单元整体视角下数与式运算贯通教学的实践探索

《义务教育数学课程标准》（2022年版）（以下简称“新课标”）指出，在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系；重视单元整体教学设计，推进单元整体教学，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联.单元整体教学是让学生掌握学科核心知识、理解学习过程、把握学科本质及思想方法，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，进而发展核心素养.从有理数和整式的运算情况看，七年级学生存在混合运算时运算符号判断易错，整式化简时去括号易错，合并同类项时系数相加易错等普遍问题，在解一元一次方程中应用到数与式相关运算时也会出现错误.七年级数学新教材将于2024年秋季学期使用，为了解决学生的运算问题，帮助学生梳理运算的关键点，整体把握运算算理和运算律在数、式和解一元一次方程中的内在逻辑关系，笔者就单元整体视角下数与式的运算贯通教学进行设计与实践.

一、教学内容的结构化整合

1.内容分析

有理数的运算、整式化简、解一元一次方程属于初中数与代数中的数与式、方程与不等式内容板块.新课标在教学提示中提出，在数与式的教学中，教师应把握数与式的整体性.大单元教学的主要目标是让学生掌握核心知识，理解学习过程，把握学科本质及思想方法.如图1，有理数的运算，上接小学四则运算，下接整式的运算、解方程.从大单元视角对有理数的运算进行整合教学，有利于发展学生的核心素养.

本节课学习的内容：第一，有理数加法法则和乘法法则的复习及应用，数的运算律的使用是为了简化运算.在小学“数与运算”“数量关系”两部分内容中，学生系统地学习了四则运算，并且了解了减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是乘法的逆运算.初中阶段数系扩充到实数范围，四则运算可以推广延续，在思维层次上要求学生具有分类及归纳总结的意识和能力.第二，揭示整式化简的去括号及合并同类项的实质即分配律和加减法的运用.第三，解一元一次方程的过程实质是将有理数的运算在方程两边进行等价变换，最后化成一个最简的方程x=a（即方程的解）.

2.目标确定

根据内容的分析，通过整合梳理，重点掌握有理数的加法法则和乘法法则，根据法则和运算律进行正确运算（运算能力）；通过字母代替数字，知道用字母表达运算规律的推理结论，提升学生对有理数运算的拓展能力（抽象能力）；通过一个类型的式子建立等量关系，揭示一元一次方程与整式之间的关系，从而将有理数的运算应用于等式两边，达到等价变换的目的（应用意识）.

确定以下目标：

（1）通过表格分类复习有理数的加减法和乘除法的法则，让学生产生强烈对比，了解计算时先确定符号再运算的必要性，并能够灵活运用运算律进行简化计算，将分配律推广至整式化简的去括号和合并同类项的方法中.

（2）从数字到字母的转换、从整式到方程的延伸，让学生深刻感受有理数加法运算和乘法运算在数与式的运算推广中的重要作用.

（3）经历有理数运算大单元整合复习的知识衔接，感悟分类思想、模型思想、化归思想，培养创新意识，发展运算能力、抽象能力、应用意识等核心素养.

3.学情分析

进入初中阶段，知识以有理数的运算接序，学生在已有四则运算法则的经验基础上，推广应用并提炼出有理数的运算法则.七年级学生正处于由感知向意识和能力进阶的关键时期，在符号确定、知识迁移等方面还不够成熟.因此在这个阶段的学习过程中，教师将知识和方法相关联，揭示运算的本质特征，是促进学生运算能力发展的重要手段.

二、教学过程的进阶实施

单元整体教学设计与知识结构化梳理就是将显性知识与隐性关联点相互交融，并将其设计贯穿于整个学习过程中.显性知识：有理数的运算（加法运算、乘法运算和混合运算，运算技巧）、整式的加减运算、解一元一次方程；隐性关联点：法则是运算的起点，混合运算技巧应用是运算的升华，用字母代替数字是运算的推广，在等号两边作等价运算是运算的应用（如图2）.

1.运算法则与算理——运算起点

任务一：填一填

同号两数相加，取______ 符号，并把绝对值  ______ ；

同号两数相乘，结果为   ______，并把绝对值 ______  .

（绝对值不相等的）异号两数相加，取______   的符号，并用 ______ ；

异号两数相乘，结果为   ______，并把绝对值______   .

任何数与0相加，都得    ______，任何数与0相乘，都得 ______  ;

互为 ______  的两数相加，结果为 ______  ;

互为 ______  的两数相乘，结果为 ______  .

2.准确快速进行运算——运算巩固

任务二：做一做

（1）计算练习：

-1+=  ______      ×（-）=______

12-7×（-2）=   ______   16+6÷（-2）=______

-1×1×1×1= ______      （-2）×（-2）=______

（2）运用运算律进行简便运算：

-+1-= ______      （-）×15×（-1）=______

（-+）×36=   ______  -2×+3×=______

设计理念：有理数的运算包括加法、减法、乘法、除法、乘方运算，教师利用转化思想，最终整理出主要的两种核心运算：加法运算和乘法运算，梳理这两种运算法则，合在一起采用分类、归类思想以填空形式，明确如何先确定符号，再进行绝对值运算.这个思路源于新教材习题2.2复习巩固第7题：

1×（-5）=  ______  ；     1÷（-5）=   ______ ；

1+（-5）=   ______ ；     1-（-5）=    ______；

（-1）×（-5）=   ______ ；   （-1）÷（-5）= ______   ；

（-1）+（-5）= ______   ；   （-1）-（-5）= ______   。

由一般到特殊，教师带领学生对运算法则进行复习.之后是一组围绕法则的巩固练习，包含混合运算.运算的最终目的就是简化结果，延伸到利用运算律进行简便运算，乘法分配律的两种用法都有涉及.

3.由数的运算到式的运算——运算推广

任务三：想一想

-2×+3×，上述运算把数字换成字母a时，则有：-2a+3a=    .

分配律逆用：ab+ac=a（b+c）.

从下面展示的式子中找到同类项，并进行合并：

x，-p2，-5x，-2x2，-（x+y），-3p2，2x2，7ab，3（x+y）.

设计理念：由数到式的转换利用新教材习题2.2拓广探索第15题的思路：

利用分配律可以得到

-2×6+3×6=（-2+3）×6，

-2×（-5）+3×（-5）=（-2+3）×（-5）.

如果用a表示任意一个数，那么利用分配律可以得到-2a+3a等于什么？

小学阶段在数量关系的教学中，用字母表示数的教学要设计合理的实际情境，引导学生会用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质、规律.初中阶段数与代数的学习是学生理解数学符号，以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容，是初步形成抽象能力、推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.新教材内容组织更加注重核心素养发展的一致性，通过设计相应内容，让学生经历从数的具体计算过渡到式的抽象运算过程，为进一步学习方程、不等式和函数等内容奠定基础.七年级新教材第二章在介绍完有理数的加、减、乘、除、乘方运算后，利用分配律进行简便运算时，引导学生进行数与式的转换.在教学设计中，教师应充分利用教材资源，关联知识要点，做到将运算进行推广.

任务四：练一练

分配律：a（b+c）=ab+ac，可以看成是    的方法，去括号化简-2（-2y2+5xy-x2）时，有如下结果，请判断是否正确.

A.4y2-5xy+x2（  ）  B.-4y2+10xy-1x2（  ）

C.4y2-10xy+x2（  ） D.-2-2y2+5xy-x2（  ）

正确结果：                 .

将下列各式去括号：

5（x-3）=       -4（-x+5）=

（1-x）=       -（x-1）=

思考：请将上述式子两两组合，建立等量关系，是关于x的     .

设计理念：学生在小学阶段初步感知方程形成，在初中阶段完整学习方程的概念，在方程概念的形成过程中，重点分析“如何构建等量关系式”这个算理，从而构造“方程”这个运算对象，通过将含有字母x的一次二项式建立等量关系，打通式与方程间的运算关联点，从而将运算在等号两边合理应用.

4.从算式到方程——运算应用

任务五：解一解

解方程：=-.

解：去分母：3（1-x）=-2（x-1）（有理数乘法）

去括号：3-3x=-2x+2（整式化简）

移项：-3x+2x=2-3（整式加减）

合并同类项：-x=-1（整式加减）

系数化为1：x=1（有理数的乘除法）

设计理念：解方程的思想是根据等式的基本性质进行等式变形，最终化归为x=a的形式.等式的基本性质涉及有理数和整式的运算.教师让学生理解数与式的运算实质是简化的过程，最终指向问题解决——解方程.

5.课堂小结（如图3）

三、课后反思与建议

1.生态创新地使用教材资源，揭示数学本质

作为承载有理数运算的单元整体教学，揭示知识之间的内在关联非常重要，问题的串联尤为关键，复习加减法、乘除法法则，对法则进行巩固，在使用分配律时将数字换成字母，自然而然就生成整式化简.由整式到方程的转变，运算的实质没有变，需要串联出等号两边同时作等价运算.在人教版新教材七年级上册习题、练习的提示中找到串联思路，能够让有理数的运算方法在整个初中代数运算体系中得到推广.

2.坚持“以学定教”“以学为主”的生态定位，促进学生发展

“以学定教”是教学定位的基本策略，任务驱动是“以学为主”的重要路径.新课标指出，根据学生在数与式运算中的突出问题来设计课程，让学生明白有理数的运算最核心的就是加法运算和乘法运算.新教材中用了大量引导、探索、操作、规律揭示等总结法则，以筑牢学生的运算基础.单元整合教学不是将所有知识点罗列覆盖，而是引导学生发现数学知识的内在联系和一致性，让学生用单元整体的眼光来进行运算，并通过任务驱动让学生提升运算能力.

3.强化运算思维训练，培养学生代数推理能力

新课标明确提出，能够运用符号运算、形式推理等数学方法，分析、解决数学问题，能够通过计算思维将各种信息约简和形式化，进行问题求解与系统设计；由数的运算推广到式的运算，以及解一元一次方程思想的应用，在形成符号意识的同时，发展运算能力.本节课力图让学生理解运算的关联，掌握相关的运算求解方法，促进代数推理能力的提升，让学生形成一定的运算能力、推理能力和抽象能力.