关注问题设计 优化数学教学
作者： 曹守辉
［摘 要］ 问题是思维的起点. 数学教学过程中的问题不仅能串联学生的思维，从最大程度上优化学生的学习能力，还能激发学生的潜能，培养学生的逻辑推理与自驱力，发展数学核心素养. 文章从问题设计原则与问题结构特点出发，以“指数函数”的教学为例，具体谈谈高中数学课堂中应如何设计问题，以优化数学教学.
［关键词］ 问题；原则；指数函数
作者简介：曹守辉（1981—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.
问题是促进学科发展的初始动力. M.克莱因提出：“每个数学分支的发展，都源于对一类问题的攻克.”新课标提出：“数学教学活动应从数学本质出发，通过教学情境的创设，提出恰当的问题……”由此可以看出，合乎情理的数学教学应从问题出发，基于问题而展开. 这就要求教师设计出能够揭示知识本质的问题，以驱动学生的思维，实现知识的“再创造”.
■ 问题设计应遵循的原则
弗赖登塔尔认为数学知识都是“数学化”的结果，数学学习就是将生活问题“数学化”的过程. 他倡导数学问题的设计需遵循“从问题到理论”的原则，这是“再创造”思想的具体体现. 研究发现，具有本原性与启发性且能触及知识本质的问题才是好问题、真问题.
1. 联系现实原则
联系现实原则中的“现实”二字包含了两层含义：第一层，指学生的实际生活经验与数学基础；第二层，指数学知识的形成背景. 数学课堂教学中的问题设计，首先应遵循真实性原则，教师可通过逼真的教学情境创设，启发学生的思维. 值得注意的是，每一个问题都要在学生实际认知水平基础上设计，让每一个问题都能落在学生的最近发展区.
教师创设的知识形成的情境必须在学生认知基础上，使学生能够理解情境. 学生解决与情境相关的问题时，能体会到数学知识的广泛性、趣味性、严谨性与深刻性等特征. 因此，好的问题情境是帮助学生从现实世界向数学世界过渡的桥梁，是促使学生掌握知识与技能、思想方法与活动经验的载体，亦是促进学生形成“三会”能力的途径.
2. 问题驱动原则
哈尔莫斯认为“问题是数学的心脏”. 除此之外，问题还是课堂的核心，是教学的灵魂. 数学教学应根据学生的实际认知水平重组教材内容，“再创造”知识，而问题则是实现这一过程的根本. 在问题的有效驱动下，教师可为学生提供充足的探索空间，让学生在“做数学”中获得数学思想方法，应用所学知识解决实际问题，提高思考能力.
3. 知识生成原则
从建构主义理论的角度来看，学生原有的知识结构是建构新知的基石. 新知的形成应基于旧知而来，学生在亲历知识发生和发展的过程中，可深刻理解知识间的联系，为建构完整的认知结构奠定基础，这也是实现知识正迁移的过程. 这就要求教师在问题设计时，应深入剖析教材内容与学生学情，明确教学存在的问题，将学科内外间的联系通过问题暴露出来，以帮助学生理清知识脉络.
■ 常见的问题结构
数学课堂中的问题常以问题串的形式呈现，问题串在培养学生逻辑推理能力方面具有重要价值与意义. 也就是说，教师所设计的问题彼此间要有一定的逻辑关系，以便于学生梳理知识结构.
1. 对比结构，揭露知识形成过程
对比结构的问题设计，能够让学生通过知识的对比发现教学重点与难点，让推理过程变得更加清晰，这对锻炼学生的逻辑推理能力具有重要意义. 逻辑推理是结合已有信息推导出新结论的过程，该过程主要体现在公式、定理等的推导中. 学生在对比中不仅能发现问题的本质，还能有效提升逻辑推理能力，提升数学学科核心素养.
对比结构式问题还能增强新旧知识的类比，将新旧知识的异同点清晰地展示出来，让学生探寻出知识彼此间的联系，从而发现其本质. 同时，对比结构式问题还能让学生通过逻辑推理，快速获得结论，主动探索知识，提高学习效率.
2. 递进结构，促进学生深度思考
从认知发展规律来看，学生思维的发展遵循由浅入深的规律，那么问题的设计也应遵循学生的认知发展规律，如设计递进式问题——前面一个问题是后面一个问题的铺垫. 学生在由易到难的问题的启发下进行思考与分析，促进逻辑推理能力的发展. 学生思维的发展离不开教师的点拨与问题的引导，学生在递进式问题的引导下可开拓思维，进入深度思考的阶段.
■ 例谈问题设计
指数函数是高中数学的重点内容，这部分内容难度不大，但学生在掌握程度上总不尽如人意. 为了深化学生对这部分知识的理解，促进其逻辑思维的发展，笔者在本节课问题的设计上进行了大量研究，现将教学过程摘录如下.
1. 情境创设，提出问题
高中数学对知识间的链接尤为关注，教学内容的设置也是一环扣一环. 怎样设计有效的问题才能为学生搭建思维的阶梯呢？这就需要教师精心研读并分析教材，研究教学方法，重构教材中的问题，以让学生明晰问题的目的性与结构性，明确知识的指向性.
3. 拓展应用，总结提升
拓展应用环节需要教师提供一些有质量的问题，让学生利用指数函数的图象和性质去解决，并根据学生在解题过程中呈现的问题进行查漏补缺，及时纠正学生的错误. （过程略）
在学生能够灵活应用所学知识解决实际问题的基础上，教师再提出一些总结性问题，如通过本节课，你获得了哪些知识与技能、数学思想方法、学习感受与体验？你觉得指数函数的学习有哪些注意事项？等等.
学生通过对整堂课的回顾，进一步梳理所学知识，将新知顺利地纳入原有的知识结构中，形成完整的知识体系.
■ 几点思考
1. 问题间要有联系
布鲁纳认为：“若习得的知识没有纳入原有的知识结构中，难免会出现遗忘.”也就是说，独立、零散的知识无法在学生脑海中长时记忆下来. 因此，教师应基于知识框架的建构与知识网络的形成设计问题，应注重新旧知识间的联系. 正如希尔伯特所言：“能提出大量问题的学科充满生命力；问题匮乏的学科，必然走向衰亡.”问题作为学生思维的导向，应具有一定的联系性，这是建构完整知识结构的基础，亦是实现教学目标、提升学生数学学科核心素养的关键.
2. 问题目的要明确
每一个问题所呈现的内涵各不一样，不同的学生对于同一个问题会产生不同的想法. 教师设计问题时，应以教学目标为起点，让学生在问题的引领下发现并创造新知，而后随着新知的探索又回归到教学目标中来. 如本节课的问题1就是指数的扩充，其目的在于顺利引出指数幂ax，为本节课的教学做铺垫.
3. 关注问题的预设与生成
课堂教学属于动态发展的过程，不论教师如何精心预设，课堂上都有可能出现意料之外的情况，这些“意外情况”是上好的教学资源. 如本节课，当学生对指数函数y=2x与y=均过定点（0，1）提出异议时，笔者顺应学生的思维做好引导，让这个“意外情况”成为课堂中的亮点.
事实告诉我们，教师所设计的每一个问题都要以学生的思维发展为目标，让学生的思维沿着问题的深入拾级而上，对于学生提出的一些不可思议的想法，教师不可视而不见，而应充分肯定和鼓励学生，尽可能采用“两全”的方式，完成教学目标的同时满足学生的需求.
总之，好的问题是学生思维的“助燃剂”. 这要求教师所提出的每一个问题都要基于学生的最近发展区，尽可能让学生通过问题的解决，将最近发展区转化为现有认知区，实现思维的螺旋式上升，为建构完整的知识体系、提升数学学科核心素养奠定基础.