数学章起始课教学的实践与探索

［摘  要］ 在推崇教育高质量发展的当下，章起始课教学的重要性越发突出. 上好章起始课，可帮助学生建构一个纲领性的知识架构，对整个单元教学起到“先行组织者”的作用. 文章从章起始课的概述与现状分析出发，以“复数”的章起始课教学为例，分别从以下几方面展开研究：借助背景，引出问题；应用联想，激活思维；抽象总结，构建概念；应用新知，解决问题；多元关联，深化联系；反思归纳，拓展延伸.

［关键词］ 章起始课；复数；整体

章起始课的作用主要体现在帮助学生了解即将接触的单元知识内容，唤醒学生与之相关的知识和经验，引发学生的探究行为，培养学生的问题意识，为整个单元教学创造良好的基础. “用教材教学，而非教教材”成了广大教育工作者的共识，如何基于单元整体的视角整合教材实施教学，凸显章起始课教学的优势呢？这是一个值得深究的问题.

章起始课教学的概述

章起始课是指单元教学的第一课，单元整体视域下的章起始课设计需从学生已有的认知经验出发，结合教情、学情与考情将第一课教学内容重组，以突出单元教学的整体性与关联性等特征. 实践发现，基于学生实际认知经验与知识内部规律设计章起始课教学，可让学生的视角从观察“一棵树”转化为观察“一片森林”，再基于“森林”的视角来研究“树木”的本质，从而对知识间的联系产生深刻理解. 这种模式下的教学，可从真正意义上促进深度学习的发生，为学生核心素养的发展创造条件.

章起始课教学的现状分析

纵然不少教师已经关注到章起始课教学的重要性，但因章起始课存在概念形成过程复杂、知识跨度大等因素，导致资料查阅比较麻烦，教师对知识宽度掌握不全，执教过程中无法完全展开，这种心有余而力不足的现象是导致教学失败的重要原因之一［1］. 也有些教师还没从真正意义上掌握章起始课教学的重要性，认为此类课型比较简单，而且与高考联系不大，因而选择让学生以自主阅读的方式“一带而过”，更有甚者跳过章起始课教学，直接切入课时教学，美其名曰“提高教学效率”，实则得不偿失.

“复数”章起始课的教学分析

复数属于数系的又一次扩充，近些年对复数的考查内容不多，且以代数形式的四则运算为主，这就导致不少教师认为本章节并不重要，于是将教学重点放在用公式实施简单计算方面，忽略了对数系扩充过程及其几何意义的探索，造成学生对复数形成与发展的过程一知半解.

纵观数学史，复数与虚数概念的发展经历了漫长且曲折的过程，数学家在此过程中充分发挥想象力与创造力才有了今天的成果. 因此，在设计本单元教学时，教师可将复数形成的起点作为学生思维的起点，将展示数系扩充过程作为教学主线，将揭露概念本质作为教学重点，让学生明确如何用定性的方式刻画复数的几何意义，从整体视域理解复数的概念和几何意义，以及与四则运算之间的关系.

教学过程设计

1. 借助背景，引出问题

鉴于此阶段学生的认知能力与思维能力都已趋向成熟，教师可选择充满“数学味”的实际问题作为课堂导入的起点，让学生在难度较小却充满趣味的问题中开启课堂探索之路. 本节课为复数的章起始课，因此提出的第一个问题应与复数相关，且难度不能太高，让不同认知阶层的每一个学生都能自主进入课堂学习状态.

设计意图 结合学生的实际认知水平，将复数形成的逻辑起点作为导入情境，成功引发了学生的认知冲突，在矛盾中激发了学生的学习欲，思维自然而然地过渡到关于复数的探索中来. 如此设计，初步还原了复数形成的过程，使学生感知到复数的形成源于实际需求，体会复数的出现成功解决了部分数学知识的内在矛盾.

2. 应用联想，激活思维

新知的形成离不开大量想象的支撑，复数的形成同样离不开联想的辅助. 问题作为数学课堂教学的“引领者”，是引发学生联想、激活学生思维的重要工具. 为了让学生充分感知数系扩充的过程，教师可设计问题链激活学生的思维，挖掘学生的潜能.

问题2 根据之前的学习经验，你们觉得数系扩充所遵循的原则有哪些？

问题3 之前我们接触过的集合与运算涉及哪些数？

问题4 数系扩充让什么方程从无解转化为了有解？

学生在数学学习生涯中主要经历了“自然数→整数→有理数”的扩充过程，回顾此过程可让学生体会数系扩充源于解方程的实际需要，扩充后的数不仅涵盖了原有的数，还遵循原有数的运算规则.

设计意图 复数章起始课的教学重点在于数系扩充方面，以问题链的方式启发学生的思维，让学生结合自身已有的学习经验感知数系的扩充过程与遵循的基本原则，为研究复数夯实基础. 同时，回顾旧知也为学生更好地理解新的数系扩充提供了类比条件.

3. 抽象总结，构建概念

新知的构建往往建立在旧知的基础上，通过以上环节的探索，学生已经能够将旧知作为参照，以类比的方式初步抽象出虚数.

问题5 虚数i一旦确立，那么实数与虚数进行加、减、乘、除运算，所产生的数属于什么数呢？这些数常以什么形式存在？

生1：虚数与实数进行加、减、乘、除运算，所产生的数有i+1，1－i，3i等，这些数的一般形式可用a+bi（a，b∈R）来表示.

师：总结得很好，复数构成的集合C称为复数集. 复数就是集合C=｛a+bia，b∈R｝内形如a+bi（a，b∈R）的数，a+bi（a，b∈R）为复数的代数形式，i为虚数单位，a为复数的实部，b为复数的虚部.

设计意图 在问题的牵引下，师生共同抽象总结出复数的概念，并明确了复数的组成部分. 复数的一般形式的抽象，让学生对复数形成与发展的过程有了一定的认识，为后续探索“三元数”奠定了方法基础.

4. 应用新知，解决问题

问题6 下列方程在复数的范畴内有没有解？若有，请求出.

①x2+7=0；②x2+2x+2=0；③x2+1=0.

这三个式子结构简单，学生可借助配方、求根公式与因式分解等方法求解.

设计意图 在复数范围内提出解二次方程的问题，进一步帮助学生更好地理解和构建复数模型，并对其应用价值产生深刻体会，这是学生接触此次数系扩充后的又一次思维飞跃. 通过解决实际问题，学生亲历想象、构建及论证模型的过程，明确数系扩充虽然能解决一些原本解决不了的问题，但也可能导致原数系的一些性质的丢失.

5. 多元关联，深化联系

问题7 实数具有顺序性，因此在数轴上可以探寻到与之一一对应的点. 本节课所探索的复数由实部与虚部两个部分构成，那么在数轴上能够探寻到与之相对应的点吗？

关于这个问题，学生第一反应是当虚部为0时，那么该复数就属于实数，可在数轴上找到相应的几何意义. 关于虚部不为0的情况，学生则感到茫然. 为此，教师加以引导——引入虚轴的概念，具体如何理解则留在下一节课进行讨论.

设计意图 因为复数的形成没有丰富的生活背景作支撑，所以探索复数的几何意义需要应用深度数学思维. 对此，教师可引导学生初步感知它的存在，为后续探索复数的几何意义奠定基础.

6. 反思归纳，拓展延伸

反思是数学学习过程中不可或缺的一种思维方式，是学生对目标问题进行复盘与思考的过程. 一般情况下，课堂反思主要从教学内容本质、学习方法、探索策略等方面着手，以提升学生对问题的理解程度. 在反思的基础上拓展教学，可让学生自然而然地进入全面思考的状态，获得从多维度分析与解决问题的能力.

问题8 复数模型的建立有什么作用？谁来具体说一说是怎么研究复数模型的？

问题9 若将复数理解为“二元数”，是否存在“三元数”？有没有办法根据复数的研究过程构建一个与“三元数”有关的数学模型？

问题10 请在课后收集资料，分析为什么“三元数”没有被人们普遍认可，而“二元数”却受到普遍应用.

设计意图 数学是一门严谨的学科，不论什么理念的提出都要经过充分证明来分析其是否合理. 学生在回顾与反思中，一方面总结提炼本节课的学习内容，完善知识架构；另一方面通过拓展问题，揭露后续研究的内容. “三元数”问题则是教师给学生留下的悬念.

课后探索情况：经过课后探索与研究，学生发现关于“三元数”的乘法，并不能给ij明确的定义，如果ij为0，那么i（ij）和（ii）j并不能相等，如此就进一步体现了复数运算的重要性与必要性. “三元数”的探索也给后续探索“四元数”指明了方向.

显然，这种开放性的课后作业比传统的课后作业更能开阔学生的视野，增加学生的知识储备，让学生对一些知识的来龙去脉产生深刻理解，由此发展学生的“四基”与“四能”，提升学生的数学学科核心素养.

思考与感悟

1. 关注核心概念，构建知识体系

统摄全章节是章起始课教学的特征，在设计课程时，教师要考虑本章节“教什么”与“怎么教”等问题. 一般章起始课都会涉及一些核心概念，课堂教学需紧紧围绕这些核心概念展开，随着核心概念的拓展与延伸，逐渐构成一张结构完整的知识网. 基于整体的视角实施章起始课教学，可让学生在以核心概念为主线的教学活动中发现知识本质，并探寻到知识的来龙去脉，有效避免碎片化地认识知识. 尤其在新课标的背景下，更要关注知识的结构化教学，让学生从真正意义上“知其然且知其所以然”.

2. 重视问题引领，提升思维含量

问题是数学的心脏. 学生的思维在问题的引领下逐步深化，解决问题的过程好比抽丝剥茧的过程，学生的思绪会随着问题的点拨逐渐清晰，知识本质也会在问题的解决中暴露出来. 问题是撬动思维的杠杆，学生在课堂中的思考以问题为支架，思维容量在问题的参与下逐渐提升. 本节课，教师以一个又一个简洁明了的问题，带领学生由浅入深地理解复数的来龙去脉，为后续教学奠定了深厚的根基.

3. 融入史料元素，发展数学情怀

数学教学除了要探索知识外，更重要的是要彰显立德树人的意义. 数学史上很多数学家为了突破一个问题耗费了大量的时间与精力，这种严谨的探索精神感染了一代又一代的青年学子. 教师将这些具有励志意义的数学史料渗透在课堂中，不仅能拉近学生与数学的距离，还能有效培育学生的数学情怀，为学生形成严谨的数学思维与良好的人格品质夯实基础.

总之，章起始课的教学对教师的教学能力提出了较高的要求. 教师应从全局谋划，从细处着手，让章起始课践行立德树人理念，培养学生的数学学科核心素养.

参考文献：

［1］ 孙军波. 核心素养观下的主题单元起始课教学实践——以复数单元起始课为例［J］. 数学通报，2019（12）：31-34.

作者简介：邹卫刚（1977—），本科学历，中学一级教师，区教坛新秀，从事高中数学教学工作.