单元整体教学观下的高中数学试卷讲评课教学探索

一、案例背景

新教材、新高考突出了素养导向、能力为重，体现基础性、综合性、应用性与创新性的要求.《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）（以下简称“新课标”）指出，教师要以发展学生数学学科核心素养为导向，抓住四条主线，明晰学科核心素养的连续性和阶段性，并提出了“单元—课时教学”的教学理念.核心素养的培养往往潜藏于数学知识体系与结构中，无法通过单一的知识点呈现.随着新课标的深入实施，出现了很多新授课的单元教学整体设计，但单元整体教学观下的试卷讲评课教学设计与研究仍然相对较少.

试卷讲评课在高中阶段是非常重要的部分，对学生阶段性的学习成果起着检测与反馈的作用，是提升学生数学核心素养的重要手段.但一些教师在讲评课的教学中，仅仅通过串讲习题的形式进行，达不到知识内容的巩固、思想方法的理解、核心素养的提升，使得试卷讲评课变为习题课.那么如何站在单元整体教学观上为试卷讲评课教学提质赋能呢？我以高一上学期的一节“三角恒等变换”试卷讲评课为例，试作阐释.

二、案例描述

高一上学期期末，我们参加了昆明市五华区高一期末质量检测的阅卷工作，发现很多学生在“三角恒等变换”部分丢分严重，尤其是第18题.此题满分12分，区平均分3.3分，得分率27.52%，满分学生占总人数的0.82%，得分在3分以下的学生超过55%.许多学生反映第（1）问扣了2分，第（2）问没有思路，不知从何处下手，这引起了我的关注与思考.随着新课改理念的渗透，试卷讲评课的研究需要不断更新和调整，改变传统试卷讲评课的教学方式迫在眉睫.因此，我尝试用如下方式进行教学改进：

1.试题呈现

题目：已知函数f（x）=tanx.

（1）若f（θ）=2，求sinθcosθ；

（2）若α，β均为锐角，且f（α）+f（β）=，求sinα+sinβ的取值范围.

2.教学尝试

我先让全班学生回顾自己当时的解题思路.

生1：因为tanθ=2，我想到了用三角函数的定义，先求出正、余弦函数值，再代入sinθcosθ求得答案，但是忽略了分象限讨论，被扣了两分.

我帮他分析丢分原因，提出错因本质是对任意角的三角函数定义理解不到位，潜意识还停留在初中阶段锐角三角函数的定义上.

生2：我通过解方程先求出cosθ，再求sinθ，其中涉及开方取正负，由tanθ>0得出θ角可能在第一或第三象限，再分别把sinθ和cosθ的两组值代入求得答案，发现结果都是.

我肯定学生的方程思想，同时让全体学生观察思考，为什么两组值代入后结果都一样？并追问解法是否可以优化.

生3：由tanθ=2得sinθ=2cosθ，把它代入sin2θ+cos2θ=1得5cos2θ=1，同时把sinθ=2cosθ代入所求sinθcosθ，即求2cos2θ，所得结果是.

我表示赞赏，夸奖他会转化，利用整体代入的思想简化计算过程.

生4：我利用分母1，把1写成sin2θ+cos2θ构造齐次式，分子分母同除cos2θ转化成正切，直接代入求解.

我称赞他的解法巧妙，抓住了已知条件和所求问题的联系，应用了化归思想，解题过程简洁明了，同时引导学生思考是否还有其他方法.

生5：我想到了sinθcosθ=sin2θ，就尝试用二倍角公式先求出tan2θ，再用三角函数的定义求得sin2θ=，但被扣了两分，我也不知道问题出在哪里.

我对全班学生提出问题：“谁能帮他找找问题出在哪里？”

生6：应该先明确2θ的终边所在象限，因为tanθ=2>1，由正切函数的图象（学生板演）得出θ∈（kπ+，kπ+），k∈Z，则2θ∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，所以2θ为第二象限的角，得sin2θ>0.

全班学生鼓掌表示赞同.

我表扬了这个学生，接着说：“这正是此方法的难点所在，要结合正切函数图象和正切函数值明确角θ的取值范围，再得到2θ所在的象限，又回到任意角三角函数的定义求解.”

在第（2）问中，有学生利用均值不等式进行最值的求解，但马上另一个学生提出解法有漏洞.在利用极限、数形结合等思想解释之后，学生发现利用辅助角公式化为标准型求解最为便捷.在我的引导下，学生还找到了“题源”，试题来自课本第227页例10.那道题就是通过三角恒等变换实现求矩形最大面积的.

课堂最后，我总结本课.学生发现这节课覆盖了整个单元的知识点，在无形中打通了各知识点之间的联系.我给学生留了课后作业：能否站在一个单元的角度，命制一道与三角函数相关的综合题？

三、案例评析

（一）多元解法，助推课堂

整节课以学生的回答串联起来，教师点拨，层层助推.方法一，利用三角函数定义进行分象限讨论；方法二，继续利用三角函数定义但是避开讨论；方法三，在避开象限讨论的同时优化了解法，转化为计算2cos2θ；方法四，在方法三的基础上直接构造齐次式，完成化解；方法五，另辟蹊径，提出用二倍角公式进行求解，依然可以得到正确答案.在层层启发下，学生可以看到解法在不断优化，可以看到知识的多样态呈现及其内在联系.

试卷讲评不只是讲解学生在做题过程中出现的错误，在大单元视角下，整合不同解法，而不同的解法又指向共同的本质，从而让学生聚焦核心，深刻理解内涵，从而发现一类题的规律，挖掘思维的深度.高一是收集一题多解的最佳时机，教师可以从不同角度寻找不同的解法，对比发现最优解法，回归数学本质，最终实现多题一解.而在试卷讲评课中对考点进行同类别的整合，也能使知识体系得以建构和完善，发展学生思维，提升学生核心素养.

（二）关注过程，积极评价

评价是单元教学中的重要一环，具有检测学生的学习成效、发现教师的教学问题、促进教学改革等作用.在评价中，教师应以育人为导向，以评促教，以评促学.本节课运用了多种评价方式，除了考试数据之外，还有自我评价、同伴评价、教师评价等，单元整体教学评价不是单纯反馈教学结果，而是对学生学习过程的多维、整体分析.教师站在单元的视角上，任由学生去发现与探索，在不同的解法中，设计不同的评价方案，使评价主体、评价内容和评价形式多样化，也激活了课堂，实现了教学评一体化.教师也可以在讲解之后灵活设计相关知识模块的试题，使用智慧课堂收集学生数据，掌控学生的学习情况.

（三）独立自省，互动互助

试卷讲评课是一类重要的课型，应该避免“一言堂”现象.为了适应新课程、新高考的要求，本节课的处理有很多突破和创新，课堂开放程度和灵活性较大，教师的角色只起到串联和升华的作用，教师的点评完善了学生的回答，教师对学生发现的问题进行追问，适当点拨和小结，启发学生深入思考，深入探究.

试题的解答过程从三角恒等变换开始，覆盖了定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式等一整章的知识点，促使学生深度思考，优化解题思路，形成灵活运用知识的综合能力.最后让学生自己针对三角恒等变换模仿命题，很好地激发了学生的主观能动性，考查了学生的知识掌握和运用情况.

当学生的尝试引起了认知冲突的时候，又是一次新的碰撞.这时，教师应把问题留给学生，给课堂以留白，把解决问题的期限移至未来，让学生在学习中一路寻找答案.

（四）回归本质，单元意识

目标是什么？已知量是什么？可以用哪些知识点解决它？条件和结论就像迷宫的入口和出口，解题就是缩短出入口距离的过程.我们需要找准方向，寻找已知和未知之间的联系，确定好解题方案再执行.站在整体上，心中才有方向.在立足基础知识、基本方法的前提下，多想才能少算.

罗增儒教授说过：“数学学习中真正发生数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动.”我们知道“教什么”始终比“怎么教”重要，教学内容决定教学形式.同样，数学解题“解什么”比“怎么解”重要.教师应该教会学生站在大单元的角度上，明确解题方向，围绕“解什么”捕捉已知条件，思考已知条件能推导出什么样的结论，找到解决问题的思维路径.“怎么解”只是知晓“解什么”之后的外在呈现手段，往往是解题成果的一种展示，达成这一目标的背后是数学的思维活动.教师的重要职责是研究、挖掘教学内容，使其结构化，引导学生进行深度思维活动，在变化中提升思维的深度和广度.

这节讲评课通过激烈的头脑风暴，盘点了三角恒等变换的知识板块，也激发了学生探究的欲望.聚焦单元，立足本质，高端的食材往往只需要最简单的烹饪方式，最基础的知识与方法往往蕴含最深刻的道理.