一节精彩纷呈的探究课

［摘  要］ 研究者利用一道期中试题的讲评，以引导学生经历一次精彩纷呈的发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的探究过程，提升学生独立思考与合作交流的能力.

［关键词］ 数学探究；裂项相减；裂项相加；求和；特殊到一般

数学探究活动是数学教学的主线之一，这条主线不仅能够帮助学生更好地掌握数学知识与技能，还能帮助学生利用数学思维思考问题，是学生形成和发展数学学科核心素养的有效载体. 笔者所在两校区（玉泉校区和丁兰校区）在2021年11月组织了一次期中联考，从考查结果来看，其中一道数列大题得分不是很理想，因此笔者重点讲评了此题. 在此题的讲评中，学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的表现出乎笔者意料，经历了一次完整的精彩纷呈的数学探究过程.

试题呈现

（1）略；

评注 此题是笔者所在两校区于2021年11月组织的一次高三期中联考中的试题，两校区的平均分为6.87分（满分15分）. 主要得分来自第一小题（7分），第二小题（8分）的平均分为1.92分，大部分学生基本上都没有解题思路，导致得分率极低. 由此发现，学生的数列复习还存在很大问题，这给我们的一轮复习敲了一记警钟！

1. 解法探究

因此，由①②可知，λ>1或λ<0.

评注 裂项的最终目的是求和，如果裂项后不能消除前后项，那么求和“宣告失败”. 上述解法“行得通”是因为部分前后项之和恰好等于1！这是此法的“绝妙之处”，可谓“神来之笔”！由此可见，课堂上教师要尊重学生的奇思妙想，不然精彩的内容会从身边“滑走”！

评注 这种转化好像是“灵光一闪”，但是仔细观察发现基本想法仍然是裂项相消，只是有点“迂回”罢了. 这种裂项有点“凑出来”的味道，而且还存在一定的运气成分（有时不一定能裂项成功）. 这对学生观察、计算、归纳、推理等能力有较高的要求. 当然，学生经历这样的思考过程，对他们思维能力的提升肯定有帮助.

评注 这种通过计算整理发现规律，从特殊到一般进行猜想是研究数学的重要途径. 北京大学数学教授刘若川说过，“计算固然重要，但更重要的是计算背后蕴含的原理和结构. 打一个比方，对于数学家来说，注意到3+5=5+3，进而得出a+b=b+a这个规律，可能远比知道3+5=8来得重要.”

评注 美国著名计算机专家、汉明码发明者理查德·汉明说过，“计算的目的不在于数据，而在于洞察事物”. 将式子组合后再计算，学生发现了一般性模式，犹如“入宝山而满归”，而且求和后学生发现b奇迹般地消失了！这是数学奇异美的体现！

本来这道题的探究已宣告结束！但一个“不和谐”的声音突然响起：一定要求和吗？弄得师生“措手不及”，于是赶紧问他：此话怎么讲？难道你还有什么妙招？这位学生回答道：

因此，由①②可知，λ>1或λ<0.

评注 对于第（2）问，大多数学生都想通过裂项将公式Tn求出来，但这个题目不好求，导致很多学生都宣告失败. 而这位学生另辟蹊径，不直接求公式Tn，而是利用公式bn的单调性，结合分类讨论思想，“无招胜有招”地解决问题，实在是“妙招”. 这也给学生提了个醒：碰到求和问题，是不是一定要将前n项和公式求出来？

解题反思

数学探究是一件有意义的事情，但有时没有固定的套路可寻，若能把握分寸，必将精彩纷呈.

当学生碰到数列求和问题时，往往就会想能否先将求和公式求出来，借助求和公式再去解决相关问题，这种想法确实是可行的，有时还是通性通法. 上面的探究也证明了将求和公式求出来是一件有意义的事情，也因此得到了一般性模式. 在一轮复习中，大部分教师往往也是这样教学生，学生认为将求和公式求出来后对后面推理会更方便，但这有时又是相对的，这就是我们探究到最后的精妙所在.

数学探究需要想象力、直觉和灵感，还要求学生的数学思维打开一点，这样更能让他们体会到数学探究的绝妙之处. 对于一些数列求和问题，不一定非求和公式不可，譬如前文所述的这道期中试题. 由此可见学生喜欢“舍近取远”. 所以，打破思维定式不是一朝一夕的事情，需要教师在教学实践中慢慢渗透. 在保证学生用通性通法解决问题的情况下，教师应适当改变策略，让学生尝试从另一种途径解决问题——有时另辟蹊径能得到“不一样的风景”.

数列求和问题一般都比较难，因为解决它们的数学思想方法比较灵活. 在教学实践中，教师要教学生多角度思考问题，破除思维定式. 掌握这道期中试题的一连串分析需要学生逻辑推理和数学运算等能力，需要给他们搭建数学探究平台. 只有当学生通过探究理清了这一连串的逻辑关系，才可以说他们掌握了此题的思考过程，其逻辑推理和数学运算素养得到了发展.

因此，在平常的一轮复习中，在教给学生基础知识、基本技能的同时，还要教给学生思考问题的本领（当然这种本领要求学生课后从数学探究实践中慢慢获取，不能急于求成），让学生知其然且知其所以然，从而达到知识的融会贯通.