基于思考能力发展的高中数学教学研究

［摘  要］ 随着新课改的深入推进，如今的高中数学课堂更关注对学生数学思考能力的培养，而学生思考能力的发展离不开教师规范引导与数学思想方法的协助. 研究者以“平面向量的概念”教学为例，分别从“问题情境，引入主题”“类比分析，形成概念”“深入探索，完善概念”“例题分析，应用概念”“归纳总结，拓展延伸”五个方面展开教学设计，并有针对性地谈一些思考.

［关键词］ 思考；平面向量；类比思想

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称新课标）提出：数学教学应以发展学生的核心素养为导向，通过丰富情境的创设促进学生思考，让学生掌握数学本质，形成正确的价值观与关键能力. 由此可见，丰富的问题情境是课堂教学的起点，揭露知识本质是课堂教学的基本任务，而促使学生形成必备的品格与关键能力则是课堂教学的长远目标. 其中，促进学生思考是实现教学长期与短期目标的重要保障. 本文以“平面向量的概念”教学为例，浅谈如何发展学生的思考能力.

教学过程

平面向量的概念教学属于章起始课，具有丰富的物理背景与深刻的数学内涵，是沟通几何与代数的桥梁. 掌握平面向量相关内容，可为后续研究其他数学分支问题及解决一些实际问题奠定基础. 因此，本节课教学内容虽然难度不大，但意义重大，借此发展学生的思考能力，效果颇丰.

1. 问题情境，引入主题

师：当我们看到本章节的课题——平面向量及其应用时，首先会想到什么问题？

生1：平面向量是什么？

生2：我们为什么要研究平面向量？

生3：本章节究竟会涉及哪些知识？

师：不错，当我们面对一个“新鲜”的教学主题时，自然会产生一些疑惑，以上几名同学所提出的问题围绕的都是标题本身. 其实，当我们遇到新的主题时，还应思考：这个主题与之前我们学过的什么内容相关？可以用哪些科学方法去探索？

设计意图 平面向量本身就具有异常深厚的背景，属于数学学科重要的基本概念之一. 课堂伊始，鼓励学生自主根据单元主题提出疑问，是激发学生思考的基础. 学生所提出的问题以及教师的补充，是课堂即将探讨的重要内容. 如此设计，不仅开门见山揭露了教学主题，还成功激发了学生的探索欲. 课堂教学在良好的氛围下拉开了序幕.

2. 类比分析，形成概念

师：请大家阅读章起始的导引部分，说说你的收获.

生4：本章节的探索对象为“平面向量及其应用”.

生5：研究内容涵盖了向量的背景、运算与应用三部分.

生6：从文字来分析，向量和数量存在一定的联系，而且向量是既有大小又有方向的量，这与物理学科中的力、速度、位移等也有一定的关系.

师：不错，大家观察得都很仔细，有没有哪位同学发现本章节可能涉及哪些数学思想？

生7：刚刚生6将向量与数量放在一起分析，就应用了类比思想，若应用数的运算方法来分析向量的运算方法，也是应用类比思想的过程.

师：非常好！大家能深入理解文字内涵，这是一种非常好的学习习惯. 现在请大家说一说物理学科中的力、位移、速度、加速度等具有什么共性特征.

生8：这几个量均有大小也有方向.

师：不错！我们从一棵树、一个人、一个苹果、一壶茶中可抽象出它们的共性为数量“1”. 与之类似，我们通过对力、速度、加速度与位移的共性研究，也可抽象出一个新的概念——即将探索的平面向量. 此过程应用了一种重要的数学能力是什么？

生9：数学抽象能力.

师：很好！数学抽象是人类提炼数学概念的基本方法，它可以帮助我们从多个事物的个性中提炼其共性特征. 众所周知，实数与数轴上的数具有对应的关系，我们常用数轴上不同的点来表示不同的数量. 关于向量，我们可用怎样的几何形式来表示呢？

生10：或许可用带有方向的线段来表示.

师：哦？说说具体想法.

生10：线段可用小写字母或两个端点来表示，如线段a或线段AB，那么有方向的线段可以用某点作为起点，加以方向进行表示.

师生活动：共同总结有向线段的表示，“以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记为”.

设计意图 阅读课本意在引发学生自主产生类比思想，为形成新概念奠定基础，同时带领学生经历类比抽象数字“1”的过程，进一步激活学生的思维，让学生在类比思想的辅助下深度思考，从而顺利提炼出向量的概念.

3. 深入探索，完善概念

师：类比实数的研究经验，请大家以合作学习的方式探索哪些向量是特殊的向量，分别说说它们的特征.

在教师的启发下，学生合作交流，一致认为0和1是特殊的数，首先获得单位向量与零向量的概念，并明确用0来表示零向量，用e来表示单位向量.

师：实数存在相等与相反两种情况，那么向量是否也存在这些情况呢？

在这个问题的点拨下，学生又分别总结出相等向量与相反向量的概念，即大小相等且方向相同的向量为相等向量，大小相等但方向相反的两个向量互为相反向量.

师：从以上探索过程我们发现，用类比法可以获得一些与向量相关的概念. 现在请大家思考：“两个向量相等的充要条件是起点与终点均重合”，这种说法对不对？

学生很快就否定了这种说法，并提出从相等向量的概念来看，两个向量只要满足“大小相等且方向相同”这个条件，就能确定为相等向量，并不需要“起点与终点都重合”这个条件. 通过对这个问题的分析，学生进一步明确了平面向量具有自由移动的特征.

师：平面几何中的直线之间存在平行关系，那么向量之间是否也存在平行关系呢？

生11：我认为方向相同或相反的向量互为平行的关系.

师：不错！当我们描述向量平行时，还要关注两个问题：①向量具有自由移动的特性，两个方向相同或相反的向量可以平移到同一直线上，由此我们还可以称平行向量为共线向量. 显然这个特征与平面几何中的两条平行线不一样. ②在我们所接触的向量内，零向量属于一个特殊的向量，为了方便探索，约定零向量的方向具有任意性，且与任意向量具有共线与平行的关系.

设计意图 0与1作为两个特殊的数，与之类比，顺利抽象出零向量与单位向量的概念；再与同一平面内两直线平行的关系进行类比，促使学生自主抽象平行向量的概念. 此为增进学生思考并完善概念的过程. 随着类比思想的介入，学生的思维更加活跃.

4. 例题分析，应用概念

例1 判断下列5种说法是否正确.

（1）相等向量的起点与终点必然分别重合；

（2）长度一样的两个向量必然是相等向量；

（3）模相等的两个平行向量必然为相等向量；

（4）如果a∥b，b∥c，那么a∥c；

（5）如果a＜b，那么a＜b.

例2 如图1所示，若点O是正六边形的中心，请结合图形中的向量完成以下几项任务.

设计意图 设置不同形式的例题，意在引导学生由浅入深地理解并应用向量的概念. 例1可进一步深化学生对概念的理解，避免应用时出现概念模糊不清的现象；例2是应用概念的过程，意在发散学生的思维，进一步挖掘学生的潜能，提升学生的解题能力.

5. 归纳总结，拓展延伸

要求学生回顾并总结本节课所学的知识点、研究方法以及数学思想，可以用思维导图的方式整理出来.

在归纳总结的牵引下，学生不仅整理了与平面向量相关的基本概念、表示方法、特殊关系等，还从研究方法出发提炼出了数形结合思想与类比思想. 课堂尾声，教师对学生提出了几点要求：①学会应用思维导图建立章节知识架构图；②学会用数学思想方法研究问题；③在学习过程中不断总结与思考，提高学力.

设计意图 课堂总结为画龙点睛之笔，处理好此环节，可让学生从结构化的角度掌握所学的知识内容，为后续研究更多问题奠定基础. 如此设计，让学生进一步梳理知识结构与思想方法，并在教师的点拨下，明晰章起始课的学习方法与思考方向.

教学思考

1. 感知章节脉络是思考的基础

章起始课具有揭示本章节主题知识及形成背景的作用，即学生通过章起始课的学习能明白这部分主题知识的形成背景——从何而来，知道学习的大致方向与目标——到哪儿去. 知识结构图是诠释知识“从何而来”与“到哪儿去”的重要方法，学生通过对章节脉络的把握，不仅能有效提高“四基”与“四能”，还能提炼出数学思想方法，为后续研究更多知识奠定了方法基础.

本节课的课堂伊始虽然没有直接展示与平面向量相关的知识结构图，但在师生积极、有效的沟通中，学生充分感知到了平面向量丰富的物理背景与深厚的数学底蕴，并在问题的引领下明确了向量从何而来又到哪儿去. 在此过程中，学生不仅理解了本节课所研究的对象，还在大脑里自主建构了知识网络，为整个单元学习奠定了基础.

2. 提炼数学思想方法是促进思考的关键

数学思想方法是研究与解决数学问题的灵魂，它对发展学生的思考能力具有直接影响. 本节课涉及的数学思想主要有数形结合思想与类比思想. 在整个教学过程中，一直在强化学生对类比思想的提炼与应用，并在类比与数形结合的深度融合下，不断完善学生对平面向量概念的理解. 如通过对两个特殊实数的类比，获得了特殊的向量；在类比分析中，抽象出了相等向量、相反向量与平行向量等概念，进一步完善了学生的概念体系.

随着例题的应用，学生在问题的引领下，进行概念的辨析与甄别，又一次借助类比思想明晰了概念体系，形成了良好的思考能力. 在教师的解释与示范下，学生对数学思想方法有了更加直观与理性的认识，为后续灵活应用夯实了基础.

3. 教师引领是促进思考的源泉

数学教学的主要目标在于将学术形态的知识转化成教育形态的内容，教师作为课堂的组织者与引导者，想要给学生一杯水，首先自己要有一桶水，而且不能把水简单地“倒出来”，而应以“转化”的方式输送给学生，让学生自主构建并内化新知. 因此，教师对知识的形态转化具有举足轻重的影响，为了发展学生的思考能力，构建和谐课堂，教师首先要研读新课标的要求，再根据要求设定教学目标与教学计划.

本节课，教师在认真研读新课标的基础上，结合学情与教情，挖掘授课素材，与学生积极互动与交流，使学生在教师的引领下由浅入深地进行思考，形成良好的数学抽象能力、想象能力与逻辑推理能力，有效促进数学学科核心素养的发展.

4. 示范引导是思考的“催化剂”

通过示范引导，可为学生的思考提供明确的方向. 想要让学生像数学家一样研究数学知识，发现数学定理，必然少不了教师的示范与引导. 如今我们所接触的知识都是由科学家经过多年探索而来的，想要让学生在短时间内掌握它们的来龙去脉，只有依靠教师的示范与引导为学生提供思考方向才行，此为“速成”科学家，发展科学精神的基础.

本节课，教师通过实数与数轴的示范引导，成功启发了学生的思维，促使学生以此作为出发点，自然而然地将向量与线段、平行线、特殊实数等进行类比分析，成功获得了相关概念. 由此可见，教师作为行动的典范，起着很好的示范引导作用，能够帮助学生积累学习经验，提升自主思考的能力.

总之，基于思考能力发展的高中数学教学，离不开一个开放、民主的课堂环境. 教师应在尊重学生的基础上，站在学生的角度思考问题，想方设法为学生营造更多思考与表达的机会，发散学生的思维，让学生学会多维度观察与思考现实世界.

作者简介：孙国涛（1978—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.