动静相宜，以“形”见“型”
作者： 於青
［摘 要］ 在解决函数综合题时，学生往往面临着参数与不等式的困扰. 在试题教学中，教师借助GeoGebra，引导学生从直观感知出发，逐步形成猜想，并最终通过逻辑推理，构建一种系统的解决问题的方法. 这种方法能够有效地促进学生从基础的直观想象向更深层次的逻辑推理过渡，从而提升他们的数学抽象素养.
［关键词］ GeoGebra；函数；综合题；数学抽象素养
引言
函数作为高中数学中的重要内容之一，经常在高考中以综合题的形式出现，涵盖基本初等函数、数列、不等式等多个数学知识内容. 由于函数具有高度抽象的特点，学生在解题时常常遭遇困难，尤其是涉及参数，以及证明不等关系时，问题的不确定性增加了解题难度，使学生感到迷茫. 因此，在解决函数综合题的过程中，教师和学生共同面临一个难题：如何将抽象的思维过程具象化，激发学生的数学思维，提升他们的学习参与度，并使他们能够将所学知识迁移到实际应用中.
GeoGebra，通常简称为“GGB”，由“几何（Geometry）”和“代数（Algebra）”两个词组合而成. 它是一款功能强大的图形计算器，将几何、代数、表格、图形、统计、微积分等以直观易用的方式集于一体. 该工具能够将抽象的数据信息转换为直观的图象信息，实现信息的可视化.
笔者利用“GGB”对高考函数题进行了深入剖析，旨在探讨如何利用信息技术强化学生的直观想象能力，同时培养他们的数学抽象和逻辑推理素养，激发他们的数学学习兴趣和参与热情，帮助他们更深入地理解和应用函数概念.
真题例析
综合分析 本题以有机结合函数、导数、数列与不等式等知识为特色，主要考查学生在解决复杂问题时灵活应用函数与不等式思想的能力. 本题对数学抽象和逻辑推理素养提出了较高的要求，体现了新高考Ⅱ卷的综合性和深度.
在现代信息技术的支持下，本题旨在引导学生从直观想象向逻辑推理过渡. 这种设计更贴近学生的认知习惯，有助于他们更深刻地理解问题，并借助信息技术的辅助，实现对问题解决思路的有效迁移.
接下来，逐一分析这些问题.
1. 第（1）题
在函数f（x）=xeax－ex中，参数的存在导致函数具有多变性. 为了使函数由不确定性变为确定性，通常采用对参数进行特定赋值的方法. 大多数学生倾向于通过对函数求导，进而研究导函数的零点来确定函数的单调区间. 虽然这是一种合理的通用方法，但我们可以通过“GGB”进行优化，具体操作如下（图1包含以下）：
（1）引入参数滑动条：借助“GGB”的特性，引入一个参数滑动条a，并与输入框结合使用，以便于直观观察图象随着参数变化的动态过程. 这有助于学生更清晰地理解函数与参数之间的关系.
（2）运用导数指令：在“GGB”中使用导数指令，观察导函数零点与参数变化的关系. 这样可以直观看到导函数零点与原函数单调性之间的联系，从而深化学生对通法的理解.
通过这种优化，学生在解决函数单调性问题时，不仅能够执行常规步骤——求导、找零点、下结论，而且借助“GGB”这个可视化工具，更能直观洞察参数对函数形态的影响，从而加深对问题的理解，提升解决问题的能力. 这种优化方法有助于培养学生更全面的数学思维能力和解题能力.
2. 第（2）题
第（2）题对参数范围的求解限定了函数定义域和值域，难度相较于第（1）题明显有所提升. 学生通常采用最值探究或分离参数的方法，但这种处理方式对学生的思维拓展有一定的挑战. 为了帮助学生更深入地理解问题并找到解决方案，可以利用信息技术采取以下措施：
（1）借助指令进行可视化：使用“GGB”指令“h（x）=如果（x>0，f（x））”，绘制出符合定义域的函数图象，避免不必要的干扰. 这有助于学生更清晰地观察函数在限定范围内的图象.
（2）输入指令找上界：在“GGB”中输入指令，找到限定的上界y=－1，为进一步的视觉观察做好准备. 通过拖动滑动条a，学生可以初步探索a的临界值.
在这种情形下，学生会自然产生两个逻辑推理方向：
方向1：分类讨论. 在极值点（或最值点）处，特别是在“y<－1”的情况下进行分类讨论.
方向2：通过图象找到特殊值f（0）= －1，同时观察参数a与图象的变化，可以进一步考虑函数是否满足单调性f（x）<f（0）. 这种方法也就是充分性的探路.
基于此，逻辑推理的过程将变得更加流畅（详细的证明步骤这里不再赘述）. 这种优化方法预期能够帮助学生更直观地理解问题，并拓展解决问题的深度与广度.
3. 第（3）题
（1）初探：直接比较.
（2）再探：寻找相关同“型”.
（3）深探：用面积来感知、理解大小关系.
1. 对第（1）题的分析
2. 对第（2）题的分析
感悟
通过对“GGB”的应用，我们发现它能够将复杂抽象的数学问题可视化，呈现形象生动的图象，激发学生的好奇心和求知欲，潜移默化地培养学生的核心素养. 此外，“GGB”还可以用于问题的推广验证，特别适用于不等式放缩等问题.
1.“GGB”解决函数问题的实施步骤策略
（1）利用滑动条观察参数变化：利用“GGB”的滑动条功能，实现参数的变化，并观察函数图象的变化. 这有助于学生直观感受参数对函数的影响，从而加深他们对函数行为的理解.
（2）寻找特殊点进行逆向思维：使用“GGB”，学生可以更轻松地寻找到函数的特殊点，进而促进逆向思维的发展. 发现特殊点有助于回到数学问题的原点，深入挖掘问题的本质.
（3）比较“形”的大小来探究“型”：利用“GGB”进行图形的大小比较，通过可视化手段探究“型”，从而推导出结论. 这种方法不仅注重形式上的比较，同时也培养学生审视结构的能力.
2. “GGB”引导学习路径，培养逻辑推理
（1）函数问题，抽象为本
将函数问题的抽象性视为解题的核心，强调学生需要运用理性思维进行逻辑推理. 分类讨论、参数分离以及二阶求导等方法成为解决函数问题的基本工具，培养学生在数学探索中的理性思考能力.
（2）动静相宜，技术扶持
“GGB”通过完整、反复地呈现函数的动态变化，使得函数的研究更加精细与科学. 这有助于实现数与形的融合，为学生提供直观体验，特别是在解决函数性质与其他数学概念结合的问题时，“GGB”具有重要的指导作用. 动态的“型”既包含了运动的变化，也保留了静态“形”的基本特征.
（3）以“形”见“型”，回归原点
利用“GGB”可以进行简洁、直观的函数图象与性质的分析. 在运用导数证明函数单调性的过程中，学生从直观观察，到问题猜想，再到逻辑推理，逐步建立起对函数综合问题更深层次的理解，为数学素养的提升奠定了基础. 在教学中，教师需要在直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养之间找到一个平衡点. 强调直观教学的同时，也需要加强学生对解题运算和论证的练习，确保学生不仅能够形象地理解问题，还能够进行严密的数学思考.
参考文献：
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