指向数学本质的中学数学概念教学模式建构
作者： 张旭晖 易桂生 张冬梅
［摘 要］新课标强调概念教学应启发学生思考，引导学生把握内容本质。秉承“揭示数学本质，追溯教学本源”的理念，构建以“感知—想象—概括—固化—应用—结构”为认知过程的中学数学概念教学模式，并以“方差、标准差”数学概念为例，剖析依照该教学模式的设计思想，帮助学生更加深入地理解数学概念的本质属性和逻辑联系。
［关键词］中学数学概念；认知过程；教学模式；数学本质
［中图分类号］G633.6 ［文献标识码］A ［文章编号］1005-4634（2024）06-0067-10
《普通高中数学课程标准（2017年版2020修订版）》指出：“聚焦数学的核心概念和通性通法，聚焦它们所承载的数学学科核心素养。”［1］数学概念作为反映数学研究对象的本质属性和特征的思维形式，有助于提高学生的数学抽象核心素养，在中学教学中始终处于十分重要的地位。
发展核心素养具有时代性，随着信息技术的快速发展，以计算机科学和互联网为核心的现代教育技术受到教育界的普遍关注。技术的进步促使针对数学概念的教学逐渐由单一的教师讲授转变为多元化的学习模式，但目前针对信息技术与数学概念教学的融合仍浮于表面，缺乏深度融合，也缺乏让学生自主建构的过程。数字化转型时代背景下，什么样的教学模式能够提高数学概念教学的效果并有助于概念本质？一种在信息技术支持下的关注人的认知过程的教学模式应运而生。
1 现有数学概念教学的误区
李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”［2］以数学概念为核心、以过程为导向的数学教学，要求教师在教学中详尽地阐述概念的来龙去脉，发展学生的认识，帮助学生达到对数学概念的透彻理解。邵光华和章建跃指出：“存在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征，过于强调情景化、生活化、活动化的倾向。”［3］章建跃、陶维林也指出：“概念教学走过场，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍。”［4］可以发现，当前概念教学忽视学生的认知发展过程，忽视学生学习概念、理解概念需要时间的问题，没有给予学生充分概括概念本质特征的机会，造成学生对概念理解不透、理不清解题思路，进而影响教学成效。
1.1 学生已有认知的忽视
史宁中教授指出，人具有两个先天本能：对数量多少的感知和对距离远近的感知，这促使学生对数学存在一定的已有认知［5］。学生不是空着脑袋走进教室的，在进入数学课堂前已在头脑中形成了“数学概念”，对数学问题存有自己的看法。但由于形成的“数学概念”并非完善准确，存在模糊性、多含义性，容易导致学生对所学数学概念的错误理解。对于数学概念的处理，传统教学往往会忽视学生的已有认知，认为学生只要学了新知识就会替代原先的旧知识，这违背了学生的认知发展规律。
例如，在学习《直线、射线、线段》之前，学生在日常生活中已对“线”存有浅显的概念，往往将直线错以为是“一根拉直的直线”。直线应当是能够向两端无限延伸的线，一根拉直的线存在两个端点，应归属于线段。教师如果不及时纠正学生存在的已有认知，则会影响后续的学习中对线段和直线概念的辨析。
1.2 数学概念本质的误解
数学概念的本质属性是指一个特定数学对象在一定的范围内保持不变的性质， 而可变的性质则称为“非本质属性”［6］。现代心理学研究表明：数学概念的心理表征在大多数情况下并非由相应的形式定义，而是一种由多种成分组成的复合物——概念意象（Concept Image）来定义［7］20。数学概念的意象并非等同于数学概念的定义，相较于数学概念的定义的准确性、科学性，概念意象存在变化性、主观性，因此学生如果无法对概念意象产生准确清晰的认识，不能透过概念意象深入了解概念定义的本质，而将概念意象作为概念定义，就会为概念添加一些并非概念本质的含义：（1）用个别特征代替整个概念；（2）进行简单的机械记忆，并不理解表达的含义；（3）混淆概念。
1.3 感性上升理性抽象层面的忽视
数学概念的学习是典型的数学抽象过程，对学生来说，数学抽象素养的达成不是一蹴而就的，是在学习活动中逐步发展的。张宗余和冯斌指出：落实数学抽象素养需经历从具体到抽象、从抽象到概括化、从量表到质变的过程，即在教学过程中需要引导学生从直观感知出发，经历感性经验上升到理性抽象的过程［8］。目前，概念教学中依然存在注重进度和“应试”需要的以告知为主的模式，在学生并未理解概念的情况下，进行解题训练，忽略学生的直观感知、忽略概念的建立过程。
2 指向数学本质的概念教学模式建构
2.1 核心概念界定
2.1.1 数学概念
数学概念是人们从过去的经验或认识中抽象出能反映现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。
学者们对数学概念有着不同的看法。章建跃认为，概念是心理学、哲学、逻辑学等许多学科的研究对象，数学概念是对现实世界蕴含的关系的简明概括，是具体性与抽象性的辩证统一，具有强大的系统性［9］。罗新兵和罗增儒提出，数学概念应当是反映事物本质属性、关系、特征的思维形式，其内涵反映了数学对象的本质，其外延则是数学概念对象的总和［10］。徐文彬认为数学概念具有内涵和外延，可以从逻辑、数学史、教育心理学、数学心理学等几个层面出发思考数学概念教学的作用［11］。本研究认为，数学概念是从中学数学教学内容出发，基于过去的经验和认识，通过类比、归纳总结形成的知识，是对现实世界的高度抽象，是现实世界蕴含的数学关系的本质反映。
2.1.2 教学模式
教学模式是在一种思想或理论基础上建立起来的较为稳定的教学活动框架或程序，最早由美国学者乔伊斯和韦尔提出。他们认为：教学模式是构成课程和作业、选择教材、提示教师活动的一种范例或计划。
曹一鸣认为教学模式是对教学经验的概括和系统整理、是教学方法的升华、是理论与实践的中介［12］。李佩武和李子鹤提出，模式是事物或行为活动的范本，教学模式则是基于教学活动，在思想和理论的指导下，围绕教学目标形成的一种相对稳定的范式［13］。张锐强调，教学模式属于方法和策略的范畴，但不与其相等，是指向教学结构的，可以对时间起直接的指导作用，又可以丰富理论的发展［14］。随着科学技术的发展和人类认知水平的提高，教学模式更新迭代，诞生了如翻转课堂、“互联网+教育”“线上线下”混合式等顺应时代发展的模式。本研究中的教学模式主要是指在数学教育理论指引下，结合当下需求，为改进数学课堂教学而提出的适用于概念课教学的模式。
2.1.3 数学本质
数学本质是数学逻辑性、创造性、思想性的体现。张奠宙曾多次反对“去数学化”，强调“数学本质”，指出数学本质要注重知识的内在联系、规律的形成过程、思想方法的提炼、理性精神的体验等诸多方面［15］。程明喜等人对数学本质展开研究，指出数学本质需强调对教材内容的定位与挖掘、单元数学知识的结构与关系、核心素养培养的通融与侧重、教学活动的问题与探究、聚焦数学知识的理解与迁移［16］。本研究中的数学本质着重强调数学知识中的经验性元素，力求从实际生活中提炼和抽象出数学概念和原理，结合信息技术软件，深入把握所蕴含的特征和性质，探寻知识内在的联系。
2.2 模式构建的依据
为帮助学生更好地理解数学概念，本研究遵循人的认知过程，在信息技术的支撑下提出并建构了适合学生发展的数学概念教学模式，主要围绕以下问题展开：（1）学生的认知过程会经历哪些阶段？（2）如何使学生的已有认知外显？（3）如何帮助学生把感性经验抽象为理性思维，发展抽象素养？（4）如何帮助学生深入认识数学概念的本质？（5）如何帮助学生将新概念纳入已有认知结构？
针对上述问题，构建了图1所示的数学概念教学模式，该模式包括“感知—想象—概括—固化—应用—结构”6个环节，特别关注教师、学生双主体行为，充分落实了“揭示数学本质，追溯教学本源”的教育理念。
2.3 概念教学模式
2.3.1 感知环节
数学的学习需使学生经历数学化的过程［17］，如图2所示，感知活动以情境的方式引导学生站在数学的角度看世界。教师可以将数学家们在理解数学对象演变时所遇的障碍与学生熟悉的日常生活相结合，在新旧知识连接点、交错点处设置认知冲突或再现概念背景。教师需要为学生提供恰当的问题情境，引导学生经历感性认识，积累足够量的感性经验，为学生提供直观体验的思考和环境，在背景与定义之间架起桥梁。为丰富学生的观察方式，也可以考虑通过利用PPT、Geogebra制作相应的视频或动画，展现情境变化。如在函数单调性教学中，可通过视频或动画等方式展示气温的上升与下降，使学生通过气温的变化，感受到函数的递增和递减。
2.3.2 想象环节
数学知识发生和发展实际上是数学家或数学教育家的思维成果［18］，教师需要将学生思维与教师思维、数学家思维进行相互碰撞。如图3所示，教师需要引导学生从数学的角度出发，明确问题所在、矛盾所在、共性所在，得到感性经验中蕴含的规律或知识之间的联系，合情合理地发现一个新概念。如在数列的教学中，在通过列举不同的实例帮助学生积累了感性经验后，使他们进一步发现实例的共同特征：它们都是按照确定的顺序排列的。
信息技术的融入有利于直观展现抽象思维的发展，凸显抽象的价值。想象是在感知的基础上迈向抽象的第一步［19］，可以通过借助信息技术，以动态表现形式，展现感性知识的相互关联性，展现生动的归纳过程，帮助学生拥有更多观察和归纳的机会，形成猜想。仍以数列的教学为例，可用动画将每一列数的变化过程演绎出来，如某位学生身高这一列数随着年龄发生的变化，不仅体现了这列数的出现是有先后顺序的，也反映了数列中的每一项与它的序号之间的对应关系。
2.3.3 概括环节
如图4所示，教师需根据学生的探索反馈，进行必要的去芜存菁，将学生经历的感性认识上升到抽象概括阶段，归纳出概念的本质特征，形成最终要学习的新概念。
概括活动往往是学生从感性上升到理性、从低层次思维上升到高层次思维的关键环节。教师可以根据概念的特点，借助信息技术将课本上枯燥的画面变为栩栩如生的动画，将概念用形象的图式展现出来，使学生加深对概念本质的理解。如针对函数单调性的学习，将繁杂的文字语言转变成图像与符号语言这样的过程是数学简洁性的体现，也是其符号化的展现，更是单调性本质的再现。
2.3.4 固化环节
学生学习新的概念后，需要真正理解而不是单纯地、机械地记忆概念的形式和定义。如图5所示，在固化环节教师需要进行暂时的“停留”，带领学生对概念进行正反剖析，思考概念为何如此定义、概念的语句有什么特点和含义、概念定义的范围或条件等，通过对概念进行不同角度的审视，揭示概念的内涵和外延，以感受概念的丰富性。如函数可以通过图象、表格、解析式等方式表达，数列的概念可以从辨析入手，思考呈现的例子符不符合数列的要求，以加深学生对概念的本质的认识。