探寻问题本质 提升核心素养

［摘  要］ 解三角形是三角函数中的典型问题，需要借助正弦、余弦定理并结合三角恒等变换加以解决. 当题目稍难时，学生就无从下手，而对于另一类问题“已知三角形中的一组对边对角，当三角形有两解时，求另外某一边长的取值范围”，学生理解更在云里雾里，困惑不堪. 文章从书本介绍的一种方法入手，借助正弦、余弦定理和数形结合、代数运算，回归本源，发掘这一类问题的解法，培养学生的数学思维，提升学生的学习兴趣，并在解题中进一步帮助学生理解三角函数的本质.

［关键词］ 三角形；正弦定理；余弦定理；解题教学

引言

美国数学家和教育家G·波利亚指出：“掌握数学意味着什么，这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理，见解独到和有发明创造的题.”通过解题活动，学生不仅可以加深对所学知识的理解，而且能达到提升数学思维、拓宽数学视野、提高学习兴趣的目的. 在思维活动过程中锤炼出来的逻辑性、条理性和严密性，不仅对其他学科有积极的正向迁移作用，同时还对学生以后的工作、生活和学习有思想引领作用.因此，解题教学是中学数学教学的重要任务.本文对三角形多解问题进行多角度分析，挖掘此类问题不同的解法，促进学生解题能力的提高，从而进一步提升学生的数学思维能力.

例题呈现，解法点评

例题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，a=2. 若满足条件的三角形有且只有两个，则b的取值范围为__________.

解法1 在△ABC中，已知a，b和A，如果A为锐角，那么求B的情况如表1所示.

点评 此方法从三角形的几何图形中直接得到不等式. 这种方法呈现在苏教版必修5教材的阅读题中，学生能通过识记背下来，对学生的概括能力、数形结合能力有一定要求. 但过一段时间后学生容易遗忘，记不清套用的公式.究其原因是此方法利用几何图形，结合正弦定理得出不等式，概括程度较高，学生若思维能力不够，则不容易掌握此方法.

解法2 利用正弦定理求解.

点评 本解法的切入点在于题中已知的对边对角，利用正弦定理将满足题意的角B有两个值的问题转化为两个函数的交点个数问题，借助三角函数的图象，从图形中寻找答案. 培养学生的化归与转化、数形结合能力，同时促进学生把握知识点之间的联系，巩固和加深所学的正弦定理.

解法3 应用余弦定理求解.

点评 在三角形中，通过余弦定理得到关于c（c>0）的一元二次方程有两解，然后转化为二次函数的根的分布问题求解. 让学生体会几何与代数的融合，进一步加深学生对余弦定理的理解. 解法3和解法2相得益彰，再一次用实例让学生感受到了正弦、余弦定理本质上的统一性，给学生耳目一新的感觉——一个非常显著的几何问题竟然可以转化成纯代数问题求解，让学生在惊叹之余感受数学的魅力巨大、数学的思维博大，有利于激发学生学习数学的热情.

解法4 利用外接圆求解.

点评 此方法将三角形放入其外接圆中，回归三角函数的本质，这是因为三角函数就是通过圆（单位圆）来定义的.此解法寻找三角函数的本质，将三角形个数问题转化为绕C点旋转的弦的个数问题. 解法新颖，让人豁然开朗且无需过多计算，能够让学生回归正弦定理的核心且培养学生的思维能力，提升学生解题的速度和质量，增强学生的数学学习能力，提升学生的数学学科核心素养.

点评 变式题1和变式题2是对原有问题的进一步改编，让学生比较清晰地掌握正弦、余弦定理的运用以及图形的变化，进而寻求较为合理、便捷的解法.

解题反思，提升素养

上述是三角形多解问题的多种解法及变式的分析，通过一题多解可以帮助学生理解与此相关的概念、方法，并挖掘学习数学的潜在力量，从而达到一题优解的目的，有利于学生更好地学习数学，提升学生的数学素养. 想更有效地实施解题教学，进一步构建师生之间的互动机制，促进学生高效学习，笔者认为还需要关注以下几个方面.

1. 遵循认知规律，在解题中感受数学思想

函数、方程、不等式都是刻画数学中的变量之间变化规律的模型，需要学生在解决相应问题时有意识地运用函数、方程、不等式思想去解决，同时还需要学生借助转化与化归思想，将未知的、不熟悉的、复杂的问题转化为已知的、熟悉的、简单的问题，利用已有知识和经验去解决. 由于函数思想方法是中学数学的主导方法之一，因此教学中应尽力向学生渗透函数思想方法. 例如解法2，将三角形多解问题转化与化归为三角函数与直线的交点个数问题，用到了三角函数模型和一次函数模型，并渗透着函数思想、几何思想、运算思想等. 这是落实学生数学学科核心素养，培养学生创新思维能力所必需的.

2. 遵循由表及里，在解题中体悟概念本质

本例中的几个解法展示在学生学习三角函数的概念，掌握正弦、余弦定理的基础上，遵循学生的思维发展规律. 随着解题方法的深入，学生在解题中进一步体悟到了三角函数概念的本质，开阔了数学视野. 数学思想是多样的、丰富的，通过不同思想的辨析可以更加深刻地感受数学对象之间的联系，更能够在解题中感悟数学问题的本质. 本例中的解法4就是从三角函数产生的根源出发而得到的一种解法，在寻找问题本质的过程中追根溯源，理清了知识本质，从而达到“会一题而通一类题”的效果. 这样的梯度设置能充分激发学生的学习动机和兴趣，激活学生的思维，激发学生的求知欲. 铺垫恰当的解题梯度，可以将学生的思维从最近发展区逐步向纵深推进，这样的方法能促进学生的思维能力提升，对其他知识的后续学习起着触类旁通的作用.

3. 遵循学习规律，在解题中感受成功体验

本例中的几种不同解法的呈现能让原本不会做题的学生在解法推进中下手，从思维接受区入手，从已掌握但运用不熟练的知识点着手，让这些学生发现自己也可以解决难度较大、无从下手的题目. 学生将习得的知识通过自身感悟内化为知识体系是需要时间的，也需要知识之间的连贯转化，不是一蹴而就的. 这需要教师在教学中了解学生. 学生不会做题，不是因为一点不懂这道题的解决方法，只是没有通过更高层次的思维把所学的知识和方法合理地串联起来.给学生充足的时间去思考，在学生大胆表达自己想法的同时，教师进行适当的帮助即可，让学生有机会发现自己解法的合理性、有效性，这样就可以在解题中增强学生的学习信心，增加学生的学习内驱力，逐步提升学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.