数学思维方式的内涵特征、价值意蕴及培育策略

基金项目：湖北省2023年教育科学规划一般课题“基于项目式学习的高中数学主题式教学研究”（课题编号：2023GB077）.

作者简介：

刘师妤，女，湖北武汉人，博士，湖北第二师范学院教育科学学院讲师，研究方向：教师教育、数学教育.

（湖北第二师范学院教育科学学院，武汉 430205）

摘要：数学思维方式就是数学地思考问题和解决问题的思维活动形式。培育学生的数学思维方式是数学教学的根本旨趣，也是适应未来社会发展的必备要求。数学思维方式兼具归纳性与演绎性、渐进性与灵活性、抽象性与具化性等二元辩证特征。在数学问题解决的全过程中，数学思维方式存在转化与化归、简化与优化、发现与创造三方面的价值。要实现这些价值，应做到：采用元认知策略、运用序化策略、使用概括整合策略。

关键词：数学思维方式；内涵特征；价值意蕴；培育策略

中图分类号：G652

文献标识码：A文章编号：20955995（2024）03008307

数学教师有一项常规工作，就是要时常针对数学学习困难的学生进行学习诊断，启发他们用数学思维方式思考问题、用数学符号语言进行表达或交流，以协助他们改进学习方法。对于师范生来说，数学思维方法的训练，不仅可以帮助他们学好数学，更是对他们进行学科教学法的训练，让他们今后也用这种方法去教育和训练他的学生去学好数学。实践也反复表明，数学学习困难学生普遍存在着不良思维定式以及某些思维障碍。思维是人脑对客观世界投射在意识中的映像进行认知的过程，思维亦是人脑对客观事物进行识别、逻辑归纳，从中形成有自身意义认识的过程。一个人的思维方式，在某种程度上决定着他的发展。数学学习的根本目的是发展学生的理性思维。新课程、新教材、新高考、双减等一系列教学变革，其目的都是要彰显学科独特的育人功能，使学生的学科核心素养得以培养，运用学科的能力得到提高，同时，让学习者以“深思”的方式面对文本或实践，让“思维教学”再度被重视起来。因此，培育学生的数学思维方式就显得关键且紧要。

一、数学思维方式的内涵特征

正如克莱因所说，数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。可见，数学思维有着独特的魅力和无穷的力量。数学家与数学教育家按照不同的标准常将数学思维方式分为四类：收敛思维和发展思维（思维的指向是单一方向还是多方向）；逻辑思维和直觉思维（思维是否以每前进一步都有充足理由为其特征）；正向思维和逆向思维（使用分析还是综合的推理形式，具体体现在条件与结论的思考方向上）；创造性思维和再现性思维（思维的结果有无创新，体现在结果的延伸上、方法的再创上或观念的更新上）。之所以照此分类，旨在培养学生思维的广阔性（多方面、多角度思考问题）、思维的深刻性（善于透过现象看本质）、思维的灵活性（具体问题具体分析、善于调整和变化）、思维的批判性（善于质疑、勇于评判，有自己的主张）等思维品质。实际上，并非是数学学科所特有的思维方式，它适用于任何有意义的思维活动。正如经济学家张五常先生所提出的“科学的思考方式”。教师的专业发展不能仅靠悟性，还应有一套适宜的方法论作为指引，这就少不了科学的思考方式。何为科学的思考方式呢？要思考有价值、有意义的问题；要问得明确，且允许有不同答案的可能性；有针对性的转换视角，以衡量答案。具体到数学学科，丘维声先生认为数学的思维方式应是一个全过程：观察客观世界的现象抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，进行探索，通过直觉判断或者归纳推理、类比推理作出猜测；然后进行深入人分析和逻辑推理，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序，这就是数学的思维方式。[1]因而，以发展思维为根本旨趣的数学教学活动，更要尝试着找联系、能转换视角、有一定的预见性，好想法才会如雨后春笋般频频涌现出来。

（一）归纳与演绎思维协作

数学思维作为特殊的思维方式，承继了思维的一般特征：间接性和概括性。即能根据某一事物推断或预测、猜想出另一事物的特征或者根据事物的共同特质、本质特质总结出结论。因而数学思维被划分为演绎和归纳两大类。数学思维的发展历程与高低水平也常以此作为主要的衡量标准，可见数学思维存在内在的层次性。一般地，按照逻辑的延展性及严密程度，数学思维可分为三个层次，从低到高依次是分类穷举、归纳类比、演绎推理。归纳类比实现从未知到可能的探索，演绎推理则是将可能变为确定。归纳和演绎是对事物间本质特征的敏锐洞察方式，是出于“找联系”的研究需要。归纳是为了提出合情的猜测或论断，演绎则是为了验证真理性和一般性。归纳和演绎作为数学的思维利器，不仅能有效地组织已有数学知识，还能创生知识。数学知识大厦奠基于数学公理、基础概念和定理，知识本身的发生发展过程（原始学术形态）以及知识的探究学习过程（经加工后的教育形态）都内在阐明了知识组织的基本形式，即从特殊到一般，或从一般到特殊。更为重要的是，经由抽象得到的数学真理具有一般性，在应用到其他具体的系统中就具备了催生新知识的可能。

一个完整的数学思维过程是离不开归纳与演绎的交互协作的，尤其在猜测结果的真理性不明朗时。对证实或证伪工作的选择既体现了归纳与演绎的相对性，又彰显了二者之间的辩证性。数学思维同时兼具“逻辑性”和“直觉性”。“逻辑”的思维特征是：它是一种“无意识”成分很少、指向更窄的思维，是前后一贯的，思维过程分段清楚；而“直觉”思维的特征是“无意识”成分很多，是更多“分散”的思维，迅速而且思维过程简缩了[2]。可见，数学思维方式本质上是一种辩证思维。《孙子兵法》有云“兵无常势，水无常形，能因敌变化而取胜者，谓之神。”教学活动亦是如此，要做深刻的教情分析和精准的学情分析，以合理选用归纳法或演绎法。如开展以“三角形”为主题的教学，可遵循“从一般三角形到特殊三角形”“以等腰三角形、直角三角形的特例学习引致一般几何图形”的学习路径，以呈现一个完整的“抽象数学概念—形成联结数学概念的判断而得出命题—通过推理、论证，形成一个层次分明、结构严密的逻辑系统”的过程[3]。

归纳与演绎从方向上对数学思维特征做了概括，不受局部观念的指引。数学思维方式是基于数学内容包含数学结构的理性思维方式，故是一种整体性思维方式。整体性思维方式要求用全方位的视角去思考知识整体及局部的内在结构[4]。这里的全方位视角指的是整体规划问题解决的全局思路、局部挖掘已有的相关经验、迁移相似问题的研究策略。它们所对应的正是数学思维方式。

（二）渐进性与灵活性结合

数学思维的复杂性还体现在渐进性与灵活性的错综盘结上。由基础逐步推向复杂，是数学思维特征由单一向多样演化、由直觉向分析突破、由常规向创新转变的直接外显形式，如集合论的建立者康托尔利用集合这一“最基本”的研究对象来描述和刻画代数学中的研究对象，奠定了“现代数学”的基础。如果说数学的可信性依赖于其思维的渐进性，那么数学的美妙则主要体现在数学思维的灵活性上。数学思维的灵活性尤为讲究“具体问题，具体分析”，既强调整体性着眼于构建，又突出重要细节问题。

数学思维虽然抽象，但仍呈现阶段化渐变特征。按照皮亚杰对儿童认知发展过程的划分标准：7岁之前主要靠感觉和动作认识世界，能进行简单的思考活动，倾向于以培养感性思维为主；7岁之后能利用符号进行逻辑思考能力，会进行概括和抽象思维了，倾向于以培养理性思维为主。数学思维便是遵循着由感性认知到理性认知的螺旋式渐进过程，否则极易陷入思维停滞或跳跃的窘境，造成思维的混乱乃至逻辑思维的丧失。渐进性数学思维的主动习得，有赖于对数学知识生发逻辑过程的尊崇以及对自然理性的追求。

当学习条件发生改变时，应对的数学思维方式也会随之变化。随着学习者的认知水平的提升甚至跃迁，思维方式的自动化程度越来越高，并逐步优化，从而跳过程式化的认知过程直接选用更为便捷的方法，也即产生了顿悟。顿悟不是凭空产生的，它是渐悟的升华，它由特定的教学环境和“似乎偶然”的教学因素所引发，当积累的学习经验越丰富且知识理解水平越高时，顿悟的效果往往就越好。根据认知灵活性理论，应主动摒除“教条式”的学习方式，注重在复杂问题解决及多维环境中的反省性思考，才能养成思维的灵活性。数学思维的灵活性体现在思维起点的选择以及思维过程的优选组合上，故数学思维的灵活性是基于思维整体性和逻辑性的更高思维品质。需要指出的是，后者也同样遵循渐进过程，只是它把之前更为基础的认知过程充当了归纳素材。因而，对数学对象的理解层次的不同，决定着思维方式的异同。

（三）抽象与具化相融合

数学的基础学科地位是由其高度的抽象性所决定的。通过对现实客观世界中的对象的抽象与概括，数学只研究空间形式和数量关系，为保证抽象过程的自然性与合理性，它又必须借助于具体、生动的现实原型。因此，抽象与具化是数学内在的辩证属性，两者的有机融合也成为数学思维方法的呈现形态。如在数学核心概念的学习中，可通过函数图象、函数解析式或表格等具体实例概括抽象出函数的本质（对应关系），从而达到概念的形成与精致。

抽象与具化相融合的数学说理方式又称数学抽象思维，它以更低级的抽象概念或具体的经验、物体作为推理的载体，涉及复杂概念的理解及思想方法的联系与分析，故而数学抽象思维属于高阶思维类型。而数学教学实践表明，受认知能力和人生经历的影响，学生抽象思维的发展呈现不均衡且不充分的态势，主要表现在对具体直观性素材的过分依赖、对抽象概念与具体实例的人为割裂等。因此，发展数学思维的核心要义就在于数学抽象思维的习得。数学抽象思维具有层次性。一般地，它分为弱抽象、强抽象、构象化抽象和公理化抽象。弱抽象指的是从同类对象中抽离出共性特征，以拓展其概念外延，以获得比原结构更广泛的结构形式。而强抽象则是指通过引入新特征强化原型并得到新概念，即由一般到特例。构象化抽象多是为了数学逻辑发展需要而抽象出来的，如无理数的引入扩充了数系系统，使得实数具有完备性。而公理化抽象则是更高形式的抽象，其对象不再是概念体系，而是更为基础的公理化系统。因而，兼顾数学思维逐级抽象的特征，数学教学要循序渐进，要通过反复的“具体—抽象—具体”言语系统提升学生的抽象思维。

也有观念认为，数学的本质就是抽象。原因有二：一是数学的语言系统是对具体事物变化过程中一般规律的概括与总结；二是数学的思维方法是超越具体事物对其的“数”化、“形”化以及关系化、算法化。

从这一意义上讲，珍视数学思维的抽象属性，是对数学的本质的彰显。

二、数学思维方式的价值意蕴

理性与非理性，作为人类客观存在不可或缺的两种认知方式，主动参与到我们的学习和生活并为知觉和行动提供决策依据。遵照此理，发挥数学思维中的理性与非理性价值作用将有助于数学问题的提出、分析与解决，具体体现在转化与化归、简化与优化、发现与创造三方面。

（一）转化与化归

数学思维方式的价值可经由数学知识教学和数学文化教学体现出来，并落实在数学问题解决的全过程中。问题是数学的心脏（波利亚语），问题是思维的发端，更是创新思维的动力。好的数学思维方式还能将数学问题的本质凸显出来，以体现数学问题教学的价值。

数学问题的解决过程是操作求解系统以趋于目标系统的过程，其本质上是问题得以转化的过程。大众熟知的“数学家烧开水”故事深刻地诠释了转化与化归的巧妙哲学，其核心是将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、未知问题已知化。这种转化的能力正是数学思维能力的体现。如等与不等、数与形、正与反、常量与变量、运动与静止间的辩证转化。转化与化归思想方法依赖于既有经验，属于典型的模型思维。模式识别是对数学问题的整体结构以及关键点进行自动判读，进而归结于已有问题模式的信息加工过程，它是模型思想的第一步。具体而言，即是对转化的对象及目标作整体性预判及转化方法上的准备。为了实现有效地转化，往往需要变更问题的内部结构，或变换问题的外部形式。如求过正方体的顶点的异面直线的对数问题，借助于最简单的空间几何体模型——三棱锥就能巧妙地转化与化归，或者处理不规则几何体的度量关系、位置关系也常常需要通过割补等方式建构规则图形。