数概念的一致性及其教学
作者： 陈云
摘 要：整数、分数、小数的一致性主要体现为都是计数单位个数的表达，还体现在数学化和形式化方面。“让学生感悟数概念的一致性”的教学策略有：多元表征，让抽象的数直观化；类比迁移，让原有经验丰富化；结构关联，让分散知识整体化。
关键词：小学数学；数的认识；一致性；计数单位
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“课程内容”中对小学阶段“数与代数”领域“数的认识”部分提出了总的要求：初步体会数是对数量的抽象，感悟数概念本质上的一致性，形成数感和符号意识。何为“数概念本质上的一致性”？如何让学生“感悟数概念本质上的一致性”？本文谈谈笔者的看法。
一、数概念一致性的含义及价值
小学阶段主要学习三种数：（正）整数、（正）分数、（正）小数。整数是在完整（或可以视作整体）的事物的计数过程中产生的；最初以“个”为计数单位，后来因为认识方便（表达简洁）的需要，产生了由若干个（通常为十个）小的计数单位合成的一个大的计数单位，即出现了进制（通常为十进制）。分数则是由不完整（或可视作部分）的事物的计数需要而产生的，也是在整数除法运算不够除时产生的；它将“个”分成更小的计数单位。小数本质上是分母为整十、整百、整千等的分数；作为分数的一种方便形式，它逆向运用整数计数单位的合成方式（进制），不断将一个大的计数单位分成若干个小的计数单位。
所谓“一致性”，就是相同之处。不难发现，整数、分数、小数的一致性主要体现为都是计数单位个数的表达：整数、小数是一个或多个计数单位个数的表达（如35就是3个十和5个一合起来，0.35就是3个十分之一和5个百分之一合起来），分数是一个计数单位个数的表达（如3/5就是3个1/5）。
所以，新课标在“教学建议”中特别指出：在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。
此外，新课标在“课程内容”中分三个学段对“数的认识”部分提出了具体要求。从中不难发现，数概念的一致性还体现在都是从实际情境的数量中抽象出来的（数学化），都要借助符号来表达（形式化）。
感悟数概念的一致性，除了有利于把握数学的本质，形成数感和符号意识等与抽象能力有关的数学核心素养，还有助于理解数的大小比较、数的运算等方法背后的道理，并厘清“数与运算”主题的学习路径，形成对“数与运算”主题整体化的认识，发展数学思维，提高学习效率。
二、相关教学策略
（一）多元表征，让抽象的数直观化
Lesh、Post和Behr在布鲁纳认知表征系统（动作—图像—符号）的基础上，进一步提出了概念的五种表征方式：现实生活情境、操作模型、图像、口述语言、书面符号。［1］整数、分数、小数不仅都有现实生活情境表征（意义）和书面符号表征（形式），而且可用其他方式来表征。尤其是用图像来表征，可以让抽象的数具体且直观地呈现，特别有利于学生理解数的概念，也能够很好地帮助学生感悟数概念的一致性。
例如，教学“小数的认识”，可以借助现实生活情境来引入：小明测量出课桌面的长为5分米，那是多少米呢？先引导学生用语言描述：5分米是十分之五米，也就是0.5米。再引导学生用图形表征，如图1。在此基础上，引导学生归纳出：一位小数就是几个0.1。然后追问：那两位小数呢？……9个0.1是多少？10个0.1呢？……在思维的不断碰撞中，学生看待小数的眼光也开始聚焦到十进制计数法、计数单位以及数位上。顺势提问：若一个一位小数的十位上是a，个位上是b，十分位上是c，该如何表示呢？引导学生得到：10×a+b+0.1×c。这样，借助图形表征和言语表征，学生就能进一步感受到计数单位的重要性，初步感悟整数与小数本质上的一致性。
再如，在“数的认识”复习课中，笔者出示学习任务：“画一画，用图表示下面各数的意义。①25;②0.43;③3/4。”
让学生通过图形表征来沟通整数、小数、分数之间的联系。在交流环节，学生从整数、小数、分数意义的角度评析展示的作品（部分如图2所示）。然后，笔者引导学生寻求这些方法的共通之处，使学生的认识走向深入：“他们画出的都是有多少个计数单位。”这样，借助图形表征和言语表征，学生得出一致性见解：画数也就是画出计数单位和计数单位的个数。
（二）类比迁移，让原有经验丰富化
整数、分数和小数都是计数单位个数的表达。在“数的认识”部分的长线教学过程中，教师可以借助数的产生背景，抓住“计数单位”这个核心概念，引导学生不断类比迁移，丰富（扩大）已有的知识经验，从而厘清数系扩充的脉络，感悟数概念的一致性。
例如，教学整数时，借助真实情境引导学生发现：计数时，从1开始不断累加，满十进一，得到新的计数单位并用直观的数位表示……数位顺序表中，从右往左看是计数单位的合成，从左往右看是计数单位的分解，且相邻的计数单位之间的进（退）率是十。教学小数时，在真实情境中引导学生发现：必须用“十分”的方法不断细化计数单位，方能通过累加准确表示数的大小。从而借助知识经验的类比迁移，得到：将1平均分成10份，变成0.1；将0.1平均分成10份，变成0.01……还可以反过来，让学生明了：10个0.01就是0.1，10个0.1就是1……在不断地合成与分解中，让学生充分感知十进制计数法。教学分数时，在真实情境中引导学生明了：物体（整体）被分解后因得不到整数的计数（度量）而产生了分数，自然也需要分解细化的计数单位（不受十进制的限制，可以不“十分”，而“其他分”），才能通过累加准确表示数的大小。
（三）结构关联，让分散知识整体化
只在“数的认识”部分的长线教学过程中，经历“计数单位”这个核心概念不断类比迁移建立与运用的过程，还不足以让学生充分感悟数概念的一致性。
在“数的大小比较”和“数的运算”的教学中，要注意利用数的一致性表达，说明有关的方法背后的道理；在“数的认识”的复习教学中，还要引导学生进一步关联整数、分数、小数的知识。这样，才能进一步使相对零散的知识整体化，让学生充分感悟数概念的一致性。
例如，教学“数的大小比较”时，可以让学生把数表示为计数单位的个数，即个数乘计数单位的形式，然后对相同的计数单位比较个数的大小，并且先比较大的计数单位的个数（在不够进位的情况下，再多个小的计数单位也不如一个大的计数单位）。例如，比较32与23的大小时，将32表示3个十和2个一，将23表示2个十和3个一，先比较计数单位“十”的个数：因为3＞2，所以32＞23；比较2/3与3/5的大小时，将2/3表示为2×1/3，将3/5表示为3×1/5，发现分数单位不同，于是先通分，再比较。
再如，在“数的认识”的复习教学中，笔者先出示长度为1的线段，引导学生接着数出2个1就是2，3个1就是3……由此，逐步在水平方向上延伸出数轴，帮助学生再次感悟整数是由1数出来的。然后，在竖直方向上平移长度为1的线段，引出“分数墙”，并将其上的1/10引到数轴上，引导学生接着数出2/10、3/10……当数到10/10时，学生立刻反应过来，是整数1。接着数出11个1/10就是11/10……最终形成的板书如图3所示。这样，从整数计数单位开始，打通了整数、分数与小数的关系；又从分数计数单位开始，打通了真分数、假分数（包括能转化成整数的假分数）的关系。
参考文献：
［1］ 程红霞.以多元表征学习深化学生的数学理解［J］.小学数学教师，2021（10）：12-16.