落实数学探究活动，优化数学思维能力

［摘  要］ 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程，为满足学生的不同志趣和发展需求提供了多样课程. 这三类课程都包含数学探究活动这一主题，符合新课程以学生发展为本的教学理念. 曲线系方程及推论的拓展教学契合新课标中提出的高中数学课程结构，能满足学生的不同志趣和发展需求.

［关键词］ 数学探究活动；曲线系方程；教学思考

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程，具有基础性、选择性和发展性，为全体学生提供了共同基础，也为满足学生的不同志趣和发展需求提供了多样课程. 这三类课程都包含数学探究活动这一主题，足见其地位的重要性.

数学探究活动是围绕某个具体数学问题，开展自主探究、合作研究，运用数学知识解决问题的一类综合实践活动.这类活动提倡独立思考、自主学习、合作交流等学习方式，充分重视学生学习的过程，符合新课程以学生发展为本的教学理念.

解析几何是“以代数方法研究几何问题”，圆锥曲线是高中解析几何课程中的重要内容，通过运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质及直线与圆锥曲线的位置关系，可以发展学生的数学运算和逻辑推理能力. 在实际教学中，复杂的数学运算及严密的逻辑推理依然让学生望而生畏. 本文结合一个课堂教学片段，谈谈关于在教学中落实数学探究活动，优化数学思维能力的一点思考.

教学片段

本节课是“直线与圆锥曲线的位置关系”的专题课，预设的教学目标是：由师生相互交流合作解决典型问题，在教师的引导下学生独立归纳总结解决直线与圆锥曲线位置关系问题的具体方法，学会合理选择方法并灵活解决问题.

1. 典例分析？摇

（1）求抛物线Ω的标准方程及准线方程；

生1：（1）（过程略）抛物线Ω的标准方程为x2=8y，准线方程为y=-2.

（2）把AB，CD所在直线的方程分别与抛物线的方程联立，利用弦长公式求得AB与CD的长度，再用垂径定理求出直线l的斜率k.

若k=0，则直线l1与抛物线仅有一个交点，不符合题意，所以k≠0.

教师评析 该方法是解决直线与圆锥曲线位置关系中弦长问题的通性通法，具有代表性，不足之处是计算量很大，对大家的计算能力和心理应变能力的要求较高.

教师以为到此本题就基本解决了，正准备转入下一个教学环节时，生2、生3提出的解法则将课堂教学推向了高潮.

2. 课堂意外生成？摇？摇

师生总结 生2、生3提出的解法都用了曲线系方程的知识，除参加过竞赛的学生外大部分都没有系统学过这一内容. 这两种解法相较于传统的解法，过程简洁明了，大大降低了运算量，达到了事半功倍的效果.

在生2、生3意外生成的情况下，教师就顺势让两位学生将曲线系方程作为拓展知识给全班同学作了一下介绍.

新高考中的曲线系方程

1. 曲线系方程及推论

我们知道，若两曲线C1：f（x，y）=0，C2：g（x，y）=0有公共点M（x0，y0），则过点M的曲线系方程为f（x，y）+λg（x，y）=0（λ∈R）（不包含曲线C2）.

2. 用曲线系方程巧解高考真题

在近两年的新高考数学试卷中不难发现，很多解析几何问题都可以用曲线系方程的知识来求解.例如2020年高考新课标Ⅰ卷理数第20题所涉及的模型就是曲线系方程的推论1.

（2）证明：直线CD过定点.

评注 传统解法是通过两次联立方程得到C，D的坐标，利用C，D的坐标表示出直线CD的方程后求出定点. 对比传统解法可以发现，利用曲线系方程知识，结合相关模型求解，可以有效地避开传统解法中烦琐的运算.

再如2021年新高考Ⅰ卷第21题，利用曲线系方程推论1，结合圆的相交弦定理的逆定理就可以顺利求出直线AB与直线PQ的斜率之和.

（1）求C的方程；

3. 实践感悟

曲线系方程及推论虽然是课外拓展内容，不过与传统方法相比较，它在解决一些解析几何中的定点定值问题时过程简洁、计算量小，能有效提高解题效率，优化学生的数学思维能力.

课堂教学要关注学生知识技能的掌握，更要发展学生的数学学科核心素养. 课堂教学中的意外生成能激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生独立思考、自主学习、合作交流，促进学生探究能力和创新意识的发展.

曲线系方程及推论的拓展教学契合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》所提出的高中数学课程结构，能满足学生的不同志趣和发展需求，具有选择性和发展性.

数学探究活动的教学思考

1. 整体设计教学，系统实施探究

为了有效实施数学探究活动，教师要整体、系统地设计教学，从课内知识的探究拓展过渡到课外知识的系统探究，引导学生从类比模仿到自主创新.

相比上文的教学片段，这种探究活动更自然，更具系统性，更能培养学生的探究意识，优化学生的思维能力.

2. 基于新课标要求，关注高考变化

？摇？摇新课标提到的三类课程都包含数学探究活动这一主题，并且在必修课程“函数”主题中建议收集现实生活中的数学模型，体会借助函数刻画实际问题的意义；在选择性必修课程“几何与代数”主题中建议学生阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料，论述平面解析几何发展的过程，这些都蕴含着探究拓展的内容. 落实新课程理念，重视数学应用，关注数学探究是近两年新高考数学试卷的特点，能很好地区分学生的思维水平，考查学生的探究意识和思维能力. 上文中的高考真题巧解已经能看出考题的灵活性及方法的多样化. 因此，教师在开展数学探究活动时一定要基于新课标要求，同时关注新高考变化，真正使探究活动得到有效落实.

3. 精选探究主题，优化思维能力

数学探究活动具体表现为发现和提出有意义的数学问题，并在数学问题的解决过程中实现学生思维能力的优化和提高. 有意义的探究主题能激发学生的内部学习动机，促使学生形成强烈的探究意识，反之则会流于形式，为探究而探究，甚至引起学生反感. 上文所提的教学片段中生2和生3的积极表现充分说明了曲线系方程拓展探究的意义和价值. 通过对比通性通法，学生深刻体验拓展探究的过程，数学思维能力得到了优化.

结语

数学探究活动是数学课堂教学的重要组成部分，是增强学生探究意识、优化数学思维能力的重要举措.在实施新课标，使用新教材，参加新高考的今天，我们要基于新课标的要求，关注新高考的变化，精选探究主题，整体设计教学，系统实施探究，真正落实探究活动，培养学生的探究意识，优化学生的思维能力.

作者简介：章东锋（1980—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作，曾获无锡市优秀教育工作者称号.