探索蕴含哲学思想的数学课堂教学
作者： 傅伟敬
［摘 要］ 蕴含哲学思想的数学课堂是从哲学的角度解释数学理论，使学生能够从更高的层次看待数学知识，从而拓展视野，提升数学知识的应用能力. 文章从数学课堂教学中渗透哲学“普遍联系”思想、“因果律”思想和“运动”观点探讨具有哲学味的课堂教学，以实现课堂教学效果的提升.
［关键词］ 哲学思想；普遍联系；因果律；运动观点
数学学科源于哲学领域. 历史上有许多伟大的数学家同时也是哲学家，如法国著名数学家笛卡尔，他创立了解析几何，将几何学与代数联系在一起，被称为“解析几何之父”. 同时他也是著名的哲学家，开拓了“欧陆理性主义”哲学，哲学思想影响了几代欧洲人. 牛顿在《自然哲学的数学原理》中不但提出了牛顿第一定律和万有引力定律，还创造性地用数学理论揭示了运动观点，阐述物体的运动规律，为建构科学的思维体系提供了成功的范例. 因此，数学理论与哲学思想密不可分，我们需要探索蕴含哲学思想的数学课堂教学，以提升学生的数学认知能力.
渗透“普遍联系”思想，构建知识网络
哲学思想强调任何事物不仅内部各元素存在相互联系，同时与周围的其他事物也具有普遍联系. 因此肯定数学知识内部间以及与其他学科知识间存在着相互联系. 挖掘它们之间的联系，可以帮助学生建构知识网络，形成系统性的认知体系.
例1 以下五个正弦值之间存在什么联系？
数学知识具有严密的逻辑性，渗透“普遍联系”思想，有利于培养学生的数学联想和逻辑推理能力. 本例渗透转化思想，运用数学结论探究问题本质，引导学生在探究活动中体会知识之间的联系，从哲学角度看待数学问题，发展思维能力.
例2 圆的周长和面积关于其半径的函数分别为C=2πr（简称周长函数）和S=πr2（简称面积函数）；球的表面积与体积关于其半径的函数分别为S=4πr2（简称表面积函数）和V=πr3（简称体积函数）. 它们之间具备怎样的联系？
从圆和球的内部元素的关系可知圆的面积函数的导函数为圆的周长函数，球的体积函数的导函数为球的表面积函数. 从圆和球之间的关系可知两者对高次函数求导得低次函数具有相似性.
数学知识内部以及与其他学科之间都具有丰富的联系，在教学中教师引导学生从不同的角度进行探讨，可以拓宽学生的视野，进一步完善学生的知识结构.
渗透“因果律”思想，提炼解题策略
哲学思想提出的因果律是指任何事物或现象的产生都有其原因，事物之间所具有的最重要、最直接的关系. 在数学课堂教学中可以渗透因果律的三大法则.
法则一：任何事物的结果必然有其原因，事物发生的原因和结果具有时间序列性，不能颠倒.
解析 本题的常规解法一般是先用f（0）=0解出b的值为1，接着根据f（1）+f（－1）=0解出a的值为2. 仔细审题可知，本题实际上求的是f（x）为奇函数的充分必要条件，而上述解题过程实际上求的是f（x）为奇函数的必要条件，违反了因果律中事物结果与原因的序列性原则，因而不正确. 我们可以改正如下：
第一步，利用f（0）=0解出b的值为1，根据f（1）+f（－1）=0解出a的值为2.
通过论证说明a=2，b=1是f（x）为奇函数的充分必要条件.
教师引导学生从因果律的法则一出发反思解题过程，可使学生的思路更加清晰，形成更加完善的思维结构.
法则二：事物的发展不以人的意志为转移，有其必然性与客观性. 这一法则主要应用在数学问题的演绎推理中. 高中阶段的数学推理和归纳过程的本质都是对条件进行演绎推理，条件的变化会导致结果的变化.
例4 判断题：垂直于同一直线的两条直线平行.
解析 从初中知识来看，垂直于同一直线的两条直线形成的同位角相等，则判定两条直线平行，这个结论是正确的；而从高中知识来看，垂直于同一直线的两条直线可能平行或相交或异面，因此判断这个结论是错误的.
学生在不同阶段给出的答案不同，根源在于推理的初始条件发生了变化——从初中的平面研究转变为高中的空间立体研究. 因此，教学中教师要引导学生从具体的条件出发，灵活运用知识解决问题，不能陷入思维定式的泥潭.
法则三：事物的存在建立在否定的基础上，即随着对旧事物的否定占主导地位就产生了新事物.
解析 根据三角形的特征，围成三角形的三条直线必须互不平行且不共点. 解决此题可以采用否定之否定的解题思路，能够使解题效率事倍功半.
师：请同学们通过否定的思路进行一一排除.
生：若三条边中有两条边平行或者三条边共点，则不能围成三角形. 因此，我们可以根据这些不能围成三角形的条件，求出m的取值范围，再求m的补集，从而得到问题的答案.
学生充分运用因果律中的否定思维，使难以入手的问题得以解决. 这种否定思维的解题策略还体现在选择题中的排除法、解答题中的反证法等，掌握这些思想方法能够大大提升学生的解题能力.
渗透“运动”观点，拓宽学习视野
哲学理论告诉我们，世间的一切事物都是运动的，运动是永恒而绝对的，而静止则是相对的. 运用运动观点可知数学定理也是相对的，如欧几里得几何认为平行线不相交，而黎曼几何则认为平面内任何两条直线都有交点. 这两个理论虽然互相矛盾，但是都是并行不悖的真理，因此“真理”是相对的. 那么在不同的情境和复杂的问题中，有相同的解决方法吗？
例6 （1）平面上n条直线两两相交，最多可以将平面分成几个部分？
（2）平面上n个圆两两相交，最多可以将平面分成几个部分？
（3）平面上n条抛物线两两相交，最多可以将平面分成几个部分？
（4）空间中n个球面两两相交，最多可以将空间分成几个部分？
解析 问题（1）中的第n条直线与其余的n－1条直线有n－1个交点，在画第n条直线时新增了n－1个交点将第n条直线分成了n条线段或射线，而这n条线段或射线将各自所在的平面一分为二，因此会新增加n个平面区域. 将这n条直线把平面分成的部分设为f（n），则f（n）－f（n－1）=n，由初始条件f（1）=2可以求出答案. 这正是“数列”中根据初始条件和递推公式求通项.
问题（2）、问题（3）和问题（4）与问题（1）类似，但是在解题时要注意区分他们的不同点：问题（2）中的第n个圆与另外n－1个圆的交点最多为2n－2个交点，根据问题（1）的解法可得f（n）－f（n－1）=2n－2. 问题（3）则要突破思维定式，注意抛物线之间各有四个交点，因此每条抛物线都能新增一个区域，从而可得f（n）－f（n－1）=4n－3. 问题（4）中的两个球面相交会形成一条曲线，该曲线即为圆. 这个圆会将球面分成两个球冠，从而第n个球面与另外n－1个球面相交，经过分析可得f（n）－f（n－1）的值，再由初始条件求得结果.
运动观点告诉我们：数学方法是发展演进的，同时静止也是相对的，解题方法具有相似性. 教师通过设置系列问题，以类比的方法进行解题训练，使学生辩证地看待问题，厘清解题思路，强化知识理解，实现思维能力的提升.
总之，数学知识与哲学思想具有密切的联系，教师在课堂教学中可以围绕教学内容渗透相关的哲学思想，使数学内容、解题策略、数学方法更具丰富性，能够使学生从更高层次看待数学知识，从而拓展学习路径，感受数学魅力.