数学几何直观的内涵、价值与培养策略

摘  要  几何直观是《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的数学核心素养的重要表现。几何直观依托、利用图表进行数学思考和想象，它在本质上是一种通过图表而进行的抽象和思维能力。几何直观是形象思维在数学中的重要表现形式，也是一种有效的教学方法，有助于丰富学生数学学习体验、帮助学生分析数量关系和发展学生空间想象能力。在数学教学实践中，教师应通过强化学生几何认知、帮助学生积累经验、引导学生学会画图、指导学生学会变换和培养学生策略意识等方式，培养学生的数学几何直观素养。

关键词  小学数学；核心素养；几何直观；教学实践

中图分类号  G623.5

文献标识码  A

文章编号  2095-5995（2024）06-0053-03

几何直观是一种重要的思维方式，是学生适应未来社会必不可缺的关键能力之一。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）将“会用数学的眼光观察现实世界”作为数学课程要培养的学生核心素养之一，其中，在义务教育阶段，《课程标准》把“几何直观”列入“数学眼光”的重要构成内容。［1］几何直观能把抽象的、说理性的数学知识变得形象具体、通俗易懂，有助于学生更好地理解数学知识，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高学生用数学知识解决问题的能力。本文在深度阐释几何直观的内涵、分析几何直观的价值基础上，阐述教师在日常教学实际中培养学生几何直观素养的教学策略。

一、几何直观的内涵解读

《课程标准》对几何直观的解释较为简单和笼统，认为几何直观主要是指“运用图表描述和分析问题的意识与习惯”［2］。在这里，笔者认为，要全面解读几何直观的涵义，需要对“几何”和“直观”分别进行阐述。几何，可以理解为图表，其中图包括点、线、面和体，表则是反映数量关系的一种常见呈现形式。笔者认为，在实际的小学数学课堂中，几何主要就是借助实际的实物学具，帮助学生搭建“具体”到“抽象”的桥梁，然后将实物转化成图表，再通过图表去分析思考数学问题，进而建立初步的空间观念。直观则是在已有的空间观念基础上，利用这些抽象出来的图表去分析思考问题，进而促进学生几何直观能力的培养。这里的直观不仅仅是指学生通过视觉看到事物，或借助触觉感受到事物，更重要的是学生利用看到的事物和接触到的事物进行抽象和思维。综合起来，几何直观就是学生依托、利用图表对数学知识进行抽象和思维，从而形成对数学知识全面而深刻的理解，最终表现出来的是一种依靠图表而进行抽象和思维的能力。

实际上，几何直观并不是虚幻无物的，而是具体真实的，与数学课程内容紧密联系在一起。［3］比如，数学课程中很多重要的知识内容都具有“双重性”特征，也就是说，这些知识内容既可以通过“数”来表达，又可以通过“形”来呈现。如果教师仅从某一个方面去引导学生学习这些知识内容，学生可能会受限于他们的现有知识结构、思维发展水平等而产生知识理解偏差，或出现难以深刻理解数学知识的问题。但从“数”和“形”两个角度同时进行学习时，学生可能会更好地理解这些知识内容，并掌握它们的深层意义。也就是说，学生几何直观能力的形成，需要借助“数形结合”的思想去理解知识，探寻解决数学问题的方法和策略。

二、几何直观的价值审视

几何直观是形象思维在数学中的重要表现形式，在学生数学学习的过程中发挥着极其重要的作用。［4］正如荷兰数学家弗赖登塔尔所说：“几何直观能告诉我们什么是可能重要的、可能有意义的和可接近的，并使我们在课题、概念、方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”笔者认为，在小学数学教学中，几何直观发挥的作用主要体现在如下几个方面：

（一）有助于丰富学生数学学习体验

小学生正处于以形象思维为主的认知阶段，在学习那些具有高度系统化、抽象化和结构化的数学知识时，他们通常会觉得数学知识难度较大，因此容易对数学学习感到枯燥无味。在实际教学中，我们可以轻易发现，当学生借助熟悉的、直观的图表学习数学知识时，能够产生轻松愉快的心情，激发对数学学习的兴趣。实际上，几何直观就是帮助学生构建数学新知、获得良好数学学习体验、发展数学核心素养的一种有效思维方式。在几何直观的帮助下，学生经历由实物到抽象的建构过程，可以深入理解数学知识，逐步发展抽象思维和逻辑思维能力。［5］例如，对于三角形、正方形和长方形等图形的周长教学，教师可以利用画图的方法，引导学生直观感知线段具有的可加性特征，自主探索三角形、正方形和长方形的周长问题。在此之后，教师可以引导学生自主探索这三种图形的周长之间存在的关系，归纳出长方形和正方形周长的计算公式。这样的数学教学过程，简化了抽象知识本身的难度，优化了学生的数学学习体验，对提高学生的数学学习兴趣起到了重要的作用。

（二）有助于帮助学生分析数量关系

在小学阶段，学生碰到的很多数学问题，都需要通过分析数量关系、列出数量关系式的方式，实现对数学问题的解决。但在实际中，我们很容易发现一些学生的抽象思维存在发展滞后问题，如果教师不借助有效的手段对数量关系加以解释说明，学生很难认识和理解数学知识背后的实质内涵，导致不能有效解决遇到的数学问题。借助几何直观，学生能够将复杂的数学语言与直观的、容易理解的图表联系起来，把抽象的数学知识转化为学生能直接感知的具体形象，从而理清问题背后的数量关系，找到解决问题的具体办法。例如，在教学圆柱的体积时，教师需要引导学生推导圆柱的体积计算公式。在教学过程中，教师一般需要利用“化曲为直”和“极限”的数学思想引导学生推导体积计算公式。具体来说，教师可以通过动画视频呈现圆柱切拼成长方体的过程，模拟出切拼过程中展现的“极限”思想。这样的直观教学，能够让学生轻易理解圆柱和长方体之间的关系，从而让推导圆柱体的体积计算公式变得不再困难。在面对复杂的数学问题时，学生借助几何直观可以准确分析问题，找到问题背后的数量关系，在推导数量关系式的过程中实现对问题的有效解决。

（三）有助于发展学生空间想象能力

几何直观和空间想象能力有着密切的联系，其对空间想象能力的形成和发展有着十分重要的作用。空间想象是抽象思维的基本构成之一，也就是说，几何直观对于提升学生的抽象思维能力，促进学生透过表象抓本质，逐步走向对知识的深刻认识和理解有着重要的意义。义务教育阶段是学生空间想象能力形成的关键时期，教师应充分利用几何直观的思想方法，发展学生的空间想象能力。具体来说，教师可以依托数学课程中“图形的位置和运动”教学内容，引导学生结合日常生活中常见的图形运动现象，加深对数学课程中空间概念相关知识的理解和内化，感受平移、旋转等简单图形空间位置变化所产生的空间关系，能对抽象的数学计算公式或数量关系等赋予具体的几何意义，从而逐步增强学生的空间观念，形成量感和逻辑思维能力。例如，对于图形的位置教学，教师可以结合班级学生的座位安排情况等熟悉的情境，引导学生借助方格纸上的点，用有序数对表示具体的位置；对于图形的运动教学，教师可以借助日常生活中常见的现象，如运动中的风车、旋转木马等，引导学生画出这些事物的简单图形，并描述这些图形平移、旋转后有什么样的特征，感受图形变化所带来的“数学之美”。

三、基于几何直观的小学数学教学策略

（一）强化学生几何认知

几何认知是形成几何直观素养的前提和基础。在实际的教学过程中，教师可以通过加强对几何实体物品或学具的使用力度，加深学生对几何的理解和感悟。例如，在对“图形与几何”进行教学时，教师可以为学生准备多个几何形状的实体物品，并对这些物品在生活中的实际运用进行解读，以此加深学生对于几何的认知。在此基础上，教师可以进行延伸和拓展，指导学生对这些几何物品的类似物品进行想象，以此培养学生的空间想象能力。教师通过利用实际几何物品或学具进行教学，不仅能够使学生理解不同的几何图形，还可以降低抽象的数学知识带来的学习难度，加深学生对于几何知识的认知和理解，从而锻炼学生几何直观能力，培养学生思维素养。

（二）帮助学生积累经验

几何直观素养的培养不是一蹴而就的，需要经过长期的、有意识的训练，在教师的帮助下逐渐积累起丰富的经验，体会几何直观的真正价值，进而形成一种稳定的数学素养。通常来说，教师可以通过以下两种具体方法帮助学生积累几何直观的经验。一是引导学生“借形观数”。具体来说，这种方法就是教师借助图表的形式直观解释一些较为抽象的数学概念与算法等。例如，教师可以利用平均分割的圆形来解释分数和比的概念，利用正方形和长方形拼接的方式解析完全平方公式和平方差公式原理，等等。二是启发学生“以数解形”。具体来说，这种方法就是教师通过给图形确定度量单位，并赋予每个图形一个数量，启发学生通过这些图形探究它们背后的数量关系，从而更深入地理解数学知识。例如，小学数学教学中，教师会经常引导学生使用数值和数学方法（如乘法）来解决与形状（如矩形）相关的问题（如面积）。

（三）引导学生学会画图

几何直观素养的培养离不开画图，通过画图可以将抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合起来，实现抽象的问题图形化，从而使数学学习过程变得直观。［6］因此，教师引导学生学会画图，对培养学生的几何直观素养起到了重要的作用。首先，数学教材在编排上具有较强的直观性特点（内容的呈现方式、色彩的选择等都有着很强的直观性），教师可以依托教材有意识地将所要讲解的问题借助图形直观化，让学生形成初步的依托图形进行表征的心理倾向。其次，教师在教学中要做好示范，在引导学生思考、分析数学问题时多采取画图的方式进行内容呈现，让学生真正体验到画图在理解概念、寻找解题思路等方面带来的益处，从而潜移默化地影响学生。最后，教师还要引导学生掌握一定的画图技巧，培养学生灵活运用画图策略的能力，即能对解决不同题型的问题时所运用的画图策略进行归纳，达到合理运用，举一反三，从而通过画图策略提升几何直观素养。

（四）指导学生学会变换

利用几何变换或图形的运动去认识、理解几何图形是培养几何直观的重要方法。实际上，几何变换或图形的运动不仅是《课程标准》规定的、学生需要学习的重要内容，还是一种帮助学生有效理解数学知识、解决问题的思维方式。一方面，在小学阶段，学生在数学学习中接触到的图形多是对称图形，例如，数学教材中呈现的平面图形（如长方形、正方形、平行四边形、梯形等）、立体图形（如长方体、圆柱、球等）、实物图形（如汽车、熊猫、天坛）多属于对称图形。另一方面，教师在引导学生认识不对称图形时，往往以对称图形的探究为基础组织相关的教学活动，通过拓展延伸教学内容，帮助学生理解不对称图的性质和特点。因此，在教学时，教师可以通过几何变换或图形的运动帮助学生认识这些图形。例如，在对“图形的运动”进行教学时，教师可以利用视频、动图的形式进行实时展示，帮助学生更加直观地认识不同图形在运动后所呈现的新图形或状态表现。这种方式能够有效加强学生对几何图形相关概念的印象和理解记忆，从而提高学生对于抽象的数学知识理解程度，激发学生学习兴趣。

（五）培养学生策略意识

在实际教学中，教师应鼓励学生以自己喜欢、易理解的几何直观方式来刻画自己的思维，引导学生从不同的角度思考同一个问题，鼓励学生对各种方法进行区分比较，发现不同方法之间的区别与联系。几何直观的培养是一个过程，借助几何直观解决实际问题应贯穿教学的始终［7］，因此，教师在教学过程中应有意识地进行渗透，激发学生的内在需要，帮助学生经历几何直观的过程，促使学生对几何直观有着更为深刻的认识，提升学生的策略意识。例如，在“图形与几何”教学中，教师应该引导学生对立体图形有深入的了解，掌握其特性，并对点、线、面的相互关系有深刻的认识，同时帮助学生积累观察图形和思考问题的经验，从而让学生逐步建立对空间的想象图式和初步的几何直观思想。以此为基础，教师可以进一步引导学生推导出一些常见的立体图形的周长、面积和体积等的计算公式，并掌握相应的数理计算方法，从而培养学生的量感和推理意识。

（孙霞，济南市章丘区实验小学，济南 250200）

参考文献：

［1］［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京师范大学出版社，北京：2022：5，27，8.

［3］ 李树臣，栾尚锋.对几何直观的认识和培养［J］.中学数学杂志，2023（8）：11-14.

［4］ 王飞，于蓉.指向几何直观素养的小学数学学习评价［J］.课程教学研究，2024（3）：86-91.

［5］ 周存兰.加强多元表征策略研究，提升几何直观核心素养［J］.中学数学，2024（4）：40-41.

［6］ 林美.借“画图”之力，培养几何直观［J］.福建教育，2023（32）：56-58.

［7］ 汪洋，孙红伟.培养模型意识 发展几何直观——“解决问题的策略——列举”教学实录与评析［J］.小学数学教育，2024（10）：37-39.

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