深度发展模型观念 涵育学科核心素养

《义务教育数学课程标准》（2022年版）（以下简称“新课标”）提出，在初中阶段核心素养的主要表现包含几何直观、逻辑推理和模型观念.在几何解题教学中，若能恰当地运用模型观念指导解题，则可以拓宽解题思路，丰富解题内涵.合理的模型建构往往可以提高解题效率，在建模过程中有效串联各种“几何模型”和重要知识点，可以强化解题技巧和方法思路，提升学生的数学核心素养.基于新课标理念，我对2023年武汉市初中毕业生学业考试几何压轴题第23题，进行了深度剖析和多解探究，得到了一些教学启示，与同仁交流探讨.

一、试题的呈现与解读

【问题提出】如图1，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系.

【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图2，当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；

（2）再探究一般情形，如图1，求∠GCF与α的数量关系.

【问题拓展】（3）将图1特殊化，如图3，当α=120°时，若=，求的值.

试题以菱形、正方形、等腰三角形和动态几何为背景，以探究角度关系和比值为载体，是一道集综合性、实践性于一身的几何压轴题.试题设问低起高落、拾级而上，命题思路灵活、解法多样，综合考查了初中几何部分核心知识.在知识层面上，试题全面考查了等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形、相似三角形和锐角函数等核心知识；在方法层面上，重点突出一题多解、通性通法，给学生提供了更多的解题路径，符合新课标理念，有效落实了“双减”政策的要求；在能力层面上，凸显甄别选拔功能和学科育人价值，既注重数学思想方法的应用，涉及数形结合思想、化归思想、类比思想、一般到特殊思想和设而不求等数学思想方法，又聚焦几何直观、逻辑推理、数学运算和模型观念等数学核心素养的考查.

第（1）问借助“一线三等角”全等模型易得∠GCF=45°；第（2）问类比迁移第（1）问的解题思路可得∠GCF=α-90°.我们重点探讨第（3）问.

二、试题分析与解答

1.思路分析

从已知条件看，梳理题目图形中的数量关系和位置关系如下：①由已知条件可得∠AEF=∠ABC=120°；②在菱形ABCD中，因为∠BAD=60°，所以∠BAE+∠GAD=30°；③根据条件=，设DG长为a，则可知菱形ABCD的边长为3a；④因为∠CEF+∠AEB=60°，且∠BAE+∠AEB=60°，可得∠BAE=∠CEF.

从待证结论看，欲求的比值，我们自然联想到构造相似三角形，联想到有哪些路径可以选择；也可以设参数BE=x，借助勾股定理、相似三角形、锐角函数和等面积法得到CE为参数x的代数式，求得比值结果.

从图形结构看，①△AEF和△ABC都是顶角为120°的等腰三角形，三边之比为1∶1∶；②直线BC上有两个等角∠AEF=∠ABC=120°，考虑再构造一个120°的等角，尝试利用“一线三等角”全等或相似三角形求解；③观察到有AE=FE，∠BAE=∠CEF一边一角相等，联想“截长补短法”构造全等三角形求解.

从隐藏信息看，①由第（2）问结论∠GCF=a-90°，可得∠GCF=90°（即CG⊥FG），进而∠BCF=150°；②由第（2）问可证得CF=BE；③若菱形ABCD的边长为3a，则两条对角线分别为BD=3α，AC=3a；④菱形的边、角和对角线的性质可以提供哪些辅助线等.

2.解法赏析

思路1：构造一线三等角全等+作平行线构造X型相似三角形.

解法1：如图4，在BC延长线上作∠CMF=120°，过点F作FH∥BC交CD于点H，易证△ABE≌△EMF，则BE=MF，由第（2）问可知∠GCF=α-90°=90°，易得∠FCM=30°，进而可证△MCF为等腰三角形，于是CF=MF，设BE=x，CD=3，则CF=x，DG=1，CG=2，在Rt△CFH中，易得CH=x，FH=2x，又由FH∥AD得△ADG∽△FHG，则=，即=，解得x=，所以CE=，故=.

思路2：构造一线三等角全等+作垂线构造X型相似三角形.

解法2：如图5，在BC延长线上作∠CMF=120°，过点A作AH⊥CD延长线于点H，易证△ABE≌△EMF，则BE=MF，由（2）可知∠GCF=α-90°=90°，易得∠FCM=30°，进而可证△MCF为等腰三角形，于是CF=MF，设BE=x，CD=3，则CF=x，DG=1，CG=2，在Rt△ADH中，易得DH=，AH=，HG=，易证△AGH∽△FGC，则=，即=，解得x=，所以CE=，故=.

思路3：构造一线三等角全等+作平行线构造A型相似三角形.

解法3：如图6，在BC延长线上作∠CHF=120°，过点F作MN∥CD交AD，BC的延长线于点M，N，易得△FHN为等边三角形，由第（2）问可知∠GCF=α-90°=90°，易得∠FCH=30°，进而可证△HCF为等腰三角形，又易证△ABE≌△EHF，则AB=EH，BE=HF=CH，设BE=x，CD=3，则HN=FN=x，MF=3-x，又MF∥DG得△ADG∽△AMF，则=，即=，解得x=，所以CE=，故=.

评析：上述解法1、解法2和解法3，借助直线BC上有两个等角∠AEF=∠ABC=120°，尝试在直线BC上再构造一个120°的等角，形成“一线三等角全等”模型，得到相关边和角的关系，进而再作平行线或垂线构造“X型”“A型”相似三角形求得比例关系，从而使问题顺利解答.此种思路是最符合学生“最近发展区”的思维方式，要求学生具备较强的数学建模素养、逻辑推理能力和数学运算能力.

思路4：借助菱形邻边和对角相等构造全等三角形.

解法4：如图7，过点A分别作AM⊥CD，AN⊥CB，交CD，CB延长线于点M，N，易证△ADM≌△ABN，则AM=AN，DM=BN，∠DAM=∠BAN=∠EAF=30°，于是∠MAG=∠DAE，又由AD∥BC得∠AEN=∠DAE，所以∠MAG=∠AEN，进而可证△AMG∽△ENA，则=，设BE=x，DG=2，则CD=6，DM=3，GM=5，AM=AN=3，即=，解得x=，故=.

评析：解法4依托菱形的四边相等和对角相等得到一组边AB=AD，一组角∠ABC=∠ADC，于是联想作垂线构造一组直角，利用全等三角形性质得到对应边和对应角相等，进一步发现△AMG∽△ENA，运用相似三角形的性质使问题最终得以解决.

思路5：借助菱形对角线平分对角构造相似三角形.

解法5：如图8，连接AC，过点E作EH⊥BC交AC于点H，易证△ADG∽△AHE，则=，设HE=x，DG=2，则HC=2x，CE=x，CD=6，AC=6，即=，所以AH=3x，AC=5x，进而5x=6，解得x=，所以CE=，BE=，故=.

解法6：如图9，连接AC，过点D作DH⊥CD交AF于点H，易证△DAH∽△CAE，则==，即CE=DH，由第（2）问可知∠GCF=α-90°=90°，进而可证△DGH∽△CGF，则CF=2DH，设BE=x，则CF=x，DH=，CE=，故=.

解法7：如图10，连接AC，过点C作BC⊥MH交AE，AD延长线于点M，H，易证△DAG∽△CAM，则有==，即CM=DG，设DG=2，则CM=2，CD=6，AC=6，DH=3，CH=3，AH=9，又由CE∥AH得△MCE∽△MHA，则=，即=，解得CE=，进而BE=，故=.

评析：以上解法5、解法6和解法7，借助菱形对角线平分对角的性质可得∠CAE=∠DAG，进而联想再通过作垂线构造一个角和已知角∠ADG=120°或∠ACE=30°相等，形成与△ADG或△CAE相似的三角形，利用相似三角形的性质求解.此种思路较为隐蔽，需要学生具有较强的洞察力，对图形结构和菱形性质比较熟悉才能使问题迎刃而解.

思路6：构造等腰三角形+利用相似三角形求解.

解法8：如图11，在AB上截取AH=CE，易得BH=BE，连接HE，在AD上截取DM=DG，连接MG，易得△DMG为等腰三角形，易证△AHE≌△ECF，则AH=CE，HE=CF，设BE=x，CD=3，则AH=CE=3-x，HE=CF=x，DM=DG=1，又因为∠MAG+∠MGA=30°，且∠MAG+∠HAE=30°，所以∠MGA=∠HAE，进而可证△AHE∽△GMA，则=，即=，解得x=，故=.

解法9：如图12，连接AC，在AC上取点M和H，使得EC=EM，GC=GH，易得△EMC和△GCH为等腰三角形，易得∠EMC=∠GHC=30°，∠AHG=∠AME=150°，而∠AEM+∠MAE=30°，且∠HAG+∠MAE=30°，所以∠AEM=∠HAG，进而可证△AME∽△GHA，则=，设BE=x，CD=3，则AC=3，AH=，CM=（3-x），AM=x，即=，解得x=，故=.

评析：解法8和解法9根据△AEF和△ABC都是顶角为120°的等腰三角形，且三边之比为1∶1∶，尝试再构造顶角为120°的等腰三角形形成相似，利用相似三角形性质求解.此种思路需要学生具有较强的构图能力和大胆尝试的精神，以及较强的几何直观核心素养.

三、教学启示

1.根植新课标，强化教材习题拓展

新课标指出，坚持素养立意，凸显育人导向，以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，综合考查“四基”“四能”与核心素养.本题由人教版教材八年级下册第69页练习第14题改编而来，源于教材，又高于教材，真正体现了依标命题，以学定考，以考促教的核心理念.课程标准是教学和中考命题的重要依据，而教材是教学和备考复习的有效载体，是达成核心素养的知识载体和能力沃土，课本中的例题、习题是命题之源.因此，在日常教学中，教师要认真钻研教材，对课本例题、习题或者阅读材料等进行深入研究，对其进行变式、推广、迁移和整合，引导学生深度学习和思考，挖掘数学本质，让教学为思维而教、为思维而学，进而培养高阶思维.

2.探寻一题多解，突出通性通法

数学家哈尔莫斯说：“数学真正的组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏.”解题教学不仅要讲“怎么做”和“为什么这样做”，更要讲“还可以怎么做”.如在解答本题时，我们只要抓住等腰三角形的核心性质，注重基本模型的提炼与融合，如“一线三等角”模型、“A型”和“X型”相似模型等，将多个几何模型叠加和重构，就能找到破题的方法，而且解法丰富多样.因此，在日常教学中，教师要引导学生多开展一题多解讲练教学，开阔学生思路、发散学生思维，使学生学会多角度分析和解决问题，开拓解题视野，从而达到多解归一，加深学生对数学原理、通性通法的理解，更好地理解数学知识的本质.

3.发展模型观念，涵育核心素养

数学家波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题.”因此在解题教学过程中，教师要引导学生总结反思，积累解题经验、解题方法，提炼数学模型，对模型的本质即基本图形的构造有深刻的理解，培养学生的模型意识，感悟模型思想，发展模型观念，使学生在解题中做到“思”之有形、“做”之有图、“解”之有法的归一境界，从而内化数学知识和数学思想方法，由此培养学生的几何直观素养，真正发展学生的核心素养.

【本文系2021年云南省教育科学规划项目“初中数学专题复习课中开展‘一题一课’的教学实践研究”（项目批准号：BFJC21027）的阶段性研究成果】