类比推理，从“几个几”开始

“乘法的初步认识”是人教版二年级数学上册第四单元第47页例1及相关内容，是小学阶段“数运算”知识的一次跨越。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要引导学生“感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”。周佳泉数学名师工作室团队多名教师多次执教“乘法的初步认识”，以乘法意义的理解为载体，在促进学生类比推理能力提升方面取得了良好的效果。现撰文记之，与广大同仁共勉。

一、成人眼光中的“乘法”

在实际教学中，相当一部分数学老师认为“乘法”很容易：无非就是把几个相同加数的加法算式改写成乘法算式。这么简单的内容，甚至都不用老师教，学生自己看看数学例题就能学会。因此，很多老师在现实教学中以“学生是否会把加法算式改写成乘法算式”为教学的终极目标，一旦学生改写“成功”，就觉得“乘法的初步认识”这节课的教学已大功告成。接下来，就是海量的练习加以巩固。到了后续高年级学习小数乘法、分数乘法、比例的相关知识的时候，学生对于乘法意义的扩展（求一个数的零点几倍是多少？求一个数的几分之几是多少？比例中的“恒量”是谁？）的理解却举步维艰。究其原因，就是二年级“乘法的初步认识”这节课上飘了。

老师之所以会有“乘法”很容易的想法，主要原因有三个：一是部分教师觉得乘法同加法一样，在学生的认知经验中应该是“天生”就会的；二是部分学生在学习乘法的过程中（尤其现行教材不再区分“被乘数”与“乘数”的情况下），对加法与乘法的改写（仅停留在文字符号层面）确实上手很快，就给老师造成了“乘法”很容易的错觉；三是部分家长对孩子“乘法口诀”的前置辅导，让学生很容易落入以“口诀”代“意义”的歧途中——用已知的计算结果来反推算式。这些错觉，都很容易导致把乘法意义理解简单化、片面化、浅表化。

因此，“乘法的初步认识”这节“种子课”的价值非同一般，老师眼中的“容易”也未必真的容易。

二、学生学习中的“乘法”

通过细致的课堂教学观察和课后学业测评反馈，我们不难发现学生对“乘法意义”的理解确实存在诸多困难。主要体现在以下三个方面：

1. “A个B”与“B个A”相混淆

实际教学中，“3个盘子里每盘装2个苹果”与“2个盘子里每盘装3个苹果”写成乘法算式都一样（因为现行教材不再区分两个因数谁前谁后），都可以用“2×3”或“3×2”来表示。（如下图）

但是，还原成加法算式却不一样：第一幅图应该表示为“3+3”（也就是2个3相加），第二幅图应该表示为“2+2+2”（也就是3个2相加）。即两个情境中，把谁看作“1个单位”和有几个“单位”是完全不同的。

“几个几”区分不清，将会对后续知识的学习产生极其严重的负面影响。

2. “算式”与“情境”相脱离

由上述第一个“困难”，就自然生发出学生理解乘法意义的第二个“困难”——只识其“式”，不知其“意”。也就是在具体情境中，学生能理解乘法的含义并用乘法算式正确表示。如：“5个小朋友，每个小朋友发3颗糖，一共要发多少颗糖？”学生能理解是“5个3相加”，用乘法算式表示为“3×5”或“5×3”。但是单独给出算式“3×5”，让学生去说出它的含义并描述一个相应的“情境”时，相当一部分学生是困难的：自己界定的含义是“3个5相加”，描述的情境却是“5个3相加”。

这就反映出教师在教学中，对于“情境—意义—算式”的链接是不牢固的，学生对乘法意义的认知是片面的。学生虽然可以熟练地进行乘法运算，但在实际应用情境中，却难以将数学表达与具体场景结合起来，未能深刻理解乘法的实质。这就是前面谈到的以“口诀”代“意义”——根据计算结果反推算式的具体表现。

3. “会写不会说”是普遍现象

以上两个问题如果不彻底解决，学生在后续学习中只能依靠大量机械练习“感知”某个问题应该用乘法解决，并且也能够根据生活经验判断解题的结果是否正确，但对于乘法意义的理解却始终是模糊不清的。这种模糊“感知”的负面影响会在后续学习中被叠加放大。如：

两幅图中的问题都可以用“5×３/４”来解决，结果也都是“3.75千克”。但相当一部分学生在“做对”的前提下，也没有能力把两道题的真实含义说清楚：第一幅图表示的意义是“5个３/４的和是多少？”，第二幅图表示的意义是“5的３/４是多少？”。到了初中和高中，在数学、物理等学科的相关函数学习中，学生对于“恒量”“自变量”“因变量”的理解就更加困难了。

教师在乘法教学中，不仅要注重运算技能的培养，更要帮助学生在具体情境中建构乘法概念，提升他们的数学表达与理解能力。通过更多的实际情境练习与语言表达训练，学生才能真正掌握乘法的意义，做到“会算、会说、会用”。

“会写不会说”的“哑巴”数学，着实害人不浅。

三、学习乘法的“桥梁”

针对学生理解乘法意义的实际困难，为学生架设思维的桥梁就成了教好“乘法的初步认识”这节课的必经之路。

1. “一个几”是认识乘法的基石

通过以上分析不难看出，理解乘法意义的核心是分清楚“几个几”，而“几个几”的概念建立源自“一个几”。这对初识乘法的学生来说是困难的——“把3个苹果装在一个盘子里”（其实就是看作1个单位）叫作“1个3”，这样的表述对学生来说是陌生的，理解也是有困惑的——一年级的时候我们明明说“3个一组成3”，现在怎么变成“1个3”了呢？这就需要老师巧设方法让学生理解，“3个”是一个整体（1个单位），叫作“1个3”。再来这样的一个单位，就是“2个3”……以此类推。

在变换情境的再认识中，学生逐步认识到：要数清“几个几”，先确定“一个几”（圈出第1份）是个好办法。在学生能准确找到“一个几”，并能用标准的数学语言表达出“几个几”后，出示不同类型的几个几，丰富数学表象。最后，利用想一想、说一说、摆一摆的活动，再次巩固几个几，打牢乘法的基石。

2. “每份数”不变是累加的根本

在正确区分“几个几”的基础上，让学生逐步理解“每份数”不变是累加的根本。如果第一份数是“1个8”，“照这样计算”数下去的结果就是“n个8”；如果第一份数是“1个6”，“照这样计算”数下去的结果就是“n个6”……

在举一反三的类比中，使学生逐步深入理解乘法的基本含义——同数累加。变化的是加数的个数与最终的积，不变的是“每份数”。在部分题目中虽然没有直接呈现相同加数累加，但经过类比推理，寻求方法的突破，也可以转化为乘法计算。例如：3+4+5=？看起来题目中的每份数是不同的，但是经过移多补少，可以转化为4+4+4，也能满足乘法的计算要求。

3. 两个因数的地位其实不一样

虽然现行教材中不再区分两个因数的位置和具体名称（统称为因数），其实两个因数的地位是不一样的。

要数清楚“几个几”，“一个几”至关重要，它规定了我们“数数”的标准（或单位）。也就是说，从因果关系来判断，是先有了“一个几”（每份数），我们才有办法按照这样的标准数下去，数完了才知道有几个（份数）这样的数。因此，把每份数写在乘号的前面（被乘数的位置），把份数写在乘号的后面（乘数的位置）是否会更合理一些呢？

当然，从读写一致的角度来看，“3个5”写成“3×5”也更方便学生的记忆。对于这个问题，广大同仁见仁见智，不可一概而论。

“乘法的初步认识”既是小学数运算意义的一大台阶，更是培养学生类比推理能力的良好载体。善用之，细品之，韵味无穷！

【注：本文系2022年度云南省教育科学规划项目“基于核心素养的小学生推理意识培养的策略研究”（批号：BFJC22020）阶段性研究成果】