结构化：让分数概念整体建构
作者： 刘留 陆卫英
摘 要：廓清分数概念的发展脉络，分析知识的内在联系，聚焦核心内容“一个整体的几分之一”开展结构化教学，帮助学生联结零散的知识碎片，实现分数概念的整体建构。首先，设计结构化问题，解构分数概念的要点。在此基础上，组织结构化活动，如多元化协商活动、层次化练习活动，建构分数概念图式。
关键词：小学数学；结构化；分数概念；《认识一个整体的几分之一》
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出：在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。［1］因此，我们应以课堂教学的结构化推动学生知识理解的结构化，实现彼此双向成长。为了达成分数概念教学的结构化，我们主张，应廓清分数概念的发展脉络，引导学生理解内容之间的内在联系，同时聚焦核心内容“一个整体的几分之一”结构化地开展教学，帮助学生联结零散的知识碎片，最终实现分数概念的整体建构。
一、设计结构化问题，解构分数概念要点
（一）结构化问题是课堂教学结构化的集中体现
结构化问题的显著特征是恰到好处地创造学生直面问题挑战的关键事件，从而衍生出个人的真实见解。因此，结构化问题设计的先决条件是立足整体，以学生已有的知识经验为基础，架构已学和未学知识之间的桥梁。
关于“分数”概念，学生已经认识了把一个物体平均分成几份，每份就是这个物体的几分之一，几份就是这个物体的几分之几，还学会了简单的分数大小比较。把一个整体平均分是分数概念学习的“承重墙”，其既是对一个物体平均分的拓展延伸，又为后续进一步学习将一个物体、图形和整体可以统称为单位“1”，理解分数的基本性质起铺垫作用。对此，我们前置本节课的教学重点“把由几个物体组成的整体平均分”，设计了问题。问题从学生熟悉的教学素材（如图1）入手，先引导学生回忆把一个蛋糕平均分成2份，每份是这个蛋糕的1/2；再把4个苹果平均分成2份，每人分得2个苹果；进而，提问“每人是否分得这些苹果的1/2呢？”
教师对学生给出的答案既不急于否定，也不盲目认可，而是鼓励他们在学习过程中主动寻找答案，不断获得新见解、新成长。当问题与学生的原有认知有了冲突，学习新的分数知识便成为一种真实需求。紧接着，教师引导学生先后对“一个整体”和“整体的几分之一”开展研究，将一盘桃平均分成2份、3份、4份……学生发现这盘桃是一个整体，平均分成了几份，每份就是它的几分之一。此时，再次面对原先的问题“每人是否分得这些苹果的1/2呢”，学生显得游刃有余。与此同时，教师通过板书和课件，高度凝练结构化问题的脉络（如图2所示），便于学生理解分数知识的内在关联，整体理解分数的概念，形成有章可循的体系，同时掌握数学学习的方法，沉淀核心素养。
（二）结构化问题是学生认知过程结构化的重要支架
结构化问题的核心价值在于引发持续思考，开展深度对话，帮助学生经历概念建构的过程，进而实现对概念的关键性理解。
教师出示情境图（如下页图3），并提问：把一盘桃平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几？这盘桃被“盖”住了，不知道具体数量。学生猜测这盘桃可能是4个、5个，还可能是20个……从而引发学生的进一步思考，直至产生真实的感受“这盘桃的具体个数似乎并不重要，而关键在于一盘桃这个整体”。
紧接着，教师在课件中呈现这盘桃有6个的情况，让学生分一分、涂一涂和说一说，发现每只小猴分得这盘桃的1/2。教师鼓励学生用这样的方法继续研究这盘桃有3个、4个和8个的情况，发现每只小猴仍是分得这盘桃的1/2，之前的个人感受变得更加坚定。于是，教师顺势提问：“这盘桃有3个时，每只小猴分得1个半；有4个时，每只小猴分得2个；有6个时，每只小猴分得3个；有8个时，每只小猴分得4个。每次分得的桃子数量不一样，为什么都能用1/2表示呢？”学生脱口而出：因为把这盘桃看作了“一个整体”。
教师追问：这盘桃还能平均分成几份，每份是这盘桃的几分之一呢？从一盘桃的1/2，到一盘桃的1/3，到一盘桃的1/n，不断逼近问题的本质。从把一个物体平均分成若干份、用分数表示这样的一份，到把几个物体组成的整体平均分成若干份、用分数表示这样的一份，再到一个物体、图形和整体可以统称为什么，这样的分数又有怎样的性质。通过结构化的问题引导每个学生学会整体地思考并解决问题，建立能体现数学学科本质、对其未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。
二、组织结构化活动，建构分数概念图式
（一）多元化协商活动，建构整体的几分之一
1.化抽象为直观，感悟“一个整体”的意义
师 除了6个桃，你还看到了什么？用手比画一下。
生 （一边说，一边用手比画）
我还看到一个红色的圆圈。
师 这个圆圈把6个桃“圈”在了一起，表示一盘桃。每只小猴分得这盘桃的几分之一呢？谁能来分一分、涂一涂。
生 把这一盘桃平均分成2份，每只小猴分得这盘桃的1/2。
（学生上台在黑板上板演，用虚线分一分，用阴影涂一涂，如图4所示。）
师 你也能像这样继续分一分吗？
（学生操作，教师收集并呈现学生资源。）
生 （展示方法，如图5所示）
我将第1盘桃平均分成2份，每只小猴分到1个半桃子，每份是这盘桃的1/2；将第2盘桃平均分成2份，每只小猴分到2个桃子，每份也是这盘桃的1/2；将第3盘桃平均分成2份，每份还是这盘桃的1/2。
师 听明白他的意思了吗？
生 他每次分桃都是平均分，将一盘桃平均分成2份，每份都是这盘桃的1/2。只不过对第1盘桃，他是先给每只小猴分1个（桃），再把剩下那个（桃）也平均分成2份，这样每只小猴就分到了1个半的桃子，还是分到了这盘桃的1/2。
师 每次分到的桃子数量明明不一样，为什么都可以用1/2表示呢？
生 因为都是把一盘桃平均分。
生 他们将这些桃看成了一个整体，每只小猴分到了这个整体的1/2，而不是考虑具体的个数。
抽象概念的掌握离不开直观演绎，实践操作、多元表征等活动方式能帮助学生更好地理解“一个整体”，逐步掌握份数与整体的关系。把4个苹果平均分成2份，用1/2表示其中“一份”和“整体”之间的关系具有抽象性，学生理解起来有一定的困难。教师注重引导学生亲历观察实物图、涂色操作和分享交流，借助直观操作开展分析与思考，不断积累对分数的感性认识，并把具体的感知逐步上升为数学理解，真正体悟“一个整体”的意义。
2.化静态为动态，理解一个整体的几分之一
师 （课件演示盘子变大的过程）
想象一下，这盘桃还可以是多少个？
生 可能是10个。
生 可能是20个。
生 只要盘子足够大，甚至可能是100个、1000个……
师 （出示图6）
不管多少个桃，我们都可以用这样的一盘桃来表示，把这盘桃平均分成2份，每只小猴分得这盘桃的1/2。
师 还是这盘中的6个桃。瞧，又来了一只小猴。这时候，猴妈妈怎样分桃才公平呢？
生 把这盘桃平均分成3份，每只小猴分得这盘桃的1/3。
师 想象一下，还可以把一盘桃平均分成几份？每份又是这盘桃的几分之一呢？
生 还可以把这盘桃平均分成4份，每份是这盘桃的1/4。
生 把这盘桃平均分成10份，每份是这盘桃的1/10。
生 把这盘桃平均分成15份，每份是这盘桃的1/15。
……
师 看来，把这盘桃平均分成几份，每份就是它的——
生 （齐）
几分之一。
在教学过程中，学生主要经历了两次想象。第一次想象，猜测这盘桃可能有20个、100个，甚至1000个，教师顺势引导总结出：不管这盘桃有多少个，都能用“一个整体”表示，直扣主题。第二次想象，从把这盘桃平均分成2份，到把这盘桃平均分成3份，引导学生进一步思考：这盘桃还能平均分成几份？每份是这盘桃的几分之一？适度地留白造就想象的空间，学生产生了不同的分法。经过梳理对比，学生最终发现：把这盘桃平均分成几份，每份就是它的几分之一。
3.化特殊为一般，关联一个物体和整体
某种意义上，不论研究的对象是一个物体、一个图形，还是由几个物体组成的一个整体，所得到的分数都是描述“一份”与“整体”之间的关系。这区别于具体的量，侧重于率的意义，也就是史宁中教授所强调的“分数的本质在于它的无量纲性”。
教师在全课总结时，在学生掌握了新知的基础上带领学生梳理“每人分得这个蛋糕的1/2”“涂出每张圆形纸片的1/2”“每只小猴分得这盘桃的1/2”，让学生继续思考问题：“蛋糕、圆形纸片、这盘桃又可以统称为什么？”“其中的每一份又有怎样的作用？”这重在感悟分数单位，建构单位“1”的意义，为后续学习分数的意义、基本性质打下基础，促进分数概念的结构化、整体化建构。
（二）层次化练习活动，丰润分数概念脉络
层次化的练习有助于学生的思维在“爬坡过坎”的过程中进阶，经历对比分析，丰润概念的脉络。
本节课，教师设计了“一星练习”（如图7），夯实学生在具体情境中运用所学知识解决问题的能力。
该练习的情境素材主要源于教材，同时也包括对现实生活的关照，促进分数知识优化和学生思维发展。学生通过横向对比辨析，发现每个球、每个蘑菇、每个鸡蛋抽象出的个数都是1，但是所表示的分数却截然不同。教师进而提问：为什么每份的个数相同，表示的分数却不同呢？学生观察图片，发现每个“整体”平均分成的份数是不同的，有的是将整体平均分成6份，有的是将整体平均分成5份，还有的是将整体平均分成10份，因此每一份所表示的分数也不同。
通过纵向对比求索，让思维继续向深处漫溯，学生独立完成“二星练习”（如图8）。其中，两幅图的涂色部分都能用1/4表示，教师提问：“观察这两幅图，你还能发现什么？”学生纵向对比，发现涂色部分的个数不一样，前者是每份有1个苹果，后者是每份有2个积木。然后，他们暂时陷入了思维僵局，毕竟将整体平均分成的份数是一样的。教师组织学生交流讨论，学生发现：组成“整体”的物体总数不同，那么即使平均分成的份数相同，每份的个数也会不同。经过横向、纵向不同维度的对比分析，学生关于整体几分之一的认识又达到了新境界。
突破课堂边界，让学生的自我发现进行到底，教师布置了“摘星作业”（提供16根小棒，先拿出这些小棒的1/2，再拿出剩下小棒的1/2，观察两次拿出小棒的个数，将自己的探究过程和发现记录下来），留给学生课后进一步动手实践、对比分析的工具。新课标明确提出：学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。［2］通过做中学、做中思，学生会自我建构对不同整体的1/2的认识。
参考文献：
［1］［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：85，3.