数学思想驱动下的高考题解法探究

［摘  要］ 当前高考解题教学中，要将数学思想的统领作用充分挖掘出来，要让学生在解题训练的过程中理解数学思想，其中很重要的一点就是，必须站在学生的角度并以学生的视角将数学思想与高考题解法探究结合起来，这样才能让数学思想在高考题解法探究过程中真正落地，而学生也才能在高考题解法探究的体验过程中理解数学思想的价值. 让学生在高考解题教学过程中充分体会并领悟数学思想，有助于学生用数学眼光观察现实世界，有助于学生用数学思维思考现实世界，有助于学生用数学语言表达现实世界. 总而言之，在高考解题教学中渗透数学思想须以学生为主体.

［关键词］ 高中数学；数学思想；高考题解法

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在“学业水平考试与高考命题建议”中，对高中毕业的数学学业水平考试以及数学高考的命题提出了命题原则、考试命题途径等要求，其中明确指出“命题应依据学业质量标准和课程内容，注重对学生数学学科核心素养的考查”，同时还强调“考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用”. 从日常教学尤其是高考解题训练来看，教师对数学概念和定理的重视是毋庸置疑的，对高考题解法的重视也是毫无疑问的，相比较而言，对数学思想的重视却略显不足. 这并不是说教师内心忽视了数学思想，事实上在很多场合教师都会强调数学思想的重要性，但由于高考题中很难直接体现出数学思想，因此数学思想在高考题解法探究过程中确实容易被边缘化. 在这样的实际情境下，笔者认为应将数学思想的统领作用充分挖掘出来，让学生在解题训练的过程中理解数学思想，很重要的一点就是，必须站在学生的角度并以学生的视角将数学思想与高考题解法探究结合起来，这样才能让数学思想在高考题解法探究过程中真正落地，学生也才能在高考题解法探究的体验过程中理解数学思想的价值.

其实，数学思想在高考题解法探究过程中也并非杳无踪迹，很多时候一些解法中就体现出了数学思想，如数形结合是一种重要的数学思想，也是每年高考考查的重点. 数学原本就是研究数与形的学科，数形结合是数学最基本的思想，很多数学高考题都是数形同时存在的，但如果解题时不将数与形体现出来，那么数形结合思想的“营养”就会流失，这自然不利于学生可持续发展能力的培养.

解高考题的魅力在于引导学生领悟数学思想

培养学生的高考解题能力的目的是什么？这是一个不言自明的问题——为了让学生在高考中取得好的成绩. 但这一目的只是近期的直接目的，如果将目光放远一点，从学生数学学科核心素养发展的角度来看，那么解高考题作为一种综合性非常强的活动，若能让学生在该活动中充分体会并领悟数学思想，就有助于学生用数学眼光观察现实世界，有助于学生用数学思维思考现实世界，有助于学生用数学语言表达现实世界. 学生解高考题往往处于注意力高度集中，大脑高度运转的状态，如果学生对数学思想有充分的体验和感悟，那么就可以将高考解题的魅力充分发挥出来，从而表现出高考解题探究应有的教学样态.

例如，在高中阶段所涉及的数学思想方法中，除了最基本的数形结合外，转化与化归是另一种重要的数学思想方法，也是历年高考考查的重点. 高中数学教学要重视培养学生运用转化与化归思想的能力，灵活运用转化与化归思想解题，可以化繁为简，化难为易，提高学生的解题能力，提升学生的核心素养. 转化与化归作为高考解题中最常见的数学思想方法之一，在解题过程中有充分的体现，只不过在传统教学里，部分教师不以转化与化归作为显性思路来引导学生解题，因此即使学生对转化与化归有所体验，也难以认识到其是重要的数学思想方法. 尽管可以认为学生在高考题解答时所追求的并不是数学思想的掌握，但如果真正站到学生的角度去看数学思想，就可以发现思想作为思维的载体，对学生思维的发展有着重要的促进作用. 因此，必要时将数学思想显性化，有助于学生掌握高考解题方法，从而形成较强的解题能力.

就拿转化与化归思想方法来说，可以来看这样的一道题目：

已知函数f（x）=x3+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数.对任意a∈［-1，1］都有g（x）<0，则实数x的取值范围为________.

这一题目及其解题思路说明，类似于例题这样的多变量的数学问题，通常伴随的都是已知参数在某一取值范围内求变量的取值范围，这时需要处理的就是将参数与变量进行转化，具体做法是将参数看作变量，而把变量看作常量，这样通常就可以达到简化运算的目的.

对于这道题目，在具体实施教学时可以考虑通过显性思路来引导学生认识其中的转化与化归思想. 其实，很多学生在解题过程中，都会明确感受到类似于此的题目在解答时需要进行转化与化归，但很多时候由于无法准确概括，因此所形成的解题能力总是很难迁移到新的题目中去，这在客观上就制约了学生解题能力的提升，也让学生难以真正领悟到这些题目所蕴含的数学思想. 但如果能够突破传统的教学思路，让转化与化归成为显性观念来概括学生的认识，那么就会发现学生能够恍然大悟，很多此前形成的默会认识，都会在这一思想的刺激下重新显现出来，能让学生对这一类题目的解题思路有明悟效果.

数学思想驱动下的高考解题教学案例与分析

高考解题教学是学生高考之前的集中训练，学生所学的知识会在这个时候得到充分展现，所形成的解题能力也会在这个时候得到提炼与升华，只有这样学生才能够真正有把握地走进高考考场. 然而这又注定其不会是一个轻松的过程，传统高考解题教学离不开一定数量的重复训练，很多时候学生需要解决多题之后才能有一点点进步，而当这种进步只能面对狭小范围内的题目时，又很难真正激活学生的成就感，于是学生就会在这样的情境中一步步辛苦前进着. 若想提高高考解题教学的效益，还是应当回归到本文刚开始提出来的观点：站在学生的角度，从学生的视角去看高考解题教学，并充分发挥数学思想的驱动作用，这样才能有所突破.

前面已经指出，解数学题需要数学思想方法的指引. 当数学思想方法成为学生的显性认识时，这种指引作用会体现得更加明显. 基于学生的视角去看高考解题教学，会发现同样的教学案例的新价值. 来看这样一个例子：

已知函数f（x）=xlnx+ax+2，若对任意的x∈［1，e2］，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围.

如果站在学生的角度来看这一解析过程，又会是怎样的情形呢？根据笔者的调查研究发现，大多数学生最初遇到这道题时，解题思路都不是很明晰，需要慢慢摸索——这个过程对于大多数学生来说一定是痛苦的. 由于解题方向不够清晰，故在调用已有知识和解题方法的时候，学生也不知道哪些知识和方法能够起到关键作用，某种程度上讲就是在黑暗中摸索. 此时通常只有少数学生能够灵光一现，从而找到正确的解题方法. 这个时候如果能够借助转化和化归思想方法来引导学生，那么可让学生在解题时有“柳暗花明又一村”的感觉. 引导学生利用转化与化归思想方法解题时，关键要抓住几个核心环节，如“令g（x）=+lnx”，学生很难自主想到，教师就要将自己的思维逻辑提供给学生，当学生听懂了教师的思维逻辑后，再用转化和化归思想方法来引领学生，这样就可以将学生的显性认识与隐性认识同整到转化和化归思想方法之下，这样一道题的解题收获就可以上升为一类题的解题收获.

这种收获就是源于数学思想方法的驱动，而之所以能够达成这样的教学效果，又是因为教师切换了教学视角，即真正从学生的角度出发去思考一类题应当是怎样分析的，应当是如何推理的. 这里实际上涉及高考解题教学的另一个重要环节，即解题后的反思. 高中生都具有一定的反思意识与能力，他们也很期待通过自己的总结与反思形成更强的解题能力. 因此，在高考解题教学中要充分利用学生的这一心理，满足学生的心理需求，引导学生对解题过程进行分析与总结. 事实上，此时如果能够给学生一定的时间和空间，学生确实是能够有所总结与收获的，如有学生就说：“解这一类题目最关键的就是能够想到‘令g（x）=+lnx’，而这又依赖审题，不能只将注意力放在一个细节上，有时候需要放在一个整体上，即题目是一个大整体，一个大整体中还有若干个小整体，小整体后才是一个符号……”这样的阐述虽然比较通俗，但是恰恰说明了学生通过总结发现，在分析这一类题目时，要能够变换审题角度与思路，这其实就是转化思想，而在转化后又能够进一步去假设并对题干进行简化、变形，而这就是化归的实质. 如此让学生通过总结就能够发现数学思想的魅力.

高考解题中的数学思想渗透须以学生为主体

有人趣说，题不在大，有“神”则灵，试题的“神”体现在试题的结构上，体现在蕴含的数学思想上，体现在知识的背景上，体现在对数学思想方法合情合理的要求上. 数学思想是数学发展过程中经由人们分析总结出来的思想，可以说是数学领域中人类的智慧结晶. 数学思想要想真正被学生所理解并接受，自然不是一件容易的事情. 高考解题是一个综合性非常强的环节，学生在高中阶段所学的知识会在这个环节中得到高度重合，并且会在解题过程中得到充分运用，因此借助这一环节来让学生领悟数学思想，同时让数学思想对学生的解题能力的提升起到驱动作用，就是非常现实的教学选择.

在这个过程中，要以学生为主体，即教师不能用自己的学识限制学生认识. 只有让学生亲自去体悟数学思想，去总结自己的学习过程并提炼出数学思想所起的作用，这样学生才能真正领悟到数学思想的价值. 在前面的例子中，专门腾出时间让学生去总结和反思高考解题，学生自然会将反思重点放在解题过程中难点的突破上，也会问出这样一个问题：怎样才能想到这一点？这一问题的回答实际上就与数学思想相关，尽管学生此时所总结的内容可能并不是精确的数学思想，但一定是学生自己的收获. 只有让学生有所收获，他们对数学思想的领悟才有坚实的基础，而无论是解题能力的培养还是数学学科核心素养的发展，通常也都建立在这一基础之上.

作者简介：汤兰（1981—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.