“等比数列的前n项和公式”推导的教学分析与思考

数学教学不仅要关注学生对“四基”的掌握情况，还要注重学生在学习过程中能力与素养的提升. 随着新课改的推进，如今的高中数学教学更注重学生在课堂中的主体性地位. 如何突破限定的教学目标，立足学生个体的发展进行课堂教学，是新课标对一线教师提出的新挑战. 本文以“等比数列的前n项和公式”的推导为例，具体谈谈如何顺应学生的思维促进个体的发展.

■ 教学分析

“等比数列的前n项和”是高中数学重点教学内容之一. 本节课的教学重点与难点为等比数列的前n项和公式的推导过程与简单应用. 这部分内容承接了数列的概念以及等差数列等知识，是后续数列求和与数列极限教学的基础［1］. 等比数列的前n项和公式的推导过程与方法，于学生而言确实比较抽象，教师如果直截了当地呈现“错位相减法”，那么就脱离了学生的认知基础，显得过于突兀.

波利亚认为，脱离学生认知基础的教学，就如同帽子里面突然出现一只兔子一样荒谬. 证明若缺乏合理的目的、步骤与动机，则让人难以理解，从论证与创造的角度来看，显得毫无意义. 因此，我们应站在学生的立场，从学生的角度出发，结合学生的最近发展区，通过稚化思维的方式帮助学生重建思维，从真正意义上突破教学重点与难点，增强学生的理解能力.

■ 教学实录

1. 创设情境

如何将知识的获取过程变成一件快乐且有意义的事情，是新课改背景下值得思考的问题. 创设一些学生感兴趣的情境，常能有效驱动学生的探索欲，让学生对知识产生一定的研究兴趣. 本节课，笔者结合学生的兴趣与教学内容的特征，引用古印度国王奖励国际象棋发明者的故事，顺着学生的思维提出几个实效性问题.

情境：古印度有一个人发明了国际象棋，得到了国王的赏识，国王打算给他一些奖励，便问他想要什么. 这人没有要金银财宝，而是要求国王根据棋盘格子给他麦子，具体规则为：在棋盘的第1格里放1粒麦子，第2格里放2粒麦子，第3格里放4粒麦子，以此类推，后一格子里的麦粒数量都是前一格子里的2倍，已知棋盘共有64个格子. 国王听了这个要求，觉得非常合理，便一口答应了. 请大家帮国王想一想，一共要给这人多少粒麦子？

这是一个经典故事，引用这个故事作为情境除了激发学生的探究兴趣外，还能为课堂增添一丝数学文化气息，让学生感到数学与生活的紧密联系，且故事情节与本节课的教学内容有所关联，符合教学需求. 同时，与生活相关的故事，也能让学生体会到数学学习的实用性，为增强学生的生活能力奠定基础.

2. 组织探究

面对以上情境，学生很快就进入了思考阶段.

生1：这个问题与我们之前接触过的细胞分裂问题有着异曲同工之妙，但也有些区别. 区别主要在于每个细胞分裂成两个细胞后，本身就没有了；而这里所涉及的棋盘格子里的麦粒数量并不会消失，计算时需要将每一个格子里的麦粒数量叠加上去，这么来看的话就是第1格里1粒，第2格里2粒，第3格里4粒，第64格里263粒，总量为1+2+22+…+263（粒）.

师：非常好！没想到你们能这么顺利地完成第一步——“列式”，接下来就是获得这个式子的答案了. 请大家大胆猜想一下这个式子的答案是多少.

学生热情高涨，答案千差万别. 学生基本上都没有经过计算，而是直接喊出10亿、100亿、1000亿等.

师：现在请大家思考一下，该如何用这个公式去求一个等比数列的前n项和？

生（齐）：直接套用公式就可以啦.

师：直接套用公式时，有什么值得注意的地方吗？

生15：需要注意公比q的值，按照其是否为1的情况进行分类讨论.

师：不错，我们所获得的这个公式还有其他作用吗？

（引导学生通过对公式的观察，发现“知三求二”的方法）

5. 实际应用

师：现在我们再次回到初始问题中去，大家算一算棋盘64个格子里究竟有多少粒麦子呢.

生（齐）：一共有（264－1）粒.

师：若1000粒麦子的重量为40克，2.5×107粒麦子的重量为1吨，你们能计算出64个格子里麦粒的重量吗？

学生用计算器计算，很快就算出64个格子里麦粒的重量为7378亿吨，这个数量让学生啧啧称奇.

师：据调查，那个时期世界年度小麦产量还不足6亿吨，显然这位古印度国王无法兑现承诺.

■ 教学思考

1. 关注认知经验，落实教学起点

奥苏贝尔认为，影响学习的最重要因素是学生已经知道了些什么，教师首先要探明这一点，才能因材施教. 确实，利用适当的教学方式，引导学生在当前所拥有的认知基础上进行新知教学的引导是实现意义学习的有效策略，也是学生对新知与旧知建立联系的关键.

实践证明，从学生原有认知结构出发，以学生的认知经验为教学起点，是实施新知教学的基础. 教师可通过情境的设置，唤醒学生原有的认知经验，为新知与旧知搭建桥梁，以促进学生更好地建构新知.

本节课伊始，笔者引导学生从感兴趣的故事情境出发，让学生从特殊的等比数列求和着手进行分析，课堂沿着学生的思维顺流而下，顺利将学生带入公式的推导中，并在学生原有的认知经验中探寻新知的生长点，不断增加新旧知识间的层次，以缩小师生间思维的落差，让教学过程变得更加自然、流畅.

2. 注重思维方式，实施探究活动

任何教学活动的开展都是基于学生认知水平而展开的，因此活动设计应从学生的思维方式着手，从学生的实际认知经验与思维特点出发进行设计［2］. 为了能顺应学生思维发展的规律，设计出契合学生思维的课堂教学方案，需教师在对学生充分了解的基础上实施教学.

想要充分了解学生的思维，除了站在学生的立场思考问题外，还应通过课前测试、访谈等方式来熟悉学生的真实认知水平，只有从真正意义上做到“知此知彼”，才能“百战不殆”. 教师一旦达到“学生化”后，就能将“教”与“学”有机地融合成一体，从而有效促进学生对新知的理解与建构.

本节课，教材直接呈现公式，但这个公式是如何得来的呢？从学生现有的认知水平出发，并不能完全理解. 鉴于此，笔者在教学过程中，创设了丰富的教学情境，激发学生学习兴趣的同时引出实际问题，让学生的思维顺着问题而行，使其在不知不觉中想到减项，错位相减法随之而来.

在此过程中，学生并没有感到突兀，而是有一种水到渠成之感. 同时，笔者还引出了两种接近学生最近发展区的思路：①以等比数列的定义为出发点，通过定理获得公式；②从项与项的联系着手，以通项公式为载体，顺应学生当前的认知水平与思维状态，有效建构新知，促进学生知识的生长与思维能力的提升.

3. 立足研究方法，促进个体发展

在教学中，教师切忌以权威者自居，而应将自身原有的知识结构悬置，与学生一起成为新知的研究者. 教师与学生一起探究新知，可从学生的认知经验出发，想学生所想，疑学生所疑，感学生所感，从而寻找出学生的困惑点，为教学指明方向.

“授人以鱼不如授人以渔”，面对学生的困惑，教师可故意表现出与学生一样的新鲜感，并投以较大的热情与学生共同探寻问题的结论，拉近师生间心灵的距离. 若学生在解题过程中出现了思维受阻，教师也可以给予适当的点拨，不着痕迹地将学生引向正确的解题思路上，让学生体验到自主探索的乐趣. 如此，可让学生获得学习信心，从一定程度上激发学习热情，为后续学习奠定基础.

总之，教育是一门艺术. 在教学中，教师应结合学生的实际情况与教学内容的特征，科学合理地设计教学方案，俯下身子与学生沟通交流，让师生在思维上同频共振，使学生在学习中获得研究问题的方法，形成“四基”与“四能”，达成“三会”，提升数学学科核心素养.

参考文献：

［1］ 鲍道斌. 高中数学数列题的解题技巧探究［J］. 数学学习与研究，2019（08）：103.

［2］ 杨翠蓉，周成军. 布鲁纳的“认知发现说”与建构主义学习理论的比较研究［J］. 苏州教育学院学报，2004 （02）：27-31.