MM教学方式下高品质数学课堂的建构
作者： 刘奎
［摘 要］ 在素质教育的推动下，“以生为主体，以师为主导”的MM教学方式得到了广泛应用. 在实际教学中，教师应重视引导学生经历知识生成的过程，让学生在习得相关知识的同时掌握数学研究方法，提升学生的综合能力和综合素养，从而打造高品质数学课堂.
［关键词］ MM教学方式；生成过程；综合能力；综合素养
MM教学方式遵循学生的身心发展和认知规律，力求教学、学习、研究同步协调发展，引导学生主动发现、提出和解决问题，促进学生数学综合素养的提升. MM教学方式以素质教育为目标，重视学生主体性的激发，重视学生自主探究能力的培养，因其“高效低耗”而得到了广泛应用. 在实际教学中，教师应不断吸取新的教学经验、教学方法、教学思想，精心设计教学活动，避免简单地照抄照搬；要不断提升教学素养，提高教学品质.
在“任意角”的教学中，笔者基于MM教学方式开展教学活动，让学生体会扩充角的重要性、必要性和合理性，引导学生用发展的眼光看待数学，提升学生的综合能力和综合素养. 现将教学设计及实施过程呈现给大家.
教学分析
1. 教材分析
任意角的概念是对角的概念的推广，是研究任意角的三角函数的基础，准确理解和掌握任意角的概念对三角函数的学习起着至关重要的作用. 在初中阶段已学习过角的静态定义，本节课则用运动的观点来定义角，突破学生对原有角的概念的认识，发展和完善角的定义.
2. 教学目标
（1）理解和掌握任意角的概念；
（2）掌握终边相同的角的集合的表示方法；
（3）通过类比分析掌握正角、负角、零角及象限角的定义；
（4）引导学生经历知识生成过程，提升学生的数学能力；
（5）渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法，发展学生的数学学科核心素养.
3. 教学重点和难点
（1）任意角的概念以及终边相同的角的集合的表示方法；
（2）运用分类讨论思想研究终边相同的角的问题.
教学过程
1. 复习回顾，引入新课
问题1 初中阶段是如何定义角的？你学习了哪些角的概念？
问题2 初中所学的角的范围在0°～360°之间，有没有不在这个范围内的角呢？
设计意图 从学生已有认知出发，引发认知冲突，让学生体验原有的角的概念具有一定的局限性，自然引出本节课的研究主题——任意角.
2. 课堂探究，生成概念
探究1 教师出示时钟，让学生将分针按照逆时针方向旋转半周、一周、一周半、两周，观察分针的位置变化.
设计意图 通过操作和观察让学生发现，旋转半周与旋转一周半，旋转一周与旋转两周，分针最终的位置相同，不过其旋转的角度不同，有些角不在0°～360°之间，显然之前的角的定义已经无法刻画现在的角，有必要扩充角的范围、更新角的定义.
问题3 分针可以按照逆时针方向旋转，也可以按照顺时针方向旋转，在数学上，如何描述这种相反意义的量呢？
设计意图 通过创设问题情境引导学生联想正负数，由此让学生体会用正负表示旋转方向的合理性. 在此基础上，教师顺势给出正角、负角和零角的概念，从而将角的概念推广至任意角.
探究2 结合正角、负角、零角的定义及规定，画一个以点O为顶点，OA为始边，OB为终边，角度为－60°的角.
师生活动：教师让学生在草稿纸上画角，然后投影展示两位学生的作品，他们所画的角的始边不同，所以其终边也不同. 教师旋转其中一位学生所画的角，使其始边与另一位学生所画的角的始边刚好重合，这样两个角的终边也刚好重合.
设计意图 通过动手画角，一方面巩固任意角的定义，另一方面让学生体会把角的始边放在同一位置进行研究的必要性. 在此基础上，教师引导学生以平面直角坐标系为载体，提出象限角、轴线角等概念.
问题4 －30°，330°，－390°是第几象限角？它们之间有什么内在联系？
师生活动：问题给出后，教师让学生独立思考，学生根据已有经验判断以上三个角均为第四象限角. 在此基础上，教师启发学生得到如下等式：330°=－30°+360°，－390°=－30°－360°. 至此发现，330°角与－390°角和－30°角的终边相同.
追问：与－30°角终边相同的角有多少个？这些角的度数相差多少？
师生活动：学生通过思考与交流得到结论“与－30°角终边相同的角有无数个，这些角相差k·360°（k∈Z）”.
问题5 所有与－30°角终边相同的角可以构成一个集合S，集合S该如何描述呢？
师生活动：学生结合已有知识和经验，给出与－30°角终边相同的角的集合为S=｛ββ=－30°+k·360°，k∈Z｝.
问题6 把与α角终边相同的角构成一个集合S，此时集合S又可以如何表示？
学生活动：学生运用化特殊为一般的思想方法，得到与α角终边相同的角的集合为S=｛ββ=α+k·360°，k∈Z｝.
设计意图 教师从学生已有认知出发，设计环环相扣的问题，让学生在问题解决中发现终边相同的角的内在联系，帮助学生理解并掌握判定一个角为第几象限角的方法. 同时，通过经历由特殊到一般的转化，让学生顺利得到与α角终边相同的角的集合S=｛ββ=α+k·360°，k∈Z｝，突破了教学难点.
3. 例题练习，深化理解
例1 （1）已知β角的终边与－155°角的终边相同，请用－155°表示β角；
（2）在0°～360°之间找到与－155°角终边相同的角，该角为第几象限的角？
以上两道题的难度不大，学生独立求解，教师展示学生的解题过程后，引导学生归纳总结解题过程，形成一般解题思路：将角转化为k·360°+α（k∈Z，0°≤α≤360°）的形式，这样根据α所在的象限即可判定该角在第几象限.
练习 在0°～360°之间找出与660°和1026°15′角终边分别相同的角，并判断它们分别为哪个象限的角.
师：从特殊出发，是个不错的想法. 结合生2的验证过程，你有什么发现呢？
师：非常好，大家利用分类讨论思想解决了这个问题.
师：刚刚我们是从“数”的角度出发，得到了相应的结论，如果从“形”的角度入手，可以如何理解呢？（学生积极思考）
设计意图 通过师生互动交流帮助学生顺利解决了问题，让学生体会数形结合和分类讨论思想在解决问题中的作用.
4. 课堂小结，完善认知
问题7 本节课你学习了哪些知识，接触了哪些数学思想方法？
设计意图 教师预留时间让学生通过小组合作的方式完成知识的梳理，以此深化学生对角的相关概念以及终边相同的角的集合的表示方法的理解. 同时，通过对数学思想和数学方法的归纳总结，帮助学生形成良好的认知结构.
教学思考
本节课以现实生活为背景，既淡化了概念的抽象感，又体现了数学源于生活、抽象于生活的道理，让学生在实际生活情境中挖掘数学元素，提出数学问题，学会用数学眼光看待现实世界.
在本节课教学中，教师贯彻“以生为主体，以师为主导”的教学理念，通过创设符合学生最近发展区的问题引导学生经历知识生成的过程，让学生全面且深刻地理解知识. 如在本节课教学中，教师先是引导学生回顾初中所学的角的概念，然后提出问题“有没有不在0°～360°范围内的角”，由此引发认知冲突，引出本节课的研究主题. 紧接着从生活情境出发，通过旋转推广角的定义，得到任意角的概念后，自然引出任意角的表示方式. 这样通过问题的不断提出与解决，提升学生的思维能力. 同时，在深入探究中，让学生充分感知数学的魅力，有利于学生学习动机的激发和学习能力的提升，促进学生数学学科核心素养的发展.
总之，MM教学方式打破了传统“以师为主”的“讲授式”教学模式的束缚，为学生提供了更广阔的发展空间，促进学生综合能力和综合素养的全面提升.
作者简介：刘奎（1981—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.