从计数单位到“由算生数”，感悟数的运算的一致性

摘 要：“感悟数的运算的一致性”，是《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数的运算”教学提出的新要求。数的运算的一致性主要体现为“整数、小数、分数的四则运算本质上都是计算单位的分解与组合”，还体现在从运算关系的角度看数系扩充（“由算生数”）的过程上。为帮助学生感悟数的运算的一致性，在“数的运算”各个单元的教学中，需要凸显计数单位的统整作用；在“数的运算”总复习教学中，需要梳理“由算生数”的过程。

关键词：小学数学；课标修订；数的运算；计数单位；数系扩充

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）修订，小学阶段“数与代数”领域“数与运算”主题的变化集中体现在：增加“计数单位”的概念，实现“数的概念（本质上）的一致性”和“数的运算（本质上）的一致性”。［1］

数的运算的一致性以数概念的一致性为基础。在“数的运算”内容的教学中，如何理解数的运算的一致性？如何帮助学生感悟数的运算的一致性？本文谈一谈笔者的思考与实践。

一、如何理解数的运算的一致性

（一）由数的意义理解数的运算的一致性

数的运算最终要追溯到数的意义，数的意义本质上均与计数单位有关，都是计数单位的累加，即“几个计数单位”。新课标中强调算理，就是强调基于数位分解（数的计数单位累加本质），利用运算律进行数的运算（横式运算）。［2］因此，数的运算的一致性主要体现为：整数、小数、分数的四则运算本质上都是计数单位的分解与组合。具体来说，加减法运算的一致性体现为：相同计数单位的个数相加减，计数单位不变。进一步看，整数加减计算是先把每一个数按照计数单位进行分解，再把相同计数单位的个数相加减。

分数加减计算是先统一分数单位再相加减：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先化成同分母分数，再相加减。

而小数加减法计算既可以基于整数的算法，也可以基于分数的算法——因为小数实质上是分数，但采用了整数的记数法。乘除法运算的一致性体现为：计数单位与计数单位相乘除得到新的计数单位，计数单位的个数与计数单位的个数相乘除得到新的个数。需要注意的是，整数及小数除法运算中，除数只能表示为一个计数单位的累加，不能表示为多个计数单位的累加，因为没有合适的运算律可用。

（二）由运算意义理解数的运算的一致性

乘数的运算的一致性还体现在运算的意义及其关系上。加法是所有运算的基础。加法的实际意义非常自然，就是“合并”——小学教学，不需要考虑皮亚诺公理体系中从自然数和加法开始的数和运算的形式化定义。因此，加法可以利用对应的方法解释。例如，对于3+1，可以摆小方块：先摆3个，再摆1个，合在一起是4个，所以3+1=4。减法是加法的逆运算。

例如，3-1=2是由2+1=3产生的。进而，为使数系对减法封闭，引入负数；为把减法转化为加法，引入相反数概念。乘法是加法的简便运算。例如，整数乘整数4×3可以理解为4+4+4。再如，整数乘分数b×1/a可以理解为b个1a相加。其实，基于分数的意义，分数乘分数的实际意义也不难理解。除法既是减法的简便运算，也是乘法的逆运算。它有两种现实模型：包含除和等分除。以一道包含除问题为例：“10支铅笔，每人分2支，可以分给几个人？”通常有两种计算方法。一是同数连减：每分一人，减少2支，5次分完。列成减法算式是10-2-2-2-2-2=0。对此，可利用（引入）除法算式简便表示：10÷2=5。二是由乘引除：由“人数×每人分得的支数=总数”，得算式（5）×2=10，括号里的5即为要求的人数。通常情况下，列成算式要把已知数放在等号左边，未知数放在等号右边。因此，需引入（利用）除法算式表示：10÷2=5。进而，为使数系对除法封闭，引入分数；为把除法转化为乘法，引入倒数概念。实际上，数系的扩充虽然满足了运算的封闭性，

但也使运算的实际意义变得不太明显。这时，运算律的一致性在算法探索中发挥重要的作用。［3］这样，运算的意义就打通了四则运算之间的关系，而衍生出的运算律也进一步促进了不同数的运算的一致性。进一步，从运算关系的角度看数系扩充（“由算生数”）的过程，也建立了“数+运算”的整体结构（这也是新课标将“数的认识”“数的运算”两个主题整合成“数与运算”一个主题的重要原因），并体现了数的运算的一致性（比如，分数是数系扩充来的数，分数乘除法可以看成两个整数除法算式相乘除）。

二、如何帮助学生感悟数的运算的一致性

（一）在“数的运算”各个单元的教学中，凸显计数单位的统整作用

数的运算一致性的表达主要依赖“计数单位”这个核心概念。因此，在“数的运算”各个单元的教学中，都要凸显计数单位的统整作用。这样，在最后的复习教学中，便可通过简单回顾帮助学生充分感悟数的运算的一致性。以苏教版小学数学教材为例，教学“数的运算”各个单元（除了一年级上册的《10以内的加法和减法》单元和二年级上册的《表内乘法》《表内除法》单元，因为其中的运算不涉及“一”这个最基本的计数单位以外的计数单位）时，都应该设计一些凸显计数单位统整作用的教学活动。具体如下页表1所示。

（二）在“数的运算”总复习教学中，梳理“由算生数”的过程

数的运算一致性的表达还需借助运算之间的关系以及“由算生数”的过程。数系的扩充最初源于现实的需要，但是最终成为运算封闭性的需要——准确地说，是逆运算封闭性的需要。小学数学将数系扩充到了负数和分数，但是，不研究负数的运算，只研究分数的运算。所以，基于数的运算一致性的视角，在四则运算的教学中，要重点关注除法和乘法之间的关系以及除法与分数之间的关系，进而，要特别关注分数的除法（这个从计数单位引发的一致性来看最不“和谐”的运算），引导学生基于“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”将分数的除法转化为乘法计算，并勾连“整数除法的试商实际上也是将除法转化为乘法的过程”建立一致性。

在此基础上，更为重要的是，在“数的运算”总复习教学中，帮助学生完整梳理所学运算之间的关系以及“由算生数”的过程。这是小学数学教材中一条较为隐蔽的线索，需要教师挖掘，可以为初中进一步学习有理数和实数的更多运算（如乘方、开方）做好铺垫［4］。具体来说，可以从简单的加法算式（如9+3=12）开始，引导学生联想减法算式（如12-3=9，12-9=3），体会减法是加法的逆运算；进而把加法算式改写为同数相加的情况（如3+3+3+3=12），启发学生联想乘法和除法算式（如3×4=12，12÷4=3，12÷3=4），体会乘法是加法的简便运算，除法是乘法的逆运算。由此，可以引导学生回顾当初学习有关算式时的情景，通过交流，从整体上理解加、减、乘、除的意义及关系。接着，便可从运算关系的角度引导学生初步体会“由算生数”的过程：如果数学中只讨论加法和乘法，那么，自然数就够了，但是，如果要讨论减法呢？显然，负数的产生立即成为必要，即负数的产生也是为了解决“不够减”的实际问题。同样地，如果要讨论除法，也非常有必要引入新的数。两个整数相除，有时不能得到整数商；在结果唯一的前提下，为了保证除法运算通行无阻，分数便应运而生。由此，学生不难理解：在数系从自然数扩充到有理数的过程中，“实践需要”所起的推动作用显得更小， 而更多的是数学运算的需要。

参考文献：

［1］ 史宁中.数学课程标准修订与核心素养［J］.教育研究与评论，2022（5）：2627.

［2］ 吕世虎，颜飞.新课标“数与代数”内容分析：从结构到要求［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（11）：11.

［3］ 吴增生.“有理数”单元教学研究：在教育神经科学视野下［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（4）：51.

［4］ 汪莹.“数的认识”小初衔接教学探索［J］.教育研究与评论，2023（8）：31.