巧用“五何问题”导学 提升概念教学品质
作者： 薛亚琼
［摘 要］ 数学概念是数学知识的基础与核心，是对事物本质属性的概括和总结. 在概念教学中，教师可以尝试将教学内容问题化，让学生在问题的引导下经历概念的形成过程，以此让学生深刻地理解和掌握概念，提高概念教学品质.
［关键词］ 概念教学；问题化；过程
数学概念教学是高中数学教学的重要课型，其在教学中的价值是不言而喻的. 影响概念教学品质的因素是多种多样的，不过影响教学品质的关键是教师采用何种教学方法和教学手段. 在概念教学中，若教师仅仅通过单一的讲授来呈现概念，不仅难以揭示概念的本质，还会让学生感觉枯燥乏味，容易滋生学生的厌学情绪，影响教学品质. 为了改变这一局面，教师应不断更新教学观念和教学手段，善于结合教学实际设计问题链，以此通过恰当的问题来激发学生的学习兴趣，提升学生的思维品质.
数学教学过程的实质就是一个不断提出问题、分析问题和解决问题的过程，问题贯穿数学课堂教学始终. 问题教学一直是国内外教育学者广泛关注的话题，如麦卡锡的4MAT模式中的“四何”分类法. 在此基础上，我国学者又将“由何”引入其中，形成了“五何”问题分类法. “由何”即了解概念的形成背景；“为何”即阐述概念形成的内在过程；“是何”即提炼概念的本质属性，明确概念的直观表述；“如何”即应用新知解决问题的过程，让学生理解概念研究的实际意义；“若何”即通过有效的训练，揭示本质，强化能力素养. 笔者在教学“三角函数的概念”时，以“五何”问题分类法为指导，结合教学实际设计符合学生认知水平的问题，以此通过经历问题的解决过程，提高学生的综合素养.
内容解析
三角函数既是高中数学的教学重点，也是教学难点，同时还是高考的热门考点. 三角函数的概念是学习三角函数的基础，学生对概念的理解程度直接影响后续学习，因此教学中应重视三角函数概念的教学. 在本节课教学中，笔者结合教学实际创设“五何”数学问题，充分发挥问题在“激趣引思”中的作用，引导学生通过深度学习获得全面深刻的理解.
教学设计
在本节课教学中，笔者以初中已学的三角函数相关知识为出发点，在“五何”问题分类法的指导下，帮助学生理清概念的来龙去脉，以此逐步提高学生的学习能力，升华学生的思维，让学生学会思考、学会学习.
1. 由何
问题1 初中是如何定义三角函数的呢？
师生活动：预留时间让学生回顾初中所学的三角函数的定义，并点名让学生陈述.
设计意图 引导学生回顾初中所学的三角函数的定义，以此通过新旧知识的联系体现数学知识间的衔接和连续，让学生学会用发展的眼光看待数学知识，培养学生的创新意识.
问题2 分析初中的三角函数的定义，你认为它有哪些局限呢？该如何完善呢？
师生活动：在笔者的启发和引导下，学生交流并归纳出两大局限：（1）定义中的角只有锐角；（2）三角函数值只能是边长的比值.
设计意图 通过思考交流发现原概念的局限性，让学生体会引入新概念的必要性. 在本课学习前，学生已经掌握了任意角的概念，这样引导学生站在任意角的角度思考三角函数的定义，有利于学生突破思维局限，提高思维品质.
在新知教学中，教师要有意识地引导学生追根溯源，让学生体会探索新知的必要性，促进学生理解和掌握新知.
2. 为何
问题3 如何将锐角推广至任意角呢？
师生活动：任意角是放在平面直角坐标系中研究的，研究时将待研究的角的始边放在x轴的非负半轴上，然后研究其终边的位置，由此将锐角拓展至任意角.
问题4 任意角的三角函数值该如何表示呢？能用边长的比来表示吗？
师生活动：在初中阶段，研究三角函数时会构建相应的直角三角形，而在高中阶段，研究任意角的三角函数时，与之对应的直角三角形可能并不存在，这样利用定义锐角三角函数的老思路来定义任意角的三角函数显然是行不通的，需要另辟蹊径.
问题5 任意角是由什么决定的？用什么来刻画比较合理呢？
学生活动：学生通过思考交流发现任意角由终边唯一决定，于是联想用终边上的点的坐标来刻画.
问题6 任意角的终边上有无数个点，我们该如何选择呢？选择不同的点会对结果产生怎样的影响呢？
师生活动：可以选取终边上任意非原点的点，不过根据以往的研究经验来看，选取角终边与单位圆的交点能使问题变得更加简单明了.
设计意图 通过层层递进的问题让学生体会用边长的比来表示任意角的三角函数值已不再适用，以此让学生感受构建三角函数新概念的必要性. 在探究过程中，笔者以学生已有的知识为出发点，让学生经历由特殊到一般的推广过程，体会数学知识间的内在联系，逐步建构完善的知识体系.
3. 是何
经历以上探究过程，任意角的三角函数的概念初步形成（此时笔者用PPT呈现任意角的三角函数的概念）. 概念形成后，笔者预留时间让学生思考，并提出自己的困惑，通过师生的有效互动，促进学生理解和掌握任意角的三角函数的概念.
问题8 如果改变终边上的点的位置，此时任意角的三角函数值将发生什么变化？
师生活动：启发学生利用数形结合思想方法来解决该问题，学生通过自主探究易于发现，改变终边上的点的位置，三角函数值不会发生变化.
设计意图 通过具体问题的解决，让学生进一步体会所选的点可以是终边上的任意一点（异于原点O），由此实现对三角函数的概念的进一步推广，帮助学生形成正确的认识，提高学生自主学习的能力.
4. 如何
应用是强化理解的必经之路. 通过上述三个环节的探究，三角函数的概念已经生成，此时有必要结合教学内容引入一些典型例题，以此通过“用”来引导学生明晰思路，强化认知.
题目给出后，笔者没有直接给出求解过程，而是启发学生利用数形结合思想方法来解决问题.
设计意图 引导学生应用概念解决问题，以此实现概念的深化和内化. 在解决问题的过程中，笔者引导学生运用数形结合思想方法分析和解决问题，以此借助直观图形获得深刻理解，提高思维品质.
5. 若何
例2 已知角A的终边过点P（－1， 3），求sinA，cosA，tanA的值.
变式题：已知角A的终边在y=x上，求sinA，cosA，tanA的值.
上述题目不难，笔者让学生独立解决. 从反馈情况来看，学生可以直接应用三角函数的概念顺利完成例2的求解，但是在解决变式题时，部分学生因忽视分类讨论而出现了错误.
设计意图 设计变式题旨在帮助学生进一步深化对三角函数概念的理解，强化对三角函数概念本质的认识. 另外，通过变换坐标的表达形式，引导学生分类讨论，以此培养学生的分类意识，增强学生思维的严谨性.
问题9 结合上述探究过程，请思考以下几个问题.
（1）初、高中的三角函数概念分别是什么？有什么不同？
（2）通过本课的学习，你掌握了哪些内容？还有哪些困惑？
（3）本课学习中运用了哪些数学思想方法？
设计意图 引导学生从不同角度归纳总结，以此进一步强化认知，实现知识的内化.
总之，在概念教学中，教师要摒弃简单的讲授方法，善于从教学实际出发，设计符合学生认知水平的问题链，引导学生经历概念形成、发现和应用的过程，以此培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，提升学生的数学学科核心素养.