王进 肖德媛：以“基本思想”为主题的数学单元教学案例

［摘  要］ 文章以超几何分布为例，探讨以“基本思想”为主题的数学单元教学案例设计，通过类比二项分布，呈现从具体实例的分析到随机试验模型的抽象、从概率问题的一般求解方法的归纳到超几何分布模型的辨析、从均值的猜想到验证等渗透数学基本思想的教学过程设计，并从凸显几何直观、回归数学本质、关注教学整体等三个方面浅谈设计反思.

［关键词］ 超几何分布；概率；教学设计

从单元教学设计类型来看，“横向迁移”和“纵向发展”可以作为两个基本设计类型. “二项分布与超几何分布”单元教学的第2课时“超几何分布”与第1课时“二项分布”属于“横向迁移”的类型，单元教学要用好第1课时积累的数学活动经验，更大程度地推动学生自主学习，更好地促进学生感悟数学思想. 因此，团队设计并实施了第2课时“超几何分布”. 下文分享教学过程设计，以待指正.

基本情况

1. 内容分析

超几何分布是特殊的古典概型，与不放回简单随机抽样联系紧密，关注被抽取的每个个体是否具有某种特征. 与有放回简单随机抽样是n重伯努利试验不同，不放回简单随机抽样每次抽取的条件不一样，且每次抽取的结果不独立，是n个不同的伯努利试验. 从知识生成过程来看，超几何分布与二项分布类似，也是特殊概率问题的研究结果，其研究过程与简单随机抽样、样本空间、事件的关系与运算、概率的基本性质与运算、古典概型等基础知识联系紧密，体现了建立概率模型的一般研究路径“引入问题情境—归纳随机试验的特征—分析随机变量X及其试验结果—推导X的分布列及其数字特征—简单应用”.

2. 学情分析

随机试验、随机事件、事件的概率、分布列及其数字特征等是学习超几何分布的知识基础. 二项分布的学习帮助学生强化了通过概率的加法公式与乘法公式和基于样本空间应用古典概型求概率这两种基本思路，积累了研究一类概率分布列模型的数学活动经验，这些都是类比学习超几何分布的思维基础. 对于不放回抽样中“逐个不放回地随机抽取”与“一次性批量随机抽取”是等价的，需要学生通过推理去深度理解；对于服从超几何分布的随机变量X的取值范围和均值的猜想与证明，需要类比条件概率、全概率公式学习过程中借助直观图示辅助理解的活动经验，以及较高的逻辑推理能力.

3. 教学目标

（1）类比二项分布的研究过程，应用不同方法求解不放回简单随机抽样试验的概率问题，理解“逐个不放回地随机抽取”与“一次性批量随机抽取”是等价的，感悟推理思想.

（2）经历从特殊到一般、从直观到抽象的模型生成过程，借助Venn图理解超几何分布模型，推导服从超几何分布的随机变量X的取值范围，感悟数学基本思想.

（3）经历超几何分布均值的推导过程，渗透数形结合思想方法，感悟推理思想.

（4）通过例题教学，归纳应用超几何分布模型解决具体问题的一般步骤，体会超几何分布和二项分布的区别与联系，感悟推理思想、模型思想.

4. 重点和难点

重点：超几何分布模型及其均值.

难点：在具体实例中抽象超几何分布模型的特征，对服从超几何分布的随机变量X的取值范围的理解，以及均值公式的推导.

教学过程设计

1. 复习回顾，类比探究

问题1 请结合问题“已知100件产品中有8件次品，从中有放回地随机抽取4件，设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列”回顾二项分布模型的学习过程，以及概率问题的基本求解方法.

设计意图 通过复习回顾二项分布模型的学习过程，进一步强化二项分布模型等显性知识学习过程中所蕴含的数学思想方法等隐性知识，强化通过概率的加法公式与乘法公式和基于样本空间应用古典概型求概率这两种基本思路，为不放回地随机抽样试验的研究提供类比基础.

探究1 请仿照问题1的有放回地随机抽样试验分布列的研究过程，研究问题“已知100件产品中有8件次品，从中不放回地随机抽取4件，设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列”.

前置分析：①与有放回地随机抽样试验进行比较，明晰不放回地随机抽样试验，虽然每次抽取都是一个伯努利试验，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，所以不是n重伯努利试验；②明确X可能的取值为0，1，2，3，4.

学生活动：4人一组共同探究问题的求解思路，要求尽可能多地找到不同的求解思路.

教师活动：给予学生思考方向，例如运用树状图分析试验结果或集合图示分析样本空间等，组织有成果的学生上讲台展示.

预设结果：预设有三种求解思路，第一思路（思路1），从事件表示的角度出发，借助树状图直观分析试验结果的积事件、和事件，再应用概率的乘法公式和加法公式求解.第二思路（思路2），从“逐个不放回有序依次随机抽取”的有序样本空间的角度出发，应用计数原理计算样本点个数，再借助古典概型求解.第三思路（思路3），从“一次性批量随机抽取”的无序样本空间的角度出发，应用计数原理计算样本点个数，再借助古典概型求解.具体过程如下：

设计意图 类比有放回地随机抽样试验的研究过程，组织学生自主探究、分享交流，经历从不同角度理解概率试验，以及应用直观与抽象、分类与分步等数学思想方法求解概率问题的全过程，深化从一般的“概率的求解”的整体视角学习特殊的“分布列模型”的局部视角的数学活动经验，促进学生感悟推理思想.

问题2 上述三个思路，思路1应用树状图直观分析试验结果，思路2应用四步乘法计数原理计算样本点数，你能用图示表示思路3的样本点数的组合意义吗？

设计意图 借助Venn图（如图1所示）直观理解“一次性批量随机抽取”的样本空间及其样本点数的组合意义，为后续超几何分布模型及其随机变量取值范围的分析打好方法基础.

问题3 三种思路下不同的分布列表达式之间有什么联系？

设计意图 通过探究三种思路下的分布列内在本质规律的共性，从推理的角度说明“逐个不放回地随机抽取”与“一次性批量随机抽取”是等价的，深化对思路3组合意义的理解，筛选出思维更简洁、运算量更小的分布列结果作为概率模型，为一般化概率模型的抽象做好铺垫.

2. 生成新知，初步应用

问题4 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中不放回地随机抽取n件产品，用X表示抽取的n件产品中的次品数，求X的分布列.

设计意图 将问题1一般化，引导学生经历从特殊到一般的研究过程，强化问题1中思路3的数学活动经验，初步完成超几何分布模型的抽象概括，感悟模型思想.

追问 你能结合Venn图（图2）的约束关系，探究随机变量取值k的范围吗？

师生活动：结合图示，分析并求解随机变量的取值范围. 具体过程如下：由0≤k≤M，0≤n－k≤N－M，得0≤k≤M，n－N+M≤k≤n，所以k=m，m+1，m+2，…，r.其中m=max｛0，n－N+M｝，r=min｛ｎ，Ｍ｝.

设计意图 引导学生借助Venn图直观分析各参数的约束条件，推导随机变量的取值范围，完善超几何分布模型，经历数学模型精致化的过程，体会数学的严谨美，感悟推理思想.

超几何分布模型之说明（概念展示，文字、符号）

①模型梳理：帮助学生理解模型和记忆符号等，明确不放回随机抽样与超几何分布的对应关系，强调超几何分布关注被抽取的个体是否具有某种特征.

②知识关联：明确超几何分布是特殊的古典概型，强调“一次性批量随机抽取”的样本空间的理解视角.

概念辨析 下列问题中，哪些可以用超几何分布模型求解？

（1）从50名学生中随机选出5名作为代表，求甲被选中的概率.

（2）30个零件中包含3个不合格零件，从中随机抽取10个去检测，求至少有1个不合格的概率.

（3）一批二等品率为0.02的产品，从中不放回地随机抽取10件产品，设抽取的二等品数为X，求随机变量X的分布列.

（4）袋子中有大小相同的30个球，其中红球、白球、黑球各10个，从中不放回地随机摸取5个球，设摸取的5个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列.

设计意图 识别随机试验是否满足“一次性批量随机抽取”或“逐个不放回地随机抽取”的特征是应用超几何分布的前提与核心. 通过第（3）题促进学生深入理解总体的有限性，通过第（4）题促进学生深入理解被抽取的个体关注某种特征，强化模型思想.

例1 一箱12罐的饮料中4罐有奖券，从中任意抽取2罐，求至少有1罐有奖券的概率.

设计意图 例1重在巩固超几何分布等基础知识，形成应用超几何分布模型的一般步骤，即辨模型（识别随机试验），定取值（确定模型中的参数M，N，n），用公式（超几何分布等）.

3. 再探新知，综合应用

探究2 请结合Venn图和等比例分层抽样猜想服从超几何分布的随机变量的均值并验证.

设计意图 借助均值公式的发现与证明体验应用数学思想方法解决数学问题的过程，一方面引导学生应用数形结合思想，经历“先猜后证”的推理过程；另一方面引导学生应用组合数性质进行证明，提高学生的数学运算与逻辑推理能力，促进学生感悟推理思想.

例2 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸取20个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数.

（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列及其均值；

（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.

设计意图 例2的第（1）问重在巩固二项分布与超几何分布的基础知识，第（2）问重在应用两类概率分布列模型解决用样本估计总体的问题，进而辨析二项分布与超几何分布的区别与联系，促进学生感悟推理思想、模型思想. 在求解过程中，应用信息技术作为辅助，培养学生的信息素养.

4.？摇课堂小结，构建体系

如图4所示.

设计意图 借助课堂小结概括从具体实例到随机试验模型、从概率问题的一般求解方法到超几何分布模型、从直观均值到抽象均值的研究过程，强化数学活动经验，深化数学思维和数学思想方法，促进学生注重隐性知识学习的观念转变. 同时，帮助学生梳理知识之间的联系，完善认知结构，培养归纳整理能力.

5.？摇课时评价设计

如表1所示.

设计意图 题目1、题目2重在巩固学生对超几何分布以及均值、方差等基础知识的认识；题目3重在引导学生深化对被抽取个体具有某种特征的理解；题目4重在知识拓展，引导学生自主探究一类新的分布列模型——几何分布模型，强化学生的研究活动经验；题目5为选做题，一方面拓展学生对超几何分布方差的认识，帮助学生积累公式推导活动经验，另一方面给数学基础较好的学生提供学习素材，因材施教.

设计反思

本节课设计关注类比学习，重视数学活动经验在教学中的应用.通过设置数学探究活动引导学生自主探究新知，强化数学活动经验，深化良好的思维习惯. 梳理本节课三个教学生成点如下：

1. 凸显几何直观

模型的提出与完善是一个数学抽象的过程. 教师深度把握教材编写意图，借助在事件的关系、条件概率、全概率公式等学习过程中积累的数学活动经验，创造性地构建Venn图帮助学生直观理解超几何分布的组合意义，并推导随机变量的取值范围，进而引导学生猜想服从超几何分布的随机变量的均值，突破推导均值的难点，深化推理思想.

2. 回归数学本质

与二项分布类似，超几何分布也是在概率求解过程中抽象出来的一种常用概率模型. 本节课借助有放回简单随机抽样复习求解概率的基本思路，引导学生剖析数学模型的本质，从三个不同思路求解不放回简单随机抽样问题，进而深化“逐个不放回地随机抽取”与“一次性批量随机抽取”的等价性的理解，充分认识二项分布与超几何分布的区别与联系，在“繁”与“简”的比较中发现与提出模型，深化模型思想.

3. 关注教学整体

类比二项分布的研究过程，让学生自主经历“随机试验—随机事件（随机变量）—事件的概率（分布列）—数字特征（均值、方差）—应用”的概率分布列研究路径. 通过例题教学深化两类模型（二项分布与超几何分布）的区别与联系，在比较、应用的过程中加深对两者的理解.在课堂小结进行归纳整理，将二项分布和超几何分布纳入一般分布列的整体知识结构，进一步促使学生完善认知结构，树立整体知识观.

基金项目：广东省基础教育学科教研基地项目，广东省于涛名教师工作室，广东省教育研究院中小学数学专项课题“基于大观念的高中数学单元教学实践研究”（GDJY-2022-M-b124）；广东省教育科学规划课题“基于SOLO分类理论的高中数学学业质量评价的实践研究”（2021YQJK103）.

作者简介：王进（1983—），本科学历，中学高级教师，东莞市学科带头人，从事数学教育教学工作.