“图形与几何”领域教学中的数学工具
作者： 王永梅
摘 要：在小学数学学习中，“图形与几何”领域在培养学生的几何直观、空间观念和量感等方面都具有不可替代的作用。但由于这一领域知识的高度抽象性和小学生形象化思维占据主导地位的特点，学生的学习颇具挑战性，空间观念的形成也存在一定的困难。借助数学工具，如化抽象为具象的操作性工具、让思维可视化的图示化工具、拓展空间想象的信息化工具，能够有效地促进学生科学地建构空间观念。
关键词： 小学数学；图形与几何；数学工具
“图形与几何”领域在培养学生的几何直观、空间观念和量感等方面都具有不可替代的作用。但由于这一领域知识的高度抽象性和小学生形象化思维占据主导地位的特点，学生的学习颇具挑战性，空间观念的形成也存在一定的困难。笔者在教学实践中发现，借助数学工具，如化抽象为具象的操作性工具、让思维可视化的图示化工具、拓展空间想象的信息化工具，能够有效地促进学生科学地建构空间观念。
一、操作性工具：化抽象为具象
操作性工具，主要包括生活中的实物、米尺、计数器、钉子板、量角器等。合理使用操作性工具，在操作验证的具身体验中进行观察、思考，有助于学生从显性知识的表象入手，准确把握图形的特征。操作性工具可由教师提供，也可以由学生自制。
（一）教师提供操作性工具
比如，教学苏教版小学数学三年级上册《平移和旋转》一课，可以让学生观察教材中一组静态的物体运动图片，发现并描述图片中物体运动方式的相同和不同之处。由于静态图片难以呈现运动的过程，学生调动以往的生活经验后，也只能描述出单个物体的运动状态。有的说“火车车厢向前运动、电梯和国旗向上运动”，有的说“电风扇、螺旋桨和钟面指针都是转动的”，学生难以发现其不同物体运动的本质特征。鉴于此，笔者在课前给每个小组准备了手持电风扇、风车、空竹、升国旗模型、动车模型、电动传输带模型等操作性工具（如图1所示），让学生先在小组里进行实践操作，观察这些物体的运动，然后根据这些物体的运动方式进行分类。
操作性工具的演示，符合学生形象思维的特点，学生在“玩一玩”“比一比”活动中，思维聚焦于寻找物体运动的本质特征，发现手持电风扇、风车、空竹这三个物体都是绕着一个点在做运动，而升国旗模型、动车模型、电动传输带模型这三个物体虽然运动方向不同，但都是沿着直线在做运动。有了这样的具身体验，学生对平移和旋转的特点感受深刻。
（二）学生自制操作性工具
比如，教学苏教版小学数学二年级下册《时、分、秒》一课，可以课前布置学生自己制作一个钟面。学生依据已有的生活经验，制作的钟面不一定是完美的，可能数字和间隔数不对，也可能缺少时针或者分针。而随着课堂上学习的不断深入，学生经历观察和实践操作的过程，认识了钟面、时针和分针（知道钟面上有1-12的数字，有12个间隔数；时针较短，走一大格是1小时；分针较长，走一大格是5分钟），就会逐渐发现自制工具的不足之处，并主动去完善、修正，进而认识到在每一大格里再平均分成5小格（如图2所示），更便于读出精准的时间。学生在制作钟面的过程中充分感知钟面的组成元素，对分针和时针的认知更进一步。然后，让学生用自己制作的钟面参与“我说你拨”“我拨你猜”的活动。此时，学生有了深刻的具身体验，能够快速又正确地读出或拨出时间，钟面的几何直观悄然建立。
二、图示化工具：让思维可视化
图示化工具，主要包括公式、表格、思维导图等。借助图示化工具，用数学语言和数学符号描述数学思考的过程，清晰呈现自己的思路，让“图形与几何”领域学习中隐性的思维显性化。
（一）学习提示卡
比如，教学苏教版小学数学五年级上册《梯形的面积》一课时，笔者设计了下页图3所示的学习提示卡，提示学生把不同的推导过程记录在表格中：一方面，呈现学生的推导方法，方便同伴之间的交流；另一方面，比较发现不同思路的异同点，厘清不同思路之间的关系，找准共性，凸显数学本质。
学生研究出不同方法（详见下页表1），在比较中引发猜想：如果是等腰梯形、直角梯形，是否也适合用这个公式呢？然后，学生再次经历想象的过程，进行合情推理，再次借助学习提示卡验证结论。
利用学习提示卡，学生自然地用合适的数学语言或符号把操作实践、合理想象的过程描述出来，思维方式和解决问题的层次结构得以外显。
（二）单元思维图
比如，教学苏教版小学数学五年级上册《多边形的面积》单元后，笔者引导学生做一个单元的思维导图。学生一开始只是简单地罗列公式，后来注意到各个平面图形面积之间的联系，不断调整图形的位置，还加上了箭头指示（如下页图4）。在有意义的图像和符号表达中，学生进一步回忆、再现、内化探究和思维的过程，体验不同图形面积之间的内在联系和本质区别，完成知识的结构化梳理。
三、信息化工具：拓展空间想象
信息化教学工具，主要包括实物投影、希沃白板、微视频、几何画板等现代化教学设备。借助信息化工具，可以突破传统教学的时空限制，丰富学习资源，为学生插上想象的翅膀。
比如，圆的面积公式推导的教学，通常的做法是：引导学生把圆的面积转化成长方形进行探究，通过动画演示让学生明白圆周长的一半等于长方形的长，圆的半径是长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，从而推导出圆的面积公式。这样的演示过程，学生停留在看的层面，对圆和长方形之间的联系并不是很清楚，思维也受限于这一种方法。这时可以借助希沃白板，对圆进行等分切割后，让学生自由组拼，自主探索圆的面积公式。学生的空间想象有了支撑，呈现出不同的推导方法（有的拼成长方形，有的拼成三角形，有的拼成梯形，分别如下页图5—图7）。交流分享之后，教师引导学生观察比较，使思维再次聚焦到圆和不同的平面图形之间的关系，进而认识到，虽然组拼成的图形不同，但是都得到了同样的面积公式。
又如，教学苏教版小学数学五年级下册《圆的周长》一课后，教师首先让学生运用所学知识解决生活中的实际问题：“校园里圆形花坛和圆形水池的周长怎样测量？”然后追问：“地球的周长又可以怎样测量呢？”学生面面相觑，不知如何入手。这时，教师引导学生展开想象，然后播放微视频，介绍现代科学家测量地球周长的方法：通过分析来自多颗卫星的信号，确定接收器的位置以及距地球参考椭球体的高度，然后使用该信息计算得出地球赤道半径为a=6378.1370千米，极半径为b=6356.7523千米，平均半径就为（2a+b）/3=6371.0088千米。
最后，教师再次播放微视频，介绍2000多年前古人测量地球周长的方法：“古希腊的埃拉托色尼发现，在夏至这一天，只要跟地面垂直的物体，都看不到一丁点阴影。于是，他就在夏至这一天，在位于亚历山大港和它正南方的赛印城，各树立一根垂直于地面的木棍，通过两地木棍的影子，测量出亚历山大港与赛印城的地形交汇角是7.2°，算出两地的距离正好是地球周长的1/50 ，从而算出地球的周长约等于40000千米。”这与现在科学家精准测量出的数据相差不了多少。信息化工具的使用拓展了学生的空间想象，学生也从中感受到解决问题方法的多样与巧妙。
综上，在“图形与几何”领域的教学中运用数学工具，可以为学生的学习提供强有力的支持，有助于学生增强数学学习的具身体验，克服时间和空间的限制，有效建立空间观念，提升学习成效。
本文系江苏省南京市教学研究第十四期课题“支持小学生深度思维的‘数学工具箱’开发研究”（编号：2021NJJK14L08）的阶段性研究成果。