巧借问题情境 实现深度学习

［摘  要］ 概念教学是数学教学的重要组成部分. 在数学概念教学中，教师应为学生创设有效的问题，从而让学生在问题的引领下开展深度学习，以此促进概念的深化和能力的提升. 同时，教师应着力情境导入，以此点燃学生的探究热情，引导学生经历概念形成过程，让学生掌握概念的研究方法，促进学生数学学科核心素养的落实.

［关键词］ 概念教学；深度学习；形成过程

在函数概念教学中，笔者基于教学实际设计有价值的问题，让学生在问题的引领下开展探究性学习，让学生充分感知科学探究的魅力，以此点燃学生的学习热情，提升学生的学习品质.

课前思考

函数知识既是高中数学的核心知识点，又是高考的重要考点，其在高中数学教学中的价值是不言而喻的. 对于函数，学生并不陌生，在初中阶段就学习了函数的概念及相关知识，充分感受了变量之间相互联系、相互依存、相互制约的关系，体会一个量随另一个量变化而变化的关系. 初中阶段，函数的概念以变量的概念为基础，刻画变量之间的依赖关系，易于学生理解和掌握；高中阶段，函数的概念是以集合和映射为基础，突出自变量与函数之间的对应关系，其应用更广泛、更方便. 不过，高中函数概念更为抽象，若直接将函数概念抛给学生让其理解和记忆，则学生对函数概念的理解是浅薄的. 即使能够将函数概念背得滚瓜烂熟，仍然很难深刻地理解其本质，从而影响后续应用. 因此，在高中的函数概念的教学中，教师应结合教学实际引入合适的情境问题，以此将抽象的知识具体化，让学生在问题的引领下逐渐提炼函数概念的本质属性，促进学生深刻理解.

教学设计

1. 回顾历史，激发兴趣

师：课前让大家搜集并整理函数的发展史，今天我们通过这个视频来进一步了解函数概念的发展历程. （教师播放视频）

视频生动地介绍了函数概念的发展历程，该视频共分四部分：第一部分，函数概念的萌芽时期；第二部分，函数概念的初步形成；第三部分，函数概念的确立；第四部分，函数概念的再次发展. 最早把“函数”一词用作数学术语的是德国数学家莱布尼茨，当时他用“函数”一词表示幂，至此函数开始萌芽. 18世纪，瑞士数学家欧拉用“变量”给函数定义，其重点阐述一些量随着另外一些量变化而变化的关系，凸显“变化”的地位. 1821年，法国数学家柯西给出类似初中教材中的函数定义，其在函数定义中引入了“自变量”一词. 1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基给出函数的新定义，其在定义中指出对应关系的必要性. 后来，德国数学家狄利克雷拓宽了函数的概念，不再重视描述函数中的依赖关系，而是通过x与y之间的关系来确定函数自变量与因变量之间的关系. 至此，函数的概念、函数的本质定义形成，成为传统函数定义的原型. 之后，美国数学家维布伦用“集合”和“对应”定义函数，打破了“变量是数”的限制，使函数的概念得到了进一步发展. 直到1930年，新的现代函数的定义就是如今高中课本所采用的概念.

设计意图 通过视频向学生介绍函数概念的发展历程，让学生感受科学探索之路是曲折且漫长的，领悟数学知识是不断发展变化的，以此帮助学生树立正确的学习观，让学生学会用发展的眼光看待数学学习，增强学生的数学学习信心. 在教学中，教师有意识地引导学生回忆初中的函数概念，以期自然引发新旧知识的对比，为新概念的学习奠定基础.

2. 创设情境，引发冲突

情境1 表1是我国1979年至2014年的人口数据统计表. 估计人口数量变化趋势，对于相关领域的研究以及政策的制定有着重要意义.

情境2 一个物体从50 m高处静止落下，下落距离y（单位：m）与下落时间x（单位：s）的关系为y=4.9x2. 若该物体下落2 s，求该物体的下落距离.

情境3 图1是某市一天24小时的气温变化情况图.

问题1 认真阅读上述三个情境，请尝试从函数的角度完成表2.

问题2 认真观察表2，分析上述情境有何共同特征.

设计意图 上述三个情境源于生活，通俗易懂，易于引发学生情感共鸣，可以切实提高学生参与课堂探索的积极性. 问题1是根据初中函数概念设定的，符合学生的认知水平，大多数学生可以通过独立思考顺利完成表2. 表2完成后，教师创设问题引导学生进行归纳总结，让学生充分感知一个变量随着另一个变量变化而变化的关系，以此通过观察、对比，促进学生理解，为后续认知冲突的创设做好铺垫.

情境4 教师的水杯中装着重为300 g的水，教师上课期间并未饮用，求水杯中水的重量与上课时间的函数.

情境给出后，教师让学生自由讨论，当学生出现分歧或遇到障碍时，教师再进行适度的补充和引导. 从上课到下课的每一时刻，水杯中水的重量一直没有变化（均为300 g），因此其函数表达式为y=a（a是常数），将这个函数称为常值函数. 显然该情境难以体现一个变量随着另一个变量变化而变化的关系，可见初中函数概念所提到的“变量”一词具有一定的局限性，由此让学生体会拓展函数概念的必要性.

设计意图 情境4中，虽然时间在变，但是水的重量却保持不变，这显然难以运用初中的函数概念来解释，由此引发学生认知冲突，激发学生的好奇心与求知欲. 这样将抽象的函数概念赋予直观的情境，可以有效淡化函数概念的抽象感，以此增强学生的学习信心，激发学生的探索欲. 另外，通过情境4充分展示了初中的函数概念存在局限性，让学生体会拓展函数概念的必要性，以此点燃学生的学习热情，使数学学习自然而然地发生.

3. 深入探究，揭示本质

问题3 认真分析上述四个情境，你能用集合语言来阐述他们的共同特征吗？

教师先让学生独立思考，然后与学生共同讨论，将内容整理成表3.

这样从集合的角度出发，通过深层次的探究，引导学生提炼情境的共同特征，自然得到了函数的新概念.

设计意图 通过对前面几个情境的深入剖析，让学生感知原有的函数概念已经不能涵盖所有的情况，需要借助集合这一工具进行拓展. 在此过程中，教师预留时间让学生自主思考与交流，启发学生从集合的角度对上述四个情境再探究，并尝试用集合的语言归纳概括它们的共同特征，以此呈现概念的本质属性，为概念的抽象打下坚实的基础. 在整个探究过程中，教师要贯彻“以生为本”教学理念，通过情境的创设为学生营造一个和谐的、开放的学习氛围，同时预留充足的时间让学生思考、交流、分析与抽象，从而充分调动学生参与课堂的热情，提高学生数学表达、数学抽象等素养，促进教学品质和学习品质的提升.

4. 引入练习，深化理解

问题4 请结合上述情境完成以下练习.

（1）记情境1中的函数为y=f（x），则f（1994）=_____，f（2014）=_____.

（2）记情境2中的函数为g（x）=4.9x2，x∈［0，2］，则g（1）=_____，g（2）=_____.

（3）情境4中的函数可以记____.

问题5 如图2所示，找出一种对应关系f，建立从集合A到集合B的一个函数.

通过上述两个问题的解决，让学生自主发现函数关系可以理解为两个非空数集之间的某种对应关系，而这种对应关系可以用不同的字母来表示，如f，g等. 对于y=f（x），表示集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，由y组成的集合｛f（x）x∈A｝称为函数的值域，其为集合B的子集.

设计意图 教师围绕函数的定义设计相应的练习让学生思考辨析，以此加深学生对函数新定义的理解. 其实，从集合的角度定义函数是较为抽象的，可能会对部分学生造成困扰，为此教师有必要引入一些练习将抽象的概念具体化，以此淡化概念的抽象感，提升学生的探究欲. 值得注意的是，教师在设计练习时，要控制好练习的难度，应以简单练习为主，这样既能凸显概念的本质，又不会给学生带来心理负担，有利于增强学生的学习信心，提高学生的参与度. 在此过程中，教师依然要坚持贯彻“以生为本”教学理念，全程由学生自主提出问题并加以解决，以此充分暴露学生的闪光点和不足之处，以便通过及时引导逐渐完善学生的认知结构.

5. 例题精析，拓展认知

例1 判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.

（1）A=｛1，2，3，4，5｝，B=N，x∈A，f：x→2x；

（3）A=（0，+∞），B=R，x∈A，f：x→x的平方根；

（4）A=R，B=Z，x∈A，f：x→不大于x的最大整数.

例2 下列图象不能作为函数图象的是（  ）

例3 下列各组函数能否看成同一函数？说一说你的理由.

例4 求下列函数的定义域.

设计意图 例题是巩固知识、强化技能的重要途径. 在教学中，教师从学生已有认知出发，设计由浅入深、层层递进的问题，以此通过问题的解决促进新知的巩固和技能的提升. 值得注意的是，教师在设计例题时既要控制好量，又要保证好质，尽量做到知识点的全面覆盖，进而通过具体练习让学生发现自身存在的不足，帮助学生突破教学重难点，提升学生的解题能力.

6. 课堂小结，升华认知

问题5 通过本课的学习你掌握了哪些知识内容？谈谈你的心得体会.

设计意图 教师预留时间让学生归纳所学知识，提炼数学方法，领会数学思想，其有利于知识的深化和能力的提升. 在传统教学中，部分教师为让学生能多做题，课堂小结环节或以教师为主，或直接省略，使得学生所掌握的知识依然是分散的、零碎的，不利于新知模块的建立和学生认知结构的形成，影响学生数学应用能力的提升. 因此，在实际教学中，教师要提供机会让学生反思回顾，以此让学生在掌握知识、技能、方法的同时，逐渐建构完善的认知体系，将知识内化为能力.

教学思考

1. 着力情境创设

众所周知，数学概念具有高度的抽象性和概括性，若想让学生深刻地理解概念，仅将概念抛给学生让学生理解和记忆是远远不够的，教师应该创设有效的问题情境让学生去探索、去抽象、去感悟，让学生通过经历数学概念形成过程来深刻理解概念，构建知识体系. 例如，在本课教学中，教师从学生的最近发展区出发，创设四个与生活紧密相连且符合学生认知水平的情境问题，让学生在情境问题中体会与提炼蕴含其中的对应关系及本质属性，深刻理解函数的概念.

2. 重视问题引导

问题是思维的起点，是诱发学生思考的动力源. 在教学中，教师应结合教学实际创设有效的问题，让学生在问题的引领下主动构建知识，提炼数学思想方法，以此提高思维的深度和广度，实现深度学习. 例如，在本课教学中，教师根据预设生成创设问题，让学生在问题的指引下归纳总结情境的共同特征，逐渐抽象其本质属性，从而加速了概念的形成. 同时，通过问题的引领，有效提高了学生参与课堂的积极性，提高了课堂教学有效性.

3. 重视文化渗透

数学是一种文化，是一种传承. 在教学中，教师应重视数学文化的渗透，充分发挥数学教学的人文价值，指导学生学会用发展的眼光看待问题，以此增强学生的创新意识，帮助学生树立正确的学习观.

总之，在数学概念教学中，教师要改变“记忆＋练习”的旧模式，着力创设有意义的教学情境，充分发挥学生的主体性，以此让学生深刻理解概念的同时，提高数学综合学力，落实数学学科核心素养.

作者简介：李雅（1983—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.