应教尽教，立足课堂教学主阵地

［摘  要］ 应教尽教不仅是课堂教学“提质增效”的重要途径，也是学生在校内课堂学足学好的基础和保障. 文章以一道高考试题的教学活动为例，从问题分析、解法探究、回顾反思、模型启发、模型推广、模型应用六个环节探讨数学课堂如何实现应教尽教.

［关键词］ 应教尽教；高考数学；教学设计；减负增效

应教尽教，是学生在校内课堂学足学好的基础和保障.应教，指向“应该教什么”，强调对教学内容的规范，是保障学生学足的基础；尽教，探索“尽可能地教”，倡导对教学路径的创新，是引导学生学好的保障. 应教尽教，不仅是课堂教学“提质增效”的关键，也是对教育公益属性的坚守，更是人民群众对优质教育的真切期望. 教学改革只有回归学校、回归课堂、回归教师，才能真正回归学生. 若课堂教学对学生素养发展以及应试方面的作用较小，不能满足学生发展和升学的需求，则发展和升学的压力必将学生推之校外，何谈立足学校教育主阵地？［1］下文针对一道高考试题的教学，谈谈数学课堂如何实现应教尽教.

试题呈现

试题分析

通过试题分析，能让教师更全面准确地把握应教内容，更有效地开展尽教活动. 如何分析高考试题呢？一方面，教师要领会命题改革精神，关注高考动态，把握考试规律；另一方面，要从试题立意、解法探究、问题反思、结论拓展等视角展开分析，以此引导学生深度学习.

从知识考查来看，第14题以平面向量三点共线定理和等和线定理为背景，求解线性关系式的最值，涉及平面向量基本定理、向量运算及其性质、基本不等式、解三角形、三角函数等高中主干知识，渗透数形结合、化归与转化、特殊化、对称等数学思想，体现了数学知识的基础性及综合性.从能力考查来看，该试题解答视角宽，求解方法多，可多角度、多层次地考查学生的直观想象能力（探究点C的特殊位置，联想平面向量三点共线定理），逻辑推理能力（用几何法、解析法推导求解），数学抽象能力（将向量问题转化为不等式、三角函数问题，抽象与构建数学模型）以及数学运算能力（三角化简与计算，不等式变形）.从命题规律来看，近年来，平面向量基本定理、向量运算及其性质是全国各地高考命题的重点，以等和线定理及其性质为背景的试题较多，如2013年高考江苏卷数学理科第10题、2013年高考安徽卷数学理科第9题、2015年高考北京卷数学理科第13题、2017年高考全国新课标Ⅲ卷第12题等.由此可见，第14题立意深刻、内涵丰富，具有试题“原型”功能，是教学的良好素材.

设计思路

针对高考试题的教学，应教尽教强调教学要围绕试题内容，帮助学生夯实“四基”、增强“四能”、发展素养.尤其是针对考试的重难点，引导学生透彻理解数学概念的内涵和外延、理解试题解决的通性通法、挖掘知识背后的数学思想，把握定理公式的应用推广、体会数学模型的抽象构建、经历数学问题的变式拓展等，以此训练学生思维的深刻性、灵活性、批判性、创造性，减少死记硬背、机械重复训练［1］. 结合课标要求及高考数学考试大纲，确定如图2所示的教学路径，引导学生在解法探究中经历猜想、推理过程，发展合情推理、逻辑推理能力，感受数学结构在探究活动中的作用；反思不同解法间的共性与差异，发展求同求异思维，积累数学解题活动经验；在问题拓展中，能利用平面向量三点共线定理解决问题，能尝试构建等和线定理，提高问题探究和语言表达能力，增强应用和创新意识.

教学过程

1. 问题分析

数学家波利亚指出：“对于一个题目，首先要熟悉题目，我应该从哪里开始？我能做什么？这样做我能得到什么？然后深入了解题目.”在教学中，首先要学生独立思考，厘清问题条件，明确待求目标，梳理数形关系；然后针对学生理解中的难点以及试题为填空题的形式，引导学生利用平面向量基本定理，寻找x，y的几何意义，并结合图形的对称性以及x，y地位的平等性大胆猜想：当点C为圆弧AB的中点，x+y取最大值2.

教学分析 “数缺形时少直观”，利用平面向量基本定理构造平行四边形（如图3所示），直观展现x，y的几何意义，降低向量关系式的理解难度，为表达x，y提供思路.同时，由数、形的对称结构对点C的特殊位置展开审美判断，渗透“先猜后解”的解题视角，让数学美启迪学生的智慧，发展学生的合情推理能力.

2. 解法探究

第14题的解答方法多样，但解答视角可归结为两种：一是局部视角，即局部表达x，y；二是整体视角，即整体表示x+y.从宏观上对解答视角进行分析，引导学生更明确地拟定解题计划，选择解答方法.

教学分析 在求解过程中，学生的思路未必局限于上述两种方法，教师要鼓励学生大胆尝试，从不同角度展开解答，求解的关键是利用向量关系、图形关系转化代数关系. 比如，在△OCE中，可以利用余弦定理从整体视角表达x+y，也可以利用解析法建立平面直角坐标系，从局部视角分别得到x和y的表达式. 此外，要让学生将结果与猜想进行比对，感受猜想的合理性，体会合情推理与演绎推理的思维特点.

3. 回顾反思

解决完试题后，教师可引导学生从以下几方面展开回顾反思：首先，总结问题解决中所涉及的核心知识，体会向量沟通代数、几何及三角函数的作用；其次，体会问题解决中所蕴含的数学思想，如利用对称思想直观判断结论、数形结合思想启迪解题思路、化归与转化思想将问题转化为三角函数最值问题等；再次，回顾试题的解答方法，对比不同解法的优劣，提炼方法间的实质和共性，即将向量数量化、实数化；最后，引导学生结合求解结果，重审问题，根据x+y是向量的“系数和”身份，联想三点共线定理，从三点共线定理视角展开解答，并进行等和线模型的推广.

教学分析 数学家弗赖登塔尔指出：反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力． 通过反思，让学生主动回顾、检查、优化自我解决试题的思维过程和结果，进一步理解问题的实质，认识方法的异同，以此培养直觉思维和发散思维，训练求同与求异思维. 同时，反思也是发现与提出新的数学问题、拓展与完善知识结构的一种重要途径.通过反思第14题的解答，为拓展解题方法和推广模型奠定基础.

4. 模型启发

思考1 根据x+y的向量“系数和”形式，思考能否利用平面向量三点共线定理解决第14题.

5. 模型推广

思考2 结合对探究1、探究2的思考，尝试用数学语言表达你所得到的结论，并叙述该结论与平面向量三点共线定理的关系.

6. 模型应用

练习1 应用等和线定理解决第14题，体会应用数学模型解决问题的价值.

练习2 将第14题中的问题改为“求2x+y的最大值”，又该如何求解？能否利用等和线定理解决？

第14题的教学坚持“以生为本”教育理念，将学生的学习质量作为课堂教学的生命线，努力将“育人”的初衷和“应试”的需求有效结合，尽可能地让学生学足学好.从解法分析到模型应用环节，通过教师的讲授、启发，帮助学生最大可能地掌握试题所涵盖的核心知识以及重要考点，满足学生基础知识学习和应试的需求，保障学生学足.在整个解题及探究活动中，始终关注对学生应用意识和创新意识的培养，帮助学生逐步形成适应未来社会生活的必备品格和关键能力，引导学生学好.

参考文献：

［1］ 余小芬，刘成龙. “双减”背景下数学课堂“应教尽教”的价值及实践路径［J］. 教育科学论坛，2022（12）：59-63.

基金项目：内江师范学院2021年基础教育研究与实践专项“聚焦数学核心素养的大概念教学研究”（JG202125）.

作者简介：余小芬（1986—），理学硕士，副教授，从事数学教育研究工作，发表论文40余篇，人大复印报刊资料全文转载5篇，主持省部级课题1项，市厅级课题4项.