聚焦知识逻辑关系发展数学核心素养
作者： 颜虹
［摘 要］ 数学知识的形成与发展存在一定的内在逻辑性，厘清知识间的逻辑关系，能帮助学生建构完整的知识结构，发展学生的数学学科核心素养. 研究者以“方程的根与函数的零点”为例，具体从“借助活动，提出问题”“抽象概括，初建概念”“猜想论证，获得定理”“知识巩固，拓展反思”四个方面谈一谈如何遵循知识的内在逻辑设计教学，提升学生学力.
［关键词］ 逻辑；方程；函数
布鲁纳提出：学科教学的目的并不在于帮助学生建构一个与学科知识相关的小型图书馆，而在于引导学生参与到知识的形成与发展中来，弄清学科知识逻辑关系，理解思维方式，这是教学的根本目标. 核心素养背景下的数学教学，应为学生提供更多参与的机会，让学生通过教学，理解知识间存在的内在逻辑联系，获得有一定逻辑顺序、条理清晰的思考能力，从真正意义上促进数学思维的高阶发展. 本文以“方程的根与函数的零点”为例，谈谈如何遵循知识的内在逻辑设计教学.
教学过程设计
1. 借助活动，提出问题
新课标强调要让学生在数学课堂上亲历活动过程，通过观察与思考切实体会知识的实用性. 因此，教师应关注课堂探究活动的开展，引导学生参与知识形成的过程，让学生结合自身已有的认知经验进一步构建新的认知结构，提升“四基”与“四能”. 课堂伊始，教师提出如下问题，以驱动学生的学习动机，让学生主动参与到教学活动中来.
问题1 如何用图象法求解方程3x+1=x－2与lnx=6－2x？
探索要求：①要求学生课前准备好三角板、直尺与计算器等工具；②要求学生规范、准确地画图.
设计意图 此问及其要求的设计，从学生已有的认知结构出发，让学生对新旧知识之间的联系产生清晰的认识，为引出新的研究问题夯实基础. 此为引入环节，对整节课教学具有导向作用. 在活动探索上，需重点关注学生操作与情感状态，尽可能给学生营造轻松、民主的学习环境.
问题2 求方程lnx=6－2x的近似解，在组内交流求得的结论，初步判定结论是否准确，并说一说解题依据.
经自主求解与合作交流，学生总结出了几点：①想要判断近似值的精确度，可从方程的近似解来观察，方程左右两边的值的差越接近于0，那么近似解就越准确；②方程lnx=6－2x左右两边的值的差与0越接近，函数f（x）=lnx－6+2x的值与0就越接近，如图1所示；③f（x）充分接近于0，x的精确度就越高.
设计意图 明确的问题让学生有确定的思考方向. 同时，对问题的探索也给学生合作交流提供了素材，如此设计意在启发学生对函数零点概念产生探索意识，让学生在独立思考的基础上去探索，为抽象概念、揭露概念内涵以及用二分法求解方程的近似值奠定基础.
问题3 函数与方程之间有什么关系？如何刻画这种关系？
设计意图 此问为引出核心概念与定理打下基础，学生只要从真正意义上掌握此问的本质，就可进一步发展思维，提升数学思维的针对性与主动性，发展探究意识. 关于函数与方程的关系的探索是一个重要问题，为完善知识结构而服务，因此这是一个具有高度探索价值的问题，关系的刻画有助于理清学生的思维.
2. 抽象概括，初建概念
数学抽象是当前教育界普遍关注的问题，它是促进理性思维形成的关键. 数学抽象贯穿数学知识形成、发展与应用始终，初建概念环节离不开数学抽象的辅助，它能促使学生以简驭繁，提炼事物的本质，获得概念. 引导学生从自己熟悉的内容出发去思考与交流，往往能获得良好的教学效益.
问题4 请大家根据自己的习惯列举一到两个熟悉的函数与对应的方程来分析上述问题，思考在一般情况下的具体情况.
设计意图 此问意在鼓励学生结合自身的认知结构与学习习惯择取具体的方程与对应的函数分析问题. 例子由学生自主提出，可进一步增强学生的探索欲. 此环节促使学生发现方程为函数的特殊状态，为函数零点概念的提取奠定基础.
问题5 函数的零点是否为一个点？若不是，说明什么为零点. 分析如下三种情况之间存在怎样的关系：①方程f（x）=0存在实根；②函数y=f（x）的图象与x轴存在交点；③函数y=f（x）存在零点.
学生经过独立思考与合作交流，最终一致达成共识：①函数的零点为实数，并非点；②之所以称之为函数零点，是因为其一般都是间断、孤立存在的实数；③三者可互相转化.
设计意图 活动的开展，进一步强化学生对函数零点的理解，随着问题的解决逐渐形成清晰的辨析能力，对不同形式的表达之间的关系产生明确认识.
3. 猜想论证，获得定理
问题6 满足什么条件的函数必然存在零点？
要求学生以具体的函数为例，条理清晰地分析此问.
追问：有没有办法结合“函数零点数值特征”与“图形基本特征”初步形成猜想，以解决此问？
设计意图 以具体的函数以及函数零点数值特征与图形基本特征作为探索起点，可进一步促进学生思考，主动获取函数零点存在定理. 应用具体的函数进行探索，如选择函数f（x）=lnx－6+2x（x∈［3，9］或x∈［0，1］）着手分析，既体现学生思维的起点与发展过程，还进一步进行认知策略的指导，以降低探索难度，增强学生的探索信心.
通过对函数零点数值特征和图形基本特征的分析，学生自主形成猜想：若函数y=f（x）（x∈［a，b］）满足f（a）f（b）＜0，其在区间（a，b）上就存在零点；若函数y=f（x）（x∈［a，b］的图象与x轴相交，其在区间（a，b）上必然存在零点. 通过适当的引导与点拨，学生的思维更加活跃，思维的合理性与逻辑性充分彰显.
问题7 若函数y=f（x）满足f（a）·f（b）＜0，则它在区间（a，b）上就一定存在零点吗？举例说明.
想要确保函数y=f（x）在区间（a，b）上存在零点，仅凭f（a）f（b）＜0这个条件远远不够（可以函数f（x）=为例），还需要确定函数y=f（x）的图象在区间［a，b］上具有连续性的特征.
设计意图 真正意义上的数学探究必然离不开猜想、验证与反思的流程. 此环节，在教师的引导下，学生通过大胆猜想与小心求证不仅建构了新的知识结构，还发展了严谨性思维，为创新意识的形成奠定了基础.
4. 知识巩固，拓展反思
问题8 分析函数y=2x2－4x+7在区间［－1，3］，［－2，3］上是否存在零点.
设计意图 此问意在巩固学生刚刚抽象而来的定理，学生在思考的基础上，可借助图形计算器画图验证. 为了进一步深化学生的理解，还可以通过对函数y=2x2－4x+k中k值的改变，促使学生明确函数零点存在定理只能确保零点的存在，无法确保零点的个数.
练习训练：请通过举例来回答如下问题.
（1）如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续的曲线，并满足f（a）·f（b）＜0这个条件，分析该函数在区间（a，b）上是不是只存在唯一的零点.
（2）若函数y=f（x）满足f（a）f（b）＞0这个条件，该函数在区间（a，b）上是不是一定没有零点？
（3）已知函数y=f（x）在区间［a，b］上存在零点，若［m，n］？哿［a，b］，是不是一定有f（m）f（n）＜0？
设计意图 设置上述几个问题意在引导学生从不同视角理解函数零点存在定理的本质，感知该定理的逆命题并不成立，以发展学生数学思维的严谨性.
活动：提炼本节课的知识要点，以及它们形成与发展的主要线索等，整理各个环节用到的数学思想方法与思维方式.
问题9 求方程2x=7－3x的近似解，可否通过不断缩小函数零点所在的范围来完成？
追问：若将此问推广到一般情况下，可否形成解方程近似解的通用方法？关于这个问题，大家可在课后继续探索研究（精确度为0.1）.
设计意图 此为总结提炼的过程，鼓励学生自主梳理知识要点、思想方法等，帮助学生进一步完善认知结构，建构完整的知识体系. 追问的提出，意在让学生带着“真问题”到课后展开“真研究”，以进一步拔高学生的思维能力.
教学思考
1. 关注提出问题的逻辑
众所周知，每一种植物的生长会遵循它独有的自然规律，同样数学知识的形成与发展也有它独有的逻辑规律. 一般情况下，数学问题的提出可从“数”与“形”两个角度出发，结合知识特点提出合理、科学且具有价值的问题，这是促使学生解决数学内部矛盾的关键. 厘清问题形成的背景与逻辑关系，学生不仅能揭露知识本质，还能据此提出科学、合理的问题，增进对知识的理解.
本节课主要探索了函数零点的内在逻辑，分别为：①纵然学生在之前的学习中已经涉及用图象法来求解方程的近似解，但并不熟悉近似解的精确度. ②为了让近似解达到一定的精准度，需要深入探索状态，揭露函数零点的本质，为精确计算方法奠定基础. ③“方程为函数值为0时的特殊情况”是函数零点的本质，由此暴露了“方程、函数、不等式”之间存在的内在联系，为后续探索不等式问题做好了铺垫.
2. 关注概念建构的逻辑
从认知心理学的角度来说，概念的建构有概念形成与概念同化两种方式，执教时一般将它们融合于一体，在概念形成的基础上进行同化，以促进学生认知发展. 若只关注概念的形成过程，会因为投入太大而降低教学效率；若只单纯地同化概念，又会因为抽象程度过高而降低教学效率. 鉴于此，我们需要关注概念的内在逻辑，应用好概念形成与概念同化的过程实施教学.
函数零点概念的建构需要遵循的内在逻辑主要有以下几个方面：①从学生熟悉的简单、具体的方程着手，探索相应的函数图象问题，观察、归纳与分析概念的属性；②用一般的方程或函数替代具体的方程或函数，而后通过观察、分析，揭露概念的内涵；③将所得的结论推广到一般方程与函数中，抽象函数零点概念；④厘清各个知识点之间的联系，提炼函数零点的本质与功能.
3. 遵循问题拓展的逻辑
当学生在大脑中初步构建了一个明确的问题后，会不由自主地思考这个问题是否存在，若存在，该如何求解；若存在多种求解方法，该如何抉择. 此为优化思维的过程，也凸显数学问题拓展的逻辑特征.
当确定函数零点问题是否存在后，则会形成以下问题拓展的逻辑：①从概念本质出发，明确函数零点的最大属性为函数值的正负分界；②函数零点的求解蕴含着数形结合思想；③以简单到复杂、特殊到一般的方式探究问题.
总之，聚焦知识逻辑关系是优化数学教学的重要手段，亦是提升学生学力，发展学生数学学科核心素养的基本渠道. 在教学中，将学生的知识结构的内在逻辑规律与认知发展规律有机地深度融合，可促进学生理性思维的发展，提高教学效率.
作者简介：颜虹（1980—），本科学历，教育硕士，中学高级教师，从事高中数学教学工作.