析高频易错点　促常规教学法

［摘要］2024年安徽省数学中考试卷第20题紧扣《义务教育数学课程标准（2022年版）》，全面考查了“圆”的综合运用. 研究者对学生多种解题方法和高频易错点进行了剖析，进而阐述了对教学的思考.

［关键词］中考数学；解法探析；高频错误；教学思考

2024年安徽省数学中考试卷第20题是一道渗透着命题者思想和智慧的试题，既遵循了常规，又超越了常规.对于大多数学生来说，此题并不陌生，但从阅卷情况的反馈来看，得分率特别低.下面，笔者结合学生求解此题的多种视角和高频易错点进行剖析及反思，不当之处，请同行指正.

试题呈现

题目 如图1，⊙O是△ABC 的外接圆， D是直径AB上的一点，∠ACD 的平分线交AB 于点E，交⊙O于另一点F，FA = FE．

（1） 求证：CD ⊥ AB；

（2） 设FM ⊥ AB， 垂足为M，若OM = OE = 1，求AC的长．

试题简析

该题涉及的基础知识有：圆心角定理、圆周角定理、直径是半径的两倍、等腰三角形的性质、勾股定理等，涉及的基本方法有：线段、弧、圆周角之间相等关系的转化，勾股定理的运用等，涉及的基本技能有：对基础几何问题的规范书写、逻辑推理及简单计算.本题虽为一道基础简单的几何证明计算题，涉及的知识点也不繁杂，然而从中考阅卷的结果来看，此题平均得分不到2.6分（满分10分） .可见，学生对这类几何推理题的掌握并不理想.

多解思路及其分析

此题第（1） 问的解答是完整解题的关键，如果第（1） 问能顺利完成，第（2） 问就比较容易求解.从学生的答题情况来看，第（1） 问解法多样，各种解法难易程度不同，而第（2） 问的解法比较单一，因此，如何突破第（1） 问成为此题求解的关键. 下面，笔者就学生对第（1） 问的多种解题思路进行展示和分析.

视角一 三角形内角和

分析 如图2，直接利用等腰对等角和对顶角相等及圆周角定理.由FA = FE 得∠3 =∠4，对顶角相等得∠4 =∠5，同弧所对的圆周角相等得∠3 =∠FCB，即可得到∠3 =∠4 =∠5 =∠FCB.

思路1 如图2，在△CED 中，通过证明∠5 +∠2=90°， 得到CD⊥AB.

解法1 如图2，因为∠1 =∠2，∠3 =∠4 =∠5 =∠FCB，所以∠FCB +∠1=∠5 +∠2，因为∠ACB = 90°=∠FCB +∠1=∠5 +∠2，所以∠CDE = 90°，则CD⊥AB.

1. 加强学生解题规范性的训练，提升学生综合学习能力

规范性错误是指学生在解题过程中因解题不规范所导致的错误.常见的规范性错误有：追求做题速度，不规范、不准确地分析题干的条件和结论，导致解题思路出现错误；最后的答案不够精简或者不符合题目要求，导致失分等.这就要求教师在教学过程中，注意培养学生的解题规范性，引导学生从审题开始，审读题目条件、检查解题过程及最终答案，尽量减少学生由于解题不规范所导致的失分，进一步提升课堂教学质量及学生学习能力.

2. 加强逻辑推理训练，努力提升学生基本几何素养

逻辑性错误是指学生在解题过程中由于违反逻辑思维的形式和规律所产生的错误.具体表现：以虚假的命题，或者将未经严格证明的真命题直接作为解题依据，违背了逻辑学的“充足理由律”［1］．这就要求教师在教学过程中，立足于课本，从最基本的推理入手，不惜时，不惜力，夯实学生的基本功，以期让学生养成严谨思维、规范表达的良好习惯．

3. 强化识图构图教学，避免策略性错误

策略性错误是指学生在解题过程中出现了方向上的偏差，使思路受阻或者解题过程烦琐，从而出现解题错误．一个数学问题的解决，可采用的策略一定是多种多样的，但一个好的策略不仅可以使解题过程简洁明快，而且决定着问题的最终解决. 而不合理的策略可能产生错误导向，致使问题得不到解决；或者，策略的选择增加了学生思考的时间及求解的难度．所以，课堂教学一题多解的最后一定要追求“最自然”的策略.这就要求教师在教学过程中，一方面把课堂教学的节奏放慢一点、放缓一点，有意识地让学生动动手、画画图，在画的过程中，明确图形各要素之间的逻辑关系，而不是为了所谓的课堂效率一味地直接呈现图形，以致学生的识图能力得不到锻炼；另一方面加强对定理图形、基本图形的识别，掌握基本图形的重要结论及常规处理策略，强化辅助线添加技巧训练，通过怎样添、为什么添、还能怎么添等环节的训练切实提升学生的构图能力，以期达到“一桥飞架南北， 天堑变通途” 的解题效果［2］．

4. 强化观察分析能力，避免心理性错误

心理性错误是指学生虽然具备了解决问题所需的基础知识，但是由于存在心理障碍，以致解题时出现错误．具体表现为潜在假设，即解题者未经对问题的深入考察与研究，仅凭自己的主观臆断就做出了一种“想当然”的直觉判断.这种下意识判断的真实性存疑，当与题目背景相悖时， 就会产生解题错误［3］． 这就要求教师在讲授概念时，不妨慢下来，试着让学生自己组织语言描述事物的概念；学习了新概念，可以借助概念的辨析加深对概念的理解，即要对概念的内涵与外延做出充分解释.利用心理学的“免疫效应 ”，在学生预习或上课过程中，加以重点强调，以发挥“免疫”作用.