数学大概念单元学历案的设计路径探究

［摘要 ］研究者深入探究数学大概念单元学历案的设计路径. 通过分析数学大概念的内涵与提取路径、单元学历案的内涵和设计框架，研究者结合“平行四边形”单元学历案的设计案例阐述了提取数学大概念的常见路径、单元学历案的分析框架、“大概念”单元学历案的设计流程，力图为大概念单元深度学习提供有益参考.

［关键词］大概念；单元学历案；设计路径

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出：改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计；帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系［1］.关于结构化的数学知识体系，吕亚军等人提出：从结构化的视角对数学教学内容进行重构和优化，帮助学生建立完整的结构化体系，达成问题解决和有效迁移应用［2］ .这也是新课标下素养导向的单元教学的关键要求.具体而言，数学大概念单元学历案是在数学大概念的统摄下进行单元整体建构，通过先学后教、以学定教的教学方式，设计学历案来激发学生的主动探索精神，解决学生思维发展的低阶性、课时内容的零散性和教学单元之间的割裂性等现实问题，发展学生的数学核心素养.

数学大概念内涵与提取路径

1. 数学大概念的内涵

关于“大概念”内涵，常宁、胡典顺在《大概念统摄下的数学单元教学设计探析》一文中，对“大概念”的内涵进行了阐述.他们认为，国内外对“大概念”的观点基本一致，只是表述上略有不同，比如布鲁纳提出的“基本观念”、埃里克森的“核心概念”以及怀特利的“意义模式”等都具有“大概念”的内涵和意义［3］．不论哪种表述，都说明大概念的内涵是基于知识结构体系建立的，强调深度理解概念的本质，强化知识的应用迁移的基本观念.综上所述，数学大概念是能够反映数学本质、统摄数学知识与方法的核心概念，具有概括性、基础性、迁移性和持久性.

2. 数学大概念的提取路径

刘徽总结了自上而下和自下而上的8条大概念提取路径［4］，但在实际操作中有一定的难度.她认为，只要是学科内容的核心，且能够联通相关内容的理解，就可以作为大概念.为了方便大概念的提取操作，笔者结合大概念的内涵，以“平行四边形”章节为例进行提取路径的分析.重点研究了平行四边形的边、角、对角线之间的关系，这是研究几何图形本质的关键问题，所以围绕数学本质可以提取以下大概念：研究几何图形就是研究组成几何图形的基本元素之间的数量关系和位置关系；研究平行四边形渗透的思想方法为一般到特殊.学生在研究新的几何图形时，往往会先回顾已学过的几何图形的研究方法.例如，将研究三角形所采用的一般到特殊的方法迁移应用到研究平行四边形上，所以围绕思想方法可以提取出以下数学大概念：研究几何图形的思路可以从一般到特殊进行；图形的性质主题要求学生基于直观理解掌握几何基本事实，以及基于基本事实认识并证明图形的性质和关系.因此，围绕核心素养可以提取另一数学大概念：研究几何图形的性质与判定是先通过几何直观感知几何图形及其组成元素，再分析并证明其性质与判定.通过这三个维度的分析，可以提取相应的数学大概念.当然，大概念的提取并不限于这三个维度，比如夏繁军等人在《数学大概念及其提取》中提到：追问学习内容的本质问题也是提取大概念的合适路径.比如在教学“平行四边形”时，从追问的角度提取的大概念有：平行四边形的概念本质是什么？如何研究平行四边形？为什么要研究平行四边形？平行四边形的研究内容有哪些？平行四边形与特殊平行四边形之间的关系及证明等都可以作为平行四边形单元中的大概念［5］.基于以上分析，我们整理出四种常见的数学大概念提取路径：围绕数学知识、围绕数学思想方法、围绕数学核心素养、追问数学本质.

单元学历案的内涵与分析框架

1. 单元学历案的内涵

学历案最早由华东师范大学崔允漷教授提出，它是一种关于学习经历或过程的方案，为学生提供自主学习的规范流程，明确学什么、怎么学、学到何种程度、学完结合目标检测自己是否达到学习要求的一种教学评一致性的设计方案［6］ .单元学历案是以“单元”为设计单位，从期望学生“学会什么”出发，设计并展示学生“何以学会”的过程，帮助学生自主建构单元学习过程的专业方案，它是从学生学习的角度出发，设计的一种体现单元结构化知识体系，实现教学评一致性的单元学习方案.通过单元学历案，让学生经历单元学习全过程，包括大概念、核心问题、单元名称与课时、学习目标、评价任务、学习过程（含资源与建议） 等6个要素.单元学历案的优势主要在于设置了基于学生经验的单元学习活动的目标和任务.李传贵等人指出，学历案实现了从“教”到“学”再到“学会”的两次信息转换，最终指向学生的“学会”［7］ .崔允漷教授提出：单元学历案设计的关键在于单元学习目标要具体明确，体现素养落地；单元学习过程要体现进阶性、结构化与实践性特征；评价任务的设计要先于学习过程，以评促学，确保教学评的一致性［8］ .由此可见，数学单元学历案是以学生学习经历为中心，体现目标评价、过程指导的单元设计方案.

2. 单元学历案的分析框架

编制单元学历案，需要思考在单元学习目标统领下的教学评一致性问题，需要分析本单元“为什么学”“学什么”“怎样学”“学到何种程度”等问题［9］.下面，以“平行四边形”为例，建立基于大概念的“平行四边形”单元学历案分析框架（如图1） .

“大概念”单元学历案的设计流程

新课标理念下，结构化教学要求我们站在“大概念”的高度，基于“大概念”单元学历案进行教学设计.下面，以“平行四边形”章节为例来解析基于“大概念”单元学历案的设计流程.

1.“大概念”教学分析

以“大概念”视角分析教学内容是确定单元学历案的重要环节，其基本思路如下：首先，从整体上把握教学内容，提炼“大概念”，构建“大概念”统领下的单元知识体系；其次，引导学生以“大概念”为框架，构建认知结构知识体系，形成整体、联系、结构化的思维习惯［10］ .以人教版“平行四边形”为例，进行“大概念”教学分析：平行四边形是在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究的几何内容，将平行四边形的角、边特殊化，进而研究矩形、菱形和正方形等特殊平行四边形，认识这些概念之间的联系与区别，明确它们的内涵与外延；探索并证明平行四边形和特殊平行四边形的性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题之间的关系，不断提升学生的合情推理能力和演绎推理能力.可见，本章的学习流程是通过回顾三角形的研究思路类比研究四边形，进一步归纳几何图形的研究思路，由此可确定几何图形的研究思路就是贯穿本章内容的一个大概念.

2. 课标分析

平行四边形是图形性质主题的重要内容，课标要求：理解平行四边形和特殊平行四边形的概念，以及它们之间的关系；探索并证明平行四边形、特殊平行四边形的性质定理和判定定理；能够运用相关的性质与判定进行计算和证明.学业要求：掌握平行四边形的概念，了解图形的特征、共性与区别.在直观理解和掌握几何图形概念的基础上，经历数学结论的论证和验证过程，感悟数学逻辑的传递性，形成几何直观素养和推理能力，发展空间观念和抽象思维.教学启示：引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想，经历图形的分析与比较过程，感悟基本事实的意义；经历几何命题的发现和证明过程，以及几何命题的确立过程；立足学生“三会”核心素养的发展.

3. 教学内容分析

“平行四边形”位于人教版数学教材八年级下册第十八章.教材在该章引言中提出：与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，在现实世界中随处可见.本章将进一步学习平行四边形、矩形、正方形的概念，并在理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识和方法，探索并证明它们的性质定理和判定定理；进一步体会研究图形几何性质的思路和方法，通过观察、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，再通过逻辑推理进行证明.章引言还指出了平行四边形研究的三个主要方面：平行四边形是什么？为什么要研究平行四边形？怎样研究平行四边形？对于这三个问题，章引言给出了相关说明：本章的学习内容是平行四边形，这是现实生活中的常见图形；学习平行四边形的原因是现实世界中物体形状的研究需要；而学习平行四边形的方法则是观察、类比、特殊化［11］ .

4. 学情分析

一方面，学生在小学阶段已经对平行四边形有了初步、直观的认识，这为初中阶段平行四边形的学习研究提供了认知基础.在初中阶段前期，学生学习了点、线、面、角，相交线与平行线，三角形等知识，通过观察、操作等活动，积累了一定的探索经验；并具备了正确分析和使用几何图形的初步能力，同时形成了合作和交流能力.另一方面，八年级学生自我展示意识较强，对新鲜事物颇具好奇心和探究欲，具备了研究平行四边形的能力，但学生分析问题的能力稍显不足，分析思路和书写推理过程不规范.因此，在学习资源的选取与呈现以及学习活动的安排上，除关注学生掌握基本知识外，还应设置自主学习、合作探究等活动环节，关注学生的思维展示.通过体会几何知识的基本思想和思维模式，强化数形结合、化归等思想方法，培养学生的空间观念和几何直观能力，让学生形成良好的思维品质，为将来学习研究其他平面图形奠定基础.

5. 单元目标分析

新课标提出：“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理.由此，“平行四边形”一章的学习目标如下：（1） 类比三角形，明确四边形（特别是平行四边形） 的研究对象、研究内容、研究方法、研究路径.理解平行四边形和特殊平行四边形的概念、性质、判定及其相互关系，会应用这些性质和判定进行相关的计算和证明，提升推理能力. （2） 经历平行四边形的概念、性质、判定的探究过程，明确研究这类图形的基本路径：概念—性质—判定.图形的概念通过属加种差的方式得以确立；图形的性质包括组成图形的基本要素（边、角） 或相关要素（对角线） 之间的数量关系（位置关系）、图形的整体对称性，一般采用“观察（测量、实验） —猜想—验证（举反例或推理证明） ”的方法进行研究；图形的判定则从性质出发，猜想基本的判定条件，并通过举反例或推理证明进行验证.（3） 通过探究特殊平行四边形，掌握研究这类图形的路径和方法，提升研究几何图形的能力，提高学习能力.（4） 通过对特殊平行四边形的探究，体会数学知识之间的内在联系，积累研究四边形和其他几何图形的概念、性质、判定的经验，感悟数学的严谨性、系统性、一般性和一致性，培养理性精神，提升抽象能力、推理能力、几何直观等核心素养.

6.“大概念”单元学历案设计框架

基于课程标准及相关要素的分析，“平行四边形”一章可分为三个教学单元：认识平行四边形、认识特殊平行四边形、总结平行四边形的知识体系与研究方法.这三个单元的学习目的：一是学会对平行四边形进行元素观察与分析；二是能够针对相关元素进行特殊化观察与研究，从而掌握研究一类几何图形的一般方法.由此，笔者设计了基于大概念的“平行四边形”单元学历案框架，如前表1.

结语

“平行四边形”是学生进行几何图形对比学习、研究的关键内容，也是形成研究几何图形基本思路的重要节点．通过设计大概念单元学历案，构建一个以核心大概念为引领、以学生为中心的教学评一致性的学习方案.该方案旨在引导学生形成结构化的知识体系，掌握研究方法，积累数学“三会”活动经验，逐步养成“研究对象在变，思想方法不变，研究思路不变”的数学思维体系.