恰当运用反例教学 提升数学教学质量

［摘  要］ 教学中合理运用反例不仅可以帮助学生巩固和深化基础知识，还可以帮助学生积累活动经验，提高学生的思辨能力. 研究者从反例的教学功能及构造方法两方面探讨其价值，以期有效提高教学质量和学习品质.

［关键词］ 反例；教学质量；学习品质

作者简介：曹文慧（1987—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学，海门区教坛新秀.

反例是高中数学教学的重要教学手段之一，在巩固和加深概念、定理的理解，发展学生的逆向思维等方面有着重要应用. 有时证明一个说法，若从正面进行可能需要较长时间，需要经历比较复杂的过程，此时不妨从反例出发，借助反例进行. 这样既可以让学生轻松地理解和接受，又可以给学生留下深刻的印象，有利于提升教学效益. 那么，反例具体有哪些教学功能？如何构造反例呢？笔者结合教学经验谈谈自己对反例教学的认识，若有不足，请指正.

■ 反例的教学功能

1. 加深概念的理解

高中数学概念众多，若教学中一味地采用正例帮助学生理解概念难免让学生感到枯燥乏味. 因此，在概念教学中，教师可以适当地引入反例，这样与正例相互呼应更能凸显概念的本质特征，提高学生学习的积极性.

例如，在教学集合的概念时，教师可以从正例出发，引导学生抽象出集合的三个基本特征——确定性、互异性、无序性. 为了加深学生对这三个基本特征的理解，教师可以引入反例让学生辨析，以促进学生深化概念. 比如可以设计这样的反例：①很小的小数可以组成集合吗？②0，2，，lg1是否可以组成集合？学生通过辨析交流，发现前者不满足集合的确定性，后者不满足集合的互异性，所以都不能组成集合. 另外，为了使学生理解集合的无序性，在提出正例｛1，2｝=｛2，1｝的基础上，教师让学生思考｛（1，2）｝=｛（2，1）｝是否成立. 这样借助反例不仅可以提高学生参与课堂的积极性，还能克服知识的负迁移，而且通过辨析能够加深学生对概念基本特征的理解，其效果远远优于单一的正例讲授.

因此，在实际教学中，教师应从教学实际出发，引导学生从不同角度审视概念，这样才能充分揭示概念的内涵和外延，帮助学生全面深刻地理解概念.

2. 消除对公式、定理等内容的错误认识

在公式、定理、法则等内容的学习过程中，因受定式思维、认知水平等的限制，学生对相关内容可能是一知半解的，进而出现一些“想当然”的结论. 为了改变这一局面，教师可以引入一些反例，以此引发学生认知冲突，让学生深刻领悟公式、定理、法则等内容的本质，帮助学生消除错误认知，促进知识深化.

例如，在教学韦达定理时，为了便于计算，部分教师有时会运用特例开展教学活动，于是学生就有了这样的错误认知：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项. 可见学生忽视了二次项系数为1这一限定条件. 在教学中，为了让学生能够认识自己的错误，教师不妨顺势而为，给出反例，让学生先求3x2－x－4=0的根，然后代入验证. 通过验证，学生容易发现之前的理解存在问题，此时教师再进行有效引导，自然可以达到事半功倍的效果.

其实，在日常学习中经常会出现因忽视公式、定理、法则的应用条件而引发错误的情况，教师可以从学生的错误出发，巧妙地应用反例进行修正，以此优化学生的认知结构，提高教学有效性.

3. 预防解题错误的发生

数学知识间是有密切关系的，因此教师常常引导学生用类比的方式理解知识. 不过因受知识水平、定式思维等的影响，在类比迁移的过程中可能出现负迁移引发的错误. 为了避免或减少此类情况的发生，教师可以根据教学经验设计一些具有说服力的反例，以此帮助学生形成正确的认知，提高学生的解题正确率.

例如，在学习台体时，学生容易将梯形知识迁移至台体中，从而得到“台体中截面的面积等于台体上、下底面面积和的一半”. 为了预防这一错误认知的发生，教师可以给出这样一个实例：“圆台上、下底面的半径分别为1 cm，2 cm，请分别求出该圆台上底面、中截面、下底面的面积.” 学生得到答案后，教师让学生思考台体中截面的面积是否为台体上、下底面面积和的一半. 这样亲历辩证过程，可以有效避免负迁移的发生，此时教师再给出三者（台体上底面、中截面、下底面）的关系自然可以给学生留下深刻的印象.

其实，负迁移是普遍存在的，它是宝贵的教学资源，若教学中能够合理地呈现出来，则可以帮助学生形成正确认知. 在教学中，教师要充分挖掘可能出现的负迁移，通过有效的启发和引导，帮助学生消除错误认知，提高课堂学习效率.

4. 培养学生的数学思维能力

培养学生的数学思维能力是数学教学的重要任务之一. 在教学中，合理应用反例可以提高学生分析和解决问题的能力，培养思维能力的严谨性和深刻性.

例如，学生有时容易因忽视分类讨论而引发错误，教师可以将学生易错的问题改编成反例，通过对反例的探究修正错误，培养学生思维的缜密性. 如教学等比数列求和公式后，教师给出了这样一个问题：“求sinα+sin2α+sin3α+…sinnα的和.”从学生的解题反馈来看，大多数学生直接套用等比数列求和公式求解，显然忽视了sinα=0和sinα=1的情况. 此时教师启发，不仅可以帮助学生修正错误，而且促使学生重视等比数列分类条件，有利于提高学生思维的缜密性.

在教学中，为了让学生更好地理解知识、应用知识，教师可以根据教学实际预设“陷阱”，充分暴露学生在运用知识中经常出现的错误，通过多角度分析和全方位探究帮助学生形成正确认知，提高学生分析问题的能力，发展学生的数学思维能力.

■ 构造反例的方法

应用反例教学可谓是好处多多，因此反例的构造尤为重要. 对于如何构造，笔者浅谈几点拙见.

1. 巧用“叠加”构造反例

许多数学元素“叠加”依然可以获得同一元素，如两个多项式相加，其和依然是多项式；两个偶函数相加，新函数依然为偶函数. 但是在许多情况下，不能获得同一元素. 在教学中，教师可以巧用“叠加”构造反例，让学生通过探索反例来克服学习中的“想当然”.

如学生通过“叠加”得到了这样一个结论：两个无理数相加，其和一定是无理数. 此时教师可以给出反例：“若m=2+，n=2－，则m+n=？”这样借助反例，轻松验证以上结论并不成立.

2. 巧用“分类讨论”构造反例

分类讨论是重要的数学思想方法，学生解题常因忽视分类或分类不全而引发错误. 教师可以从教学实际出发，抓住分类条件，在关键点设计反例，借助反例促进学生理解知识.

3. 巧用“特殊”引出反例

为了发现数学规律，得到数学结论，教师往往引导学生从特殊问题入手，通过特殊问题的抽象，发现一般规律，获得正确的解题途径. 特殊与一般既相互对立，又相互联系. 教学中要充分利用好“对立”与“联系”的关系，借助“对立”让学生知道特殊中的一些关系和结论在一般情况下并不成立，引导学生用“特殊”否定“一般”；借助“联系”让学生发现特殊中的一般规律，形成一般结论. 教学中可以利用“特殊关系”设计反例，由此引发学生深度思考.

例如，判断“若原函数与其反函数的图象有交点，则其交点必在直线y=x上”这一命题是否成立，从正面出发直接证明比较烦琐，而从特殊出发，举出一个反例就可以使问题迎刃而解——通过反例可以轻松证明，两函数的交点还可以在直线y=－x上，所以该命题是假命题. 特殊法在解题中有着重要的应用，不仅可以提高学生的分析能力，还可以发展学生的逆向思维能力.

反例无论在知识体系的建构上，还是在解题能力的提升上都有着重要作用. 在教学中，教师要从教学实际出发，在一些障碍点、错误处引入反例，以此促进知识深化，提高教学质量和学习品质.