解题后仍需反思
作者： 李东海
数学知识的学习和能力的培养很多都是通过解题过程来体现的。解题是教学过程中的重要一环，通过解题可以让学生巩固基础知识，掌握数学思想和方法。但一些同学为完成老师布置的任务，在题海里做题，只顾找题目做，而不去针对每一个题目探究解题规律，重视解题的反思。解题后的反思是培养数学解题能力的一个重要环节，反思能帮助我们总结经验，发现规律，形成技能和技巧，还能触类旁通，达到“事半功倍”的效果。
一思“漏点”
由于在解题的过程中，可能会出现这样或那样的错误，因此，解题后，很有必要进行审查自己的解题过程是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确，题目本身是否有误等，如有就要纠正，并防止以后再犯同类错误。
例1.若关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。
误解：
解：
∴ 的取值范围是 ，且 .
反思： 的取值范围真是 ，且 吗？上述的解题完全正确了吗？经反思可知，上面题目中是没有指出这是一个一元二次方程，也就是说它可以是一元二次方程也可以是一元一次方程。在误解中只考虑它是一元二次方程的情况，所以要考虑当它是一元一次方程时的情况。因此，在解题过程中要分两种情况考虑：
正确解法：
解：（1）当方程是一元一次方程，则
（2）当方程是一元二次方程且有实数根，则有
∴综合（1）、（2），当 时，原方程有实数根。
二思“方法”
解完一道题目后，不妨深思一下解题程序，有时会突然发现：这种解决问题的思维模式竟然体现了一训重要的数学思想方法，它对于我们解决一类问题大有帮助。因此，解题后需要想一想解题方法，归纳一下解题技巧，有利于完全掌握一类题目的解题思路与方法，提高举一反三的能力。
例2.如下图，已知 ，且 ， ，求 的度数。
解：如图，过点 作 ，则
∵
∴
∴
∴
答： 的度数为 。
反思：本题解法的巧妙之处就在过 作 的平行，将所求的角 分为两个角，然后就可以用平行线的有关知识来解决了。除以上这种方法之外，还有没有第二种方法呢？显然，这种方法之外，还可以通过延长 （或 ）交 （或 ）于点 ，利用平行线的性质与三角形的外角性质进行解题，根据这种思路可得如下解法：
解：如图，延长 交 于点
∵
∴
∵
∴
以上两种思路是解这种类型的题目的一种重要的思想方法。下面的题目也可用这种方法解决。
如下图，已知 ，求证： 。
证明：如图所示，过点 作 ，则
∵
∴
∴
∴
∴
∴
三思“多解”
对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法，通过不同的观察侧面，可以使学生的思维触角伸向不同的方向，不同层次，发展学生的发散思维能力。因此，解题后还需思考这道题目还有没有其它的解题方法，养成这种思维习惯，有利于拓展思维空间，得到到灵活多变的解题方法。
例3.如图，已知△ABC内接于⊙O，AE为⊙O的直径，AD为△ABC的高。
求证：∠BAE=∠CAD
证法一：如图，连结BE，
∵AE是⊙O的直径
∴∠ABE=∠ADC=90°
又∵∠AEB=∠ACB
∴∠BAE=∠CAD
证法二：如图，连结EC
∵AE是⊙O的直径
∴∠ACE=∠ADB=90°
又∵∠AEC=∠ABC
∴∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD-∠DAE=∠EAC-∠DAE，即∠BAE=∠CAD
证法三：如图，过O点作OM⊥AB于M，交⊙O于N，则BM=AM，从而∠AOM=∠ACB
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠AMO=90°
∴∠BAE=∠CAD
反思：在证明的多种方法中，总有一种是比较简便的，更重要的是探索一题多解是为了提高我们的思维能力。
四思“变化”
解题后，根据实际情况，深入发掘，改变题目的条件，会导出什么新结论；保留题目的条件结论能否进一步加强；条件作类似的变换，结论能扩大到一般等等。像这样富有创造性的全方位思考，常常是我们发现新知识、认识新知识的突破口，可以增强应变能力，扩大视野，从而提高解题应用能力。
例4.如图，在 ABCD中，AE⊥BD交BD于E，CF⊥BD交BD于F，求：四边形AECF是平行四边形。
变化：在 ABCD中，E、F是BD上的一对动点，且BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形。
总的来说，我们完成解题的目的不是仅仅为了解答习题，而是为了促进知识掌握和技能形成，因此，解答习题必须能做到“举一反三”，发展能力。要达到这一目的，最重要的是解题之后的反思。因为只有解题后的反思才能使我们从具体的习题解答中概括出普遍使用的条件化策略知识，这种知识正是发展能力的关键、举一反三、触类旁通的前提和保证。总之，解题后的反思能对所学知识有较深刻的理解，能促进对知识及技能的提高，达到“事半功倍”的效果。