、教学体系不完整、知识掌握不深入等问题？仅仅依赖教师对厚重的一轮复习资料进行逐字讲解显然是不足够的.

“数学问题链教学”源于唐恒钧教授、张维忠教授等人的研究成果. 其内涵在于教师通过课堂上师生互动的方式，呈现预先设计的、逻辑连贯的数学问题，以此激发学生进行高层次的思维活动. 这种教学方法是问题式教学法的进一步发展和提升. 基于问题链教学的内涵与特征［1］，笔者设计了一节高三复习课，专注于圆锥曲线中的定值、定点问题. 旨在通过构建逻辑严密的问题链，复习高考核心考点，同时引导学生体验数学的思维过程，从而提高他们的数学运算和逻辑推理等关键能力.

在高考的圆锥曲线解答题中，经常会出现涉及斜率之积、斜率之和的定值、定点问题. 这类问题由于算法难以想到、计算量庞大等原因，常常让许多考生感到畏惧. 高考题目往往源于课本例题和习题的改编，通过引导学生从课本出发，经历从特殊到一般的思考过程，以及从正向到逆向的数学思维模式，不断通过变式深化对问题的理解，直至接近高考真题的难度，从而实现课堂教学目标.

起点问题

1. 预设

如图1所示，设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）．直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是－４/9，求点M的轨迹方程． （选自人教A版高中数学选择性必修一）

2. 生成

师：在日常处理圆锥曲线解答题时，你们觉得最困难的部分是什么？

生1：我听得懂老师的讲解，但自己却难以找到解题思路.

生2：计算量太大，不想继续计算了.

师：确实，难以想到解题思路和难以完成计算是解决圆锥曲线问题的两大难点. 今天，我们将针对圆锥曲线中的定值、定点问题进行深入探讨.

师：请大家一同关注这个选自教材的例题，除了将它作为轨迹问题进行分析外，你们还有何其他发现？

生3：椭圆的第三定义.

生4：椭圆上任意一点（不与椭圆的左、右顶点重合）与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积是一个定值.

评注 无论是在人教A版高中数学选修2-1（老版）还是在人教A版高中数学选择性必修一（新版）中，这个例题都存在. 在讲授新课时，教师通常会利用这个例题向学生介绍椭圆的第三定义. 从课本中的这个例题出发，可以自然地过渡到本节课的主题；同时，在设计问题链时，将此类问题作为起点问题也是恰当的.

延伸问题

1. 预设

评注 本教学环节设计的三个问题层层递进，从探讨椭圆中的最长弦开始，过渡到经过椭圆中心的任意弦，最终深入到椭圆中经过定点的任意弦. 这一过程从特殊情形出发，逐步扩展到一般情况，通过使用几何画板辅助探究，生动展现了数学思维的一般方法.

2. 生成

评注 在构建问题链的过程中，教师不仅要注重操作方法，更应深入探讨其原因，以及如何更高效地实现. 这实际上是在引导学生深入探究数学问题的核心，思考算法及其背后的原理. 例如，为何要这样设定直线方程？直线过定点问题的本质是什么？这一系列问题直击思维的核心，使得课堂成为知识的“生成”之地，而不仅仅是知识的“呈现”之所.

同时，培养数学运算素养不是给出解题思路后放手让学生自行计算，而是在选择运算法则、设计运算程序、反思算理上下功夫. 通过优化学生的计算过程，引导他们体验“整体化简”在减少计算量方面的优势，并思考其背后的计算原理，理解这些原理是可以迁移应用的. 这样，学生在未来的学习中能够从模仿逐步过渡到“再创造”.

触摸高考

1. 预设

评注 问题4的第（2）问与本高考题的第（2）问几乎一致. 通过分解问题，可以降低题目的难度；同时，将上一环节问题中的条件与结论互换，将定值问题转变为定点问题，这体现了研究问题的连续性和逻辑性，让学生充分体验研究数学问题的通用方法.

2. 生成

师：同学们表现得非常出色！实际上，这个题目就是2020年高考山东卷的第22题. 大家比较一下问题4和这个高考题，可以发现老师只是增加了一个关于过定点的问题. 在为大家搭建了一个“脚手架”之后，高考题的第（2）问就迎刃而解了. 因此，在解决问题时，大家要注重分析问题的本质.

提炼问题

问题5 在问题4的条件下，求A点到直线MN的最大距离（最值问题）.

问题6 本节课主要探讨以椭圆为载体，研究斜率之积为定值的定值、定点问题，思考在双曲线、抛物线中是否存在类似的结论.

问题7 人教A版高中数学选择性必修一的第109页、第139页和第145页分别提出了斜率之商、差、和为定值的轨迹问题. 请参照本节课研究斜率之积为定值的方法，深入探究这些问题.

评注 课后布置的三个问题旨在深化学生对本节课所学知识的理解，通过变换问题形式、扩展研究对象和视角，模拟数学问题研究的常规流程，有效提高学生深入分析问题的能力，这是学生深入掌握知识的必经之路.

几点反思

1. 设计问题链，实现“化零为整”

问题链教学不仅适用于新授课，同样适用于高三复习课. 在课前预设关联有序的问题链，可以将分散的考点串联起来，实现“化零为整”的效果．尽管一轮复习资料将知识点划分为若干大专题，但这些考点之间的联系并不紧密. 学生在题海战术中被动接受知识，缺乏主动形成普遍观念的思维能力. 本专题是高考的热点同时也是难点，课堂上学生往往只是被动地观察几个典型例题的解答过程，却并不理解为何要采取这样的解题方法. 通过设计逐步深入的问题链，可以帮助学生主动构建起对某一类考点命题逻辑的理解.

2. 根据“三种关联、四种思维”设计问题链

唐恒钧教授等人认为，数学问题链的设计要强调“三种关联、四种思维”，即可以从表层信息关联、方法关联、视角关联等方面设计推广链、特殊链、类比链、逆向链等问题链［2］． 例如，在本节课中，学生通过多种方法解决同一个问题；互换条件和结论，探究逆命题；尝试从研究椭圆的角度去探索双曲线，并且从斜率之积为定值的角度出发，研究斜率之商、和、差为定值的问题，等等. 这些问题有效地激发了学生的思维，符合数学的思考方式，并为学生未来解决数学问题提供了多种可行的视角.

3. 问题链教学设计指向素养的形成

过去我们重视能力的培养，现在则更加注重素养的提升. 能力通常指的是个体解决问题的能力，它关注的是结果，而素养则不仅包括解决问题的能力，还包括自发地运用数学视角和工具来审视问题的意识，它关注的是过程. 问题链是根据数学思维逻辑设计的一串关联有序的问题，它在帮助学生解决问题的同时，也使学生沉浸于数学的思维模式中. 学生在理解“是什么”的同时，也理解了“为什么”，并且能够在类似的情境中迁移课堂上学到的清晰的算理. 而这种迁移能力，正是素养形成的核心价值所在.

参考文献：

［1］ 唐恒钧，张维忠． 数学问题链教学的内涵与特征［J］． 教育研究与评论（中学教育教学），2021（1）：8-12．

［2］ 唐恒钧，黄辉． 数学问题链教学设计与实施的三个关键［J］． 中学数学（高中版），2020（5）：78-80．