自主改编问题 提高解题能力

［摘  要］ 解题的价值并不在于结论本身，而在于研究解题的方法. 自主改编问题能有效激发学生的潜能，发展学生的思维，提高学生研究问题的能力. 文章从两道原题出发，通过教师的示范，引导学生自主改编问题，并提出几点思考：教材是自主改编问题的依据；自由发散是自主改编问题的基础；“以生为本”是自主改编问题的关键；自主改编可提高解题能力.

［关键词］ 自主编题；思维；解题能力

作者简介：王丽君（1989—），本科学历，从事高中数学教学工作.

改编问题是指遵循一定的原则，将原命题中的条件、结论与图形等要素进行改编，形成新问题的过程. 它属于“类”训练，具有拓宽学生的视野，灵活调动学生的思维，促使学生深化对知识本质的理解，培养学生的创新意识等作用. 在高三复习教学中，将改编问题的任务交给学生，能有效激发学生的潜能，让学生自主完善认知结构，实现深度学习.

■ 理论基础

心理学家皮亚杰提出：在教学中，一切真理都应让学生重新发现并重建. 数学家莱布尼兹认为：用一，从无，可生万物. 皮亚杰提出的“真理”与莱布尼兹提出的“一”都可以理解为原命题或教材例题，而“再发现”“万物”则可以理解为变式拓展.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出：数学教学要以发展学生的数学学科核心素养为导向，引导学生掌握知识本质，倡导学生通过独立思考、自主实践与合作交流等方式形成良好的思维习惯. 在复习过程中，虽然有些知识点学生都知道很重要，但在知识本质的理解与应用上却总不尽如人意. 放权给学生，鼓励学生自主改编并解决问题，能有效启发学生的思维，增进学生思考的深度与广度，提高其复习效率.

■ 实施过程

1. 初步引导

为了让学生感知改编问题的乐趣，笔者特地精挑细选出两道原题，并示范改编思路与过程，让学生做好心理准备.

原题1 已知点P（2，3）为直线l上的一点，根据下列条件求直线l的方程.

（1）直线l在x，y轴上的截距和为0；

（2）直线l与坐标轴在第一象限围成的三角形的面积是16.

原题2 如图1所示，已知点P，Q分别位于∠A的两条边上，∠A为定角，QP为定长. 当P，Q位于哪个位置时，△PQA的面积最大？

由于是带领学生第一次尝试改编，笔者对此做了示范（见改编题1和改编题2），并对改编的原因做了详细的讲解. 比如原题1比较简单，在改编时，可以适当地加大它的难度；原题2相对抽象，在改编时，可以适当地降低它的难度，以通俗易懂为改编方向.

问题3 如图4所示，某农庄有一个矩形（ABCD）池塘，AB=4，BC=10，点E是池塘AD边上的一点，AE=2，点P是池塘内渔船的停靠点. 已知点P到AB，BC的距离均是3，CE，BE是池塘上的浮桥. 农庄主人为了充分固定浮桥，准备经过点P的位置再造一座浮桥NM，N，M分别为BE，CE上的点，忽略池塘岸边的宽度与浮桥的宽度. 假设EM=d，浮桥NM处于什么位置可使△ENM的面积最小？此时d的值是多少？

3. 提炼总结

（1）题型.

上述三个问题都是定点定角类问题. 其中，问题1呈现的是钝角定角α的正切，点P到两边的距离是确定的，这与原题没有太大差异；问题2从方位的角度呈现了锐角定角θ和定点P；题3的关系稍复杂，对学生的思维要求也比较高，将相关模型藏匿在矩形里，需要学生从相似三角形或勾股定理的角度出发，才能证明问题中的定角为直角.

上述三个问题总结为：根据已知的定角、定直线来求三角形周长或面积的最值.

（2）方法.

数学解题常蕴含一定的技巧与方法，尤其是同一类问题常常存在一定的通性通法. 上述所有问题，虽然图文有较大差异，但从本质上来看，都属于同一类问题，因此解题的思想方法自然类似.

解题思路为：①设定角的两条边长分别是x，y，应用等面积法可探寻出x，y的等量关系，然后结合基本不等式得到最值. ②建立直角坐标系解题，即假设第三条边的斜率是自变量，只要能得到三角形另外两个顶点的坐标，就能顺利获得目标函数解题. ③将前面两种解法结合在一起，即建立直角坐标系后，通过定角的两条边的直线方程引入变量，而后假设三角形另外两点的坐标，通过三点共线来探寻其中的等量关系，最后用基本不等式得到结论.

综上分析，后面的两种解法可以统称为建系法，归为同一类进行研究. 解决问题的方法罗列出来后，接下来就是解法择优的环节. 观察发现，大部分学生首选等面积法来求解，因为等式比较清晰，而且利用基本不等式计算相对简单，学生更容易获得结论. 选择建系法的学生相对少一些，但建系法的适用范围更广.

（3）总结.

面临一个没有直接给自变量而求最值的问题时，可从以下几个步骤着手分析：①明确目标函数；②根据题设条件与图形特征择取合适的自变量，刻画目标函数；③如果存在两个自变量，要探寻满足两个自变量的等量关系；④用最简单的方法求最值.

当题设条件明确点到直线的距离时，一般情况下从等面积的角度探寻等量关系；当目标函数或题设条件明确“和”“积”的关系时，一般情况下从基本不等式的角度探寻最值. 总体来说，解决这一类问题的原则就是先明确目标，然后想方设法接近目标，直至完成解题.

■ 几点思考

通过自主改编问题活动的开展，笔者发现，放权给学生，给他们充足的思考时间与空间，往往能带来意想不到的惊喜. 正如苏霍姆林斯基所言：给学生留下充足可自由支配的时间，是顺利完成教学的关键.

1. 教材是自主改编问题的依据

虽说近些年的高考试题越来越灵活，给学生带来了较大的挑战，但高考命题一直立足教材，这点是毋庸置疑的，不少试题都能在教材中找到它的“前身”. 因此，教学的首要步骤是引导学生吃透教材，只有在吃透教材的基础上进行拓展与延伸才是不偏离方向的研究.

布鲁纳提出：想要将现成的知识变成自己的知识，必须经历“发现”的过程. 不论高考试题的难度几何，万变不离其宗，都能在教材中找出它的身影. 教师带领学生进行复习拓展时，可从教材出发，引导学生学会利用教材内容进行编题，深化学生对知识的理解，培养学生良好的创新意识.

2. 自由发散是自主改编问题的基础

既然是让学生自主改编问题，教师就应充分尊重学生，让学生有自由发挥的余地. 从微观角度看，学生的思维方式各异，每一个学生的思维起点、思维发散点均不一样，他们对选题与编题的思路也各不相同，在这种背景下，学生挑选或改编出来的问题及题型有较大差别.

将这些思维、思路各异的问题集聚在一起，使改编问题的目标、条件、题型等的覆盖面更加广泛. 比如上述定角定长类问题，不少学生思考后将问题发散到了直线和圆相切的内容上，经过类似问题的归纳，学生的思维更上一个台阶，显然自主编题并解题的方式明显优于刷题或讲题.

3. 自主改编问题可提高解题能力

学生在自主改编问题的过程中，很多时候并不能一次成功，尤其改编一些比较复杂的问题时，需要思考的内容较多，既要考虑改编问题的科学性，又要使其符合严谨性. 因此，在改编问题的过程中经历思考、判断、归纳，不仅使学生学会了甄别问题的优劣，还帮助他们提升了分析问题与解决问题的能力.

将学生自主改编的问题罗列在一起，通过筛选、展示，让学生不由自主地思考：为什么老师会选择展示那几个问题，我改编的问题和展示的问题有什么本质上的区别？学生在反思中深入感知并体悟编题的关键与方向，为提高解题能力奠定基础.

4. “以生为本”是自主改编问题的关键

新课标明确强调学生在课堂中的主体性地位，自主改编问题的过程体现了“以生为本”的教育理念. 自主改编问题是学生自主思考、整理的过程，必然经过深思熟虑，所改编的每一个问题都蕴含着学生独特的见解. 教师放权给学生，让学生拥有足够的空间和时间去自主思考，探寻科学严谨问题的改编方法，挖掘解题的思想方法.

改编问题是学生展示想法的机会，也是学生升华所学理论的过程，通过对知识点、题型以及解题方法的琢磨与探索，可深化学生对一类或几类问题的理解程度，发展学生的解题能力与思维能力，培养学生的创新意识，提升学生的数学学科核心素养.

总之，在新课改的背景下，“题海战术”已经被时代摒弃. 想要有效发展学生的思维，提高学生的解题能力，可从自主改编问题的角度出发，通过各种手段激发学生的潜能，让学生自主改编新颖、高质量的问题.