优化试卷结构·突出主干知识·深化关键能力

2024年高考数学新课标Ⅱ卷持续深化考试内容改革，考主干、考能力、考素养，重思维、重创新、重应用，突出考查学生的思维过程、思维方法和创新能力.试卷创设全新的试题结构，减少题量，为学生预留充足的思考时间，加强思维考查，强化素养导向.

一、试卷整体评析

1.优化试卷结构，梯度设置合理

2024年高考数学新课标II卷题量从往年的22道题调整为19道题，其中解答题变为5道，分值增加为77分，优化了多选题的赋分方式，强化了考查思维过程和思维能力的功能.多选题、解答题的分值及赋分规则的变化能够有效地增加数学试题的区分度，从而区分出在高中数学方面表现出不同发展水平的学生，并拉开不同程度学生之间的差距.同时试卷打破以往的命题模式，灵活、科学地确定试题的内容和顺序.机动调整试题顺序有助于打破学生机械应试的套路，打破教学中僵化、刻板的训练模式，防止猜题押题，同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.2024年高考数学新课标Ⅱ卷考点分布如表1所示.

试题易中难比例为5∶7∶3，试卷中简单题和中等题共116分，体现2024年高考数学新课标Ⅱ卷植根教材，重视基础、启发课堂德育的理念.对比2023年试题，选择题难度略降，填空题难度相当；中等难度题有一定计算量，需要综合运用知识求解；层次高的难题，大约占34分，试题重视学生的思维创新和综合能力，考查逻辑推理、数据分析、数学运算等核心素养.

2.聚焦主干知识，深化基础考查

试卷在选择题、填空题、解答题三种题型中都加强了对主干知识的考查，如第6、9、15题考查三角知识；第7、17题考查立体几何知识；第5、10、19题考查解析几何知识；第4、14、18题考查概率统计知识；第8、11、16题考查函数知识.这些试题依据数学课程标准，深化基础考查，加强教考衔接，发挥高考试题服务教学的功能，引导教师在新高考背景下“依标施教”，更多地关注教学本质，注重通性通法，淡化特殊技巧，强调知识的生成与知识之间的联系；引领学生积累数学活动经验，将知识、方法、能力内化，提升数学学习的效率；实现作业题、练习题减量提质.

试卷在选择题和填空题部分均设置了多个知识点，全面考查了集合、复数、平面向量、排列组合、三角函数的图象和性质、几何体的体积、直线和圆等内容，实现了对基础知识的全方位覆盖.同时，解答题部分深入考查基础知识，考查学生对基础知识和基本方法的深刻理解和应用.全面考查基础，并不是平均用力，而是对支撑数学的核心知识突出考查，从表2可以看出，近四年高考数学新课标Ⅱ卷突出对三角函数与解三角形、数列、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识的考查，力图让学生构建完整的基础知识体系，为将来发展奠定良好的基础.

3.加强考教衔接，回归教材本源

2024年高考数学新课标Ⅱ卷立足课程标准，考查的内容依据学业质量标准和课程内容，注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用，强调知识的整体性和连贯性，引导教学以课程目标和核心素养为指引，避免超纲教学，注重内容的基础性和方法的普适性，避免盲目钻研套路和机械训练.2024年高考数学新课标II卷试题起点较低，多道试题源自教材而高于教材，充分体现考教衔接.具体内容如表3所示.

如第13题，以人教A版必修第一册复习参考题5第15为题源，考查学生对三角恒等变换和同角三角函数基本关系的掌握情况，以概念、定理、教材习题为命题起点，注重“四基”的考查.

2024年高考数学新课标I卷中也共有15道题源于教材.今年的高考数学试卷已经非常明确地告诉我们，无论是日常教学还是高考备考复习，“回归课标、重视教材才是王道”.我们应坚持这样的观点：课程标准是教材编写、课堂教学、学业评价和高考命题的依据，教材是教学的核心资源，课堂教学应以课程标准为纲，根据学情、利用教材进行创新设计与实施。我们应追求：通过教学，使学生在面对新情境、陌生问题时能独立找到解决方法.

4.注重知识交汇，摒弃题海战术

2024年高考数学新课标Ⅱ卷有多知识点综合考查题目，其侧重在知识的交汇点上命题，汇总如表4：

此类题目共计50分，说明2024年高考数学新课标II卷在反“机械刷题”上下功夫.知识的结合让题目思维量更大，考查学生是否真正掌握相关概念.因此，在教学中，要引导学生明确知识的发生、发展过程，揭示知识的内在联系，帮助学生构建完整的知识体系，关注不同知识之间的联系，引导学生整合各个知识点，形成完整的学科知识框架和思想方法体系，促进知识间的融会贯通.

二、经典试题评析

1.立体几何，聚焦主干知识

2024年高考数学新课标Ⅱ卷充分考查立体几何这一主干知识，突出基础性考查，紧扣教材，全面考查立体几何核心知识和基本概念，深入考查几何体的体积、空间中直线与平面的位置关系、线面角和二面角的求法.试题在基础性考查中，依然体现出空间想象、逻辑推理、综合分析等能力的重要性，引导数学教学要重视课程标准，重视教材.如：

例1 （2024·新课标Ⅱ卷·17）如图1，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=5，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F满足[AE][→]=[AD][→]，[AF][→]=[AB][→]，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=4.

（1）证明：EF⊥PD；

（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.

【评析】第（1）问的求解可借助余弦定理求得EF=2，再利用勾股定理的逆定理可证得EF⊥AD，则EF⊥PE，EF⊥DE，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；第（2）问可根据线面垂直的判定定理与性质证明PE⊥ED，再建立空间直角坐标系并利用空间向量法求解面面角即可.

2.三角知识，落实计算基础

2024年高考数学新课标Ⅱ卷考查三角函数和解三角形主干知识，涉及正弦函数的图象和性质、三角恒等变换、同角三角函数基本关系、正弦定理、余弦定理等知识.试题突出考查了三角函数和解三角形知识的内部联系，强调数学本质，注重计算能力，考查学生对三角函数必备基础知识的掌握情况，考查学生是否形成了完整的知识体系和合理的认知结构，突出考查数学运算核心素养.如：

例2 （2024·新课标Ⅱ卷·13）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=+1，则sin（α+β）=    .

【评析】本题源自数学教材人教A版必修第一册复习参考题5第15题.要求学生能灵活运用三角恒等变换和同角三角函数基本关系基础公式.本题有两种常见解决思路.一是根据两角和与差的正切公式tan（α+β）=-2，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系求得sin（α+β）=-；二是利用弦化切的方法即可求解.

3.概率统计，体现应用价值

2024年高考数学新课标Ⅱ卷考查概率统计主干知识的两道试题情境均取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，贴近生活，具有现实意义.试题将抽象的数学概念与实际生活相结合，引导学生注重在现实情境中发现数学问题，通过阅读情境材料理解数学问题的本质，建立数学模型，通过逻辑推理和数学运算来解决问题，试题突出数学模型的应用，很好地体现了概率统计内容的应用价值.如：

例3 （2024·新课标Ⅱ卷·4）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理得表5：

根据表中数据，下列结论中正确的是（  ）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050 kg

B.100块稻田中亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1000 kg之间

【评析】本题以新型水稻的亩产量为命题背景，情境真实，体现概率统计知识在我国农业发展中的作用，是一个关于样本数字特征的现实情境问题，考查学生整理和分析数据的能力.处理本题的方法是排除法，要求学生灵活运用中位数、平均数、极差等统计知识对选项逐一验证.

4.函数导数，突出思想方法

2024年高考数学新课标Ⅱ卷全面细致地考查了函数的性质、导数的几何意义、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数的极值等基础知识，突出考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.如：

例4 （2024·新课标Ⅱ卷·16）已知函数f（x）=ex-ax-a3.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.

【评析】试卷打破以往固有模式，机动调整题目顺序，将以往作为压轴题的函数与导数大题安排在第16题，降低了试题难度.本题考查函数与导数知识，深入考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力及化归与转化思想方法.第（1）问考查求曲线的切线方程这一基础知识，先求导，结合导数的几何意义即可求切线方程；第（2）问，有两种处理方法：一是先求导，分析a≤0和a>0两种情况，再利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+lna-1>0，转化为构建函数解不等式问题进行求解；二是先求导，可知f ′（x）=ex-a有零点，可得a>0，进而利用导数求f（x）的单调性和极值，分析可得a2+lna-1>0，同方法一即可求解.

三、复习备考策略

1.夯实基础知识，厘清来龙去脉

2024年高考数学新课标II卷题量减少，但仍全面考查基础知识，因此，教师在复习备考中要引导学生全面掌握高中课本中的全部知识点，特别是要熟练运用教材中的概念、公式、定理，不能存在任何知识盲区.同时要加强对主干知识的复习，帮助学生厘清知识架构，构建全面的知识网络，围绕主干知识，深入挖掘，通过一题多解、一题多变、多题一解等高阶思维活动，剖析问题的本质，夯实基础知识，提升学生解决问题的能力，实现精准复习备考.

2.重视教材内容，挖掘习题功能

2024年高考数学新课标II卷多道试题来自课本的例题或习题，因此无论教师还是学生都要在平时的学习过程中重视教材内容，在复习备考中需回归教材，夯实基础，注重对教材上的概念、公式、定理等数学知识的深刻理解，理解数学问题的本质，对概念、公式、定理等进行复盘.学生至少要将课本上的例题、习题全部做一遍，定理、公式要会推导，不留知识盲点，进一步夯实基础，确保基础部分不丢分.教师还要在此基础上对教材中的题目进行变式研究，挖掘习题的背景和功能，进行适当拓展.

3.掌握思想方法，培养核心素养

2024年高考数学新课标II卷中的导数解答题前移至解答题的第二题，圆锥曲线与数列综合题放在解答题的最后一题.在新高考背景下，任何一个板块的内容都可能成为“压轴题”，导数题也可能变成“送分题”.因此，复习时教师要引导学生扎实掌握数学思想方法，提升数学能力.从近几年的新课标卷来看，试题突出对函数、代数与几何、概率与统计三大主题内容的考查，反映的是核心概念、主要结论、通性通法、数学应用和实际应用，关注的是学生的数学思维品质和会学数学的能力.因此，在复习备考中，教师要引导学生根据实际内容选择不同的数学思想方法，能够灵活使用数形结合、分类讨论、函数与方程、特殊与一般、转化、正难则反等多种数学思想方法，培养数学核心素养.

4.重视情境教学，培养关键能力

情境化试题是数学高考的常见题型，教师要通过科学合理地创设新情境，引导学生在新情境中进行独立思考、理性分析、准确判断、科学推理等思维活动，运用所学知识分析、解决实际问题.2024年高考数学新课标II卷出现了丰富的试题情境，这就要求教师在复习备考中，重视情境教学，为学生创设适当的教学情境，包括现实情境、数学情境及科学情境，培养学生在新情境中理解新概念、运用新知识、解决新问题的理性思维和综合能力.学生则要在平时的学习中注重思维方式，多角度进行思考、探究，提升数学关键能力.