在数学作业设计中渗透建模素养

摘   要：“双减”政策背景下，如何做好作业设计与课后服务是众多教育工作者研究的热点。教师利用课后服务时间和课余时间培养学生建模素养，以项目式作业的形式选取源于生活实际的，新颖有趣的题材，引导学生主动融合多学科知识进行求解。通过分析当前中小学数学建模与作业设计的现状，提出在作业设计中渗透建模素养的基本路径与案例分析，能为教师作业设计中建模题材的设计提供一定借鉴。

关键词：初中数学；数学建模； 双减；作业设计

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2024）05-0032-04

一、“双减”背景下，在数学作业设计中渗透建模思想的必要性

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）中明确提出数学学科六大核心素养，数学建模是其中之一 ，《课标》指出“数学建模是一种素养，它需要对要解决的现实问题进行数学抽象，并将其用数学语言表达，用数学方法构建出适合的模型从而解决实际问题”。《课标》提出“四基”“四能”与核心素养，强调要培养学生学会用数学的眼光观察现实世界；学会用数学的思维思考现实世界；学会用数学的语言表达现实世界。当前《课标》都在强调对学生数学应用能力和核心素养的培养，而数学建模素养需要学生有较强的数学应用能力，同时这也是我国中小学生核心素养中较为薄弱的模块。

“双减”政策要减轻义务教育阶段学生过重作业负担，提升学校课后服务水平，作业要少而精，要有针对性、代表性和新颖性，要注重对学生数学思维能力的培养。而数学建模旨在培养学生的数学应用能力，整个建模过程需要多次迭代重复检验才能完成，这一过程在时长有限的课堂教学中很难完成。因此，教师在减少书面作业的基础上，设计既能巩固数学知识，又能提高学生建模素养的作业，并利用课后服务时间和课余时间组织的建模活动是十分有必要的。

二、融入建模思想的数学作业设计的基本原则

1.达标性。严格按照《课标》的要求，深入探究教材的设计目的，了解学生的心理特点，关注学生的兴趣点，设计开发在减轻学生作业负担的基础上，有助于培养学生的高阶思维和数学应用能力、发挥作业延伸与补充功能的题材。

2.减负性。要符合国家的“双减”政策要求，提升学校课后服务水平，创新数学作业形式，充分调动起学生的积极性、主动性和创造性，让学生在作业中感受数学的应用价值。

3.实践性。要让学生真正的参与到数学作业中，按照“最近发展区”的原则为学生选取难度适宜的作业题目，引导学生充分体验探究、尝试与创造的过程，让其真正感受到用数学知识解决生活问题的成就感与价值感，获得直接经验。

4.启发性。作业设计要有创新性、启发性，要引导学生探寻规律、训练思维、培养素养。不仅要让学生在数学作业中巩固知识点，还要学会举一反三，进一步应用知识点。

三、在数学作业设计中渗透建模思想的基本路径

（一）开发校本化作业，利用课后服务时间推进实施

“双减”政策背景下，数学建模活动可以作为校本化作业，充分利用课后服务时间推进和实施。通过建立兴趣小组，按照项目式作业的形式，以学生自主解决为主，教师适时引导为辅的方式组织。此类校本化作业题材的选取可运用与改进教材中“综合与实践”模块，也可由教师选取有价值的，能巩固、延伸和补充所学知识的题目。

在利用课后服务时间落实建模活动时，教师要引导学生以小组分工合作的方式，通过网页搜索或实地观察与咨询，采集数据，做好模型准备工作。当正式开展活动时，教师可利用多个课后服务时间分步实施，引导学生体验模型假设、建立、求解、检验与分析的过程，最终解决实际问题。教师要按照学生的“最近发展区”引导各小组设立变量和概括限制条件，尝试建立数学模型，并在小组质疑讨论中，不断完善模型。整个建模过程需要教师做好充分的前期准备，尽可能预设学生在建模过程中可能遇到的困境，从而在课后服务中能够高效地指导学生顺利完成数学建模活动。

（二）开发学科整合式作业，提升学生数学建模素养

数学建模题材大多是现实生活中的真实情境问题，需要学生挖掘题材中隐藏的有效信息，通过深度整合多学科知识进行求解。这就需要学生具备综合应用和迁移跨学科知识，创造性地解决问题的能力。然而，我国中小学数学教学与作业一直比较重视数学知识内部之间的联系，对于数学与其他学科之间的联系重视度不够。为了改变这一现状，提升学生综合解决问题的能力，《义务教育课程方案（2022年版）》（以下简称《课程方案》）首次提出跨学科学习，以加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求。随着《课程方案》的提出，学校和教师逐渐开始重视跨学科的知识融合，并开始探索和实施跨学科学习活动设计。

在数学建模作业设计中如何引导学生创造性地整合与应用多学科知识，提高学生数学应用能力与建模素养？我们可以借鉴新加坡的特色课程—跨学科的项目作业（Interdisciplinary Project Work，简称PW），学生一般由4～5人组成研究小组，自己选择所要研究的课题，然后学校委派相应的指导教师负责指导。这种作业形式不但增强了各学科内部之间的联系，让学生学会统筹应用各学科的知识，提升学生对所学知识整体的掌握，而且由学生自主选择研究课题，也大大提升了学生的研究兴趣和参与度，在潜移默化中提高自身的综合素养。

（三）在建模活动中，有效发挥作业的评价功能

评价为高质量的作业设计提供了方向，为课堂教学提供了必要的反馈信息。学习评价是组织高质量建模活动的前提，学生建模素养提升的程度需要评价进行测量与评估。但是，当前学生评价大多以纸笔考试为主，虽然这种考试形式比较方便和客观，但是检测结果存在局限性，无法评估学生创造、合作、交流等高阶思维能力。

数学建模题材大多选取于生活生产实践的真实情境问题，活动中教师需要注重过程性评价，对学生知识的综合与创造性应用及时进行有针对性的评价，有效发挥评价的导向作用，为建模活动的顺利开展提供保障。尤其在模型假设与模型建立阶段，教师要根据各小组的进展情况及时给予评价与引导，帮助学生完成薄弱环节。建模活动结束后教师要组织学生开展个人评价与小组互评，数学建模核心素养评价方案可参照梁贯成等编议的《数学建模教学与评估指南》一书中提出的“数学建模能力评价量表”。邵光华，蒋周渠提出可以规定获得“数学建模能力评价量表”中相应数学建模素养水平总分的60%，就可以认定学生达到了该水平。

四、基于数学建模素养作业设计的案例分析

在作业设计中渗透数学建模素养，一是要了解所授学生的年龄特点，已具备的知识基础和生活经验；二是要了解所设计开发的作业是否能巩固课堂新知，是否新颖有趣能吸引学生主动参与；三是要反思作业设计能否提升学生数学思维，增强学生举一反三的能力，培养学生数学应用能力与建模素养。下面以三个具体案例加以说明。

案例1：在小学生学习了加法运算后，笔者设计了“掷骰子”的趣味性作业：老师最近发明了一个掷骰子的小魔术，请同学们回家准备三个骰子，随意掷出这些骰子，现在老师就能预测到你随意掷出的骰子正面和背面各数字相加的结果都是21。请同学们回家自己做实验并记录下来，验证老师这个未卜先知的能力准不准，并试着证明这个原理。

学生们在家里通过多次掷骰子实验惊奇的发现，每个骰子正面和背面的数字相加的结果都是7，那么三个骰子正面和背面各数字相加的结果就是7+7+7=21，识破了教师未卜先知的能力。

这个“掷骰子”的作业，让学生带着怀疑，主动应用课堂新知“加法运算”去验证教师“未卜先知”能力。学生们主动参与性高，趣味性足，此作业不但有效地激发了学生学习的欲望，潜移默化地巩固了新知，而且通过使用列举的方法寻找规律，也有效地训练了学生的数学思维。

案例2：在初中生学习了取整函数和分段函数后，笔者设计了“今天我做地铁售票员”的作业：石家庄地铁的开通大大缓解了市内交通拥堵的问题，现在石家庄公共交通系统推出“2元畅享地铁”活动，即地铁单程票价不限里程均为2元。那你知道石家庄地铁开通时是如何设置收费标准的吗？如果地铁恢复原先的收费标准，你能设计一个方案，帮助乘客很快地买到合适的车票吗？

学生们或通过网上搜索或通过咨询地铁售票员了解到石家庄地铁设置的收费标准：

单程票价：起步价6公里以内2元，6～20公里每递增7公里加1元，20～36公里每递增8公里加1元，36～54公里每递增9公里加1元，54公里以上每递增10公里加1元。

由于石家庄地铁票收费是按“分级递进，递远递减”的原则，所以即便总路长按照分级计算后，最后的路长不足相对应递增的公里数也要增加1元。有的学生发现用取整函数无法解决而陷入困境，有的学生则通过网络搜索学习到上取整函数与下取整函数，有效地设计了地铁售票方案。

这个作业从常见的生活问题入手，不但有效巩固和应用了分段函数与取整函数的知识，而且通过网络自学，学生们进一步拓展学习到上取整函数与下取整函数。提升了学生主动查阅的自学能力，让学生们感受到数学就在身边，培养他们发现数学，应用数学的意识与能力。

案例3：在高中生学习了等差数列后，笔者设计了“模拟落实渐进式延迟退休”的作业。

“十四五”规划纲要提出，要综合考虑人均预期寿命提高、人口老龄化趋势加快、受教育年限增加、劳动力结构变化等因素，按照小步调整、弹性实施、分类推进、统筹兼顾等原则逐步延迟法定退休年龄。以下是渐进式退休方案模拟表，假定2023年开始实行此方案，你能推算哪年出生的男性首次以65岁退休吗？你能根据此表制作实际退休年龄随出生年份变化的计算模型吗？

（注：本表格以男性60岁退休年龄为例，假定每年延长退休时间为2个月，自方案实施之年起逐年累计递增，直至到达拟定的退休年龄65岁，此表格仅为渐进式退休方案的模拟表，仅供参考。）

由渐进式退休方案模拟表的数据可知，随着出生年份数据的递增，延迟退休时间与实际退休年龄数据也在递增，即呈现等差数列。假设男性的出生年份为数列xn，xn=x0+nd1，实际退休年龄为数列yn，yn=y0+nd2。根据模拟表，2023年年龄为60岁的男性，出生年份x0=1963，d1=1实际退休年龄y0=60，d2=因此，xn=1963+1n，yn=60+n。对于首次以65岁退休男性，将yn=65代入yn=60+n，得n=29。又由xn=1963

+1n可知xn+1992，即1992年出生的男性将首次以65岁退休。由此可发现数列长度n是连接出生年份xn与实际退休年龄yn的中间变量，即=，整理可得yn=60+（xn-1963），由于渐进式退休方案达到拟定的退休年龄65岁后将均以65岁退休，因此数列长度n的取值范围为：1≤n≤29。综上可知，男性的实际退休年龄随出生年份变化的计算模型为yn=60+（xn-1963）（n∈n+且1≤n≤29）。

这个作业从社会热点入手，容易引起学生的兴趣，通过观察梳理表格中的数据，学生易发现均呈等差数列的规律。学生只需模仿等差数列的模型，设置参数，寻找关系式，即可建立实际退休年龄随出生年份变化的计算模型。但是该计算模型还需要考虑实际背景，渐进式退休达到拟退休年龄65岁后便不再逐年延长退休时间，因此n的取值范围是学生容易忽略的点。而本题通过提前引导学生推算首次以65岁退休的男性的出生年份，也间接点拨了学生。该作业设计在巩固等差数列知识点的基础上，旨在增强学生的数学应用意识，即通过筛选有效数据，利用已掌握的知识点将实际问题数学化。

“双减”政策颁布后，如何保障作业在发挥其功能与价值基础上落实好政策要求是众多教育工作者研究的方向。因各地学情与教情不同，还需教师根据学生实际情况进行个性化设计。培养学生的建模素养在短时间内对提高学生成绩并不显著，所以很多教师不重视对学生该素养的培养，且其自身建模能力与建模知识体系也很缺乏。希望通过本文的研究对当前的教育现状引起一定的改变。