借几何直观 理数量关系

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：“几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。”显然，几何直观是数学核心素养的主要表现之一。在图形与几何中主要是通过用数学语言描述和分析图形的特征发展几何直观，而在解决问题中，主要是运用图表描述和分析现实问题，将抽象的理性认识转化为直观的感性认识，降低问题的抽象层次。小学是学习的启蒙阶段，学生的思维方式以具体形象为主，如何缩短数学中抽象与直观的距离，几何直观起着举足轻重的作用。

在数学中用空间图形或表格的形式表示数量关系是一种化抽象为直观的表达，其中最常用的方法是运用画图解决问题，即“数形结合”，这也是发展几何直观的关键。画图是问题的形象表征，通过“数”与“形”的对应，帮助学生分析数量关系，建立数学模型，把抽象的问题变得直观简洁。笔者将结合“稍复杂的分数问题”的教学为例，谈谈如何培养学生的画图能力。

一、从易到难，拾级而上

几何直观是对图形的直观，而图形主要指的是几何图形的视觉可感知性，通过一个几何图形传递给学习者直观可视的信息。因此，图形直观是几何直观理论最基础的概念。

把复杂的数量关系用图表清晰地表示，对学生是一个挑战性的思维体操。画图能力的培养是一个慢慢积累的过程，而在实际教学中，学生认为简单的题不用画，复杂的题不会画。从易到难是平时教学过程中基本的活动方式，学生画图能力的培养同样是一个渐进的过程。

例如，在教学六年级“分数四则混合运算”时，有些题目数量关系比较复杂，学生不清楚什么时候用乘法，什么时候用除法，问题的根源在于对下面两类基础知识没有理解透彻：“求一个数的几分之几”用乘法计算；“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法计算。这两句话分别是两节课的核心主题，新授课结束后，教师会让学生反复练习同类的题目，学生不会出现太大的问题。为什么一出现综合题目，学生就会茫然失措呢？这里有一点值得教师思考，学生是不是真的理解两句话的含义呢？还是他们在做题的过程中形成了思维定势，在模仿做题。此时，不妨结合线段图帮助学生理解这两句话，例：（图一）求一个数（用手指着15件）的是多少？用乘法计算；（图二）“已知一个数（用手指着单位1）的是8个，求这个数（单位1）”用8除以对应的分率。这样结合图形帮助学生理清两个量之间的关系，进而真正建立这类问题的模型。

在这两节课的练习中，教师可以引导学生多画图，不要认为题目简单没必要画，只有把基础夯实了，才能进行熟练的变式。同时，教师要充分利用教材资源帮助学生打开从形象到抽象的大门。当学生养成用画图解决问题的习惯时，遇到问题就不会再滥用公式、断章取义、不敢尝试。

二、讲图悟理，丰富情境

讲图悟理，这里的“讲”不是教师讲解，而是放手让学生“讲”。语言引领思维，学生在讲理的过程中，思路也会越来越清晰。

学生对图的认识是从识图、讲图到画图，根据儿童的认知规律，这三个层次的发展是螺旋上升的。会识图的学生可以抽象出各个数量之间的关系，通过讲图，学生就可以在静态的图形中注入丰富的情景，使数量关系变得生动具体。

例如，图三让学生编个小故事，讲给其他学生听，如周末我们去参观一家畜养殖场，有母鸡120只，比公鸡多，这家养殖场有公鸡多少只？

一幅完整的图可以明确地表达数量之间的关系，帮助学生理清思路，从而解决问题。日常教学中，学生存在做图不完整的现象。面对学生残缺不全的作品，教师不要急于否定，可以让学生试着讲讲自己的作品，通过讲述，学生会对自己画的图进行补充，同时对线段图的一些基本要素也有了清晰的认识。

三、类比迁移，凸显本质

对一道试题的研究和讲解，教师需要给学生搭“脚手架”，从已有知识中挖掘新问题的影子，通过类比迁移，使学生认识新问题的来龙去脉。从类比迁移的角度，让学生自然地探索、归纳解题方法，寻求问题的共性，挖掘表象背后的本质。

线段图把情景中的数量关系提炼出来，直观地对问题中的数量关系和结构进行表达，它是一个去情景化的表征。通过直观图的形象表征，很多隐藏的概念和规律就会浮出水面。如上面图一和图二，虽然情景和问题不同，但数量之间的关系和结构是相同的。教师可以引导学生对比观察两幅图并找出共同点。学生会发现：他们都是一个量占另一个量的几分之几，都是单位“1”×分率=对应的数量。可见，在数学中，“数”是抽象的，“形”是直观的，把抽象的问题与形象的图形相结合，很多问题便一目了然。在此，学生经历了“在异中求同、于同中找异”的过程，在知识的结构化过程中，彰显了类比迁移这一学习方法的渗透。

由此得出，如果教师直接写数量关系式，引导学生观察、发现共同点，虽然节省了时间，但多数学生是在模式化做题，懒得分析题意，逐渐养成思维惰性，继而导致限制了学生的思考空间，抹杀了学生的创造性思维。因此，教师不能怕学生出错，规律性的知识应该让学生在错误、纠正、反思中渐渐感悟。

探索运用图表描述、分析等方法发现和提出问题是发展几何直观的主要表现。画图的核心价值是利用“数形结合”的思想将逻辑思维和形象思维完美的统一。因此，教师应该将更多合适的几何直观渗透到数学教学的各个环节，让“数形结合”扎根于学生的思维深处，有效地促进他们思维的发展。

（作者单位：莘县中心希望小学）