欧几里得与理性精神

有一种非常好玩的玩具叫“磁力贴”，有三角形、正方形、正五边形等多种形状，小孩子可以用它拼出更复杂的结构，比如正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。世上仅有以上这五种正多面体，这是欧几里得在《几何原本》里证明的。

美国数学家莫里斯·克莱因这样评价《几何原本》——欧几里得几何的创立，对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的真理，更主要的是它孕育出了一种理性精神。人类任何其他的创造，都不可能像欧几里得的几百条证明那样，显示出这么多的知识都是仅仅靠推理而推导出来的。这些大量深奥的演绎结果，使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们运用这种才能获得成功的信心。受这一成就的鼓舞，西方人把理性运用于其他领域。神学家、逻辑学家、哲学家、政治家和所有真理的追求者，都纷纷仿效欧几里得几何的形式和推演过程。

据说，霍布斯就是受《几何原本》的启发，写下了自己的一条公理：人的本性是利己的，趋利避害支配着人类行为。继而霍布斯阐释自己的政治理想。我们对下面这句话更熟悉——“我们认为这些真理是不言而喻的：人人生而平等，造物者赋予他们若干不可剥夺的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。”这是美国《独立宣言》的第二段，我读到这里的时候，自然会想，为什么说这些真理是不言而喻的呢？作者——就用“作者”来指代这份宣言的撰写者吧——接下来说：“为了保障这些权利，所以才在人们中间成立政府。而政府的正当权力，得自被统治者的同意。”

克莱因说，这份文件以不言而喻的真理作为论证的开头，这些真理与作为任何数学体系的不证自明的公理有同等的作用。文件接下来列举事实，表明英国国王没有为人民提供以上所说的公理和政府应该保障的权利。因此，人民就有权推翻旧政府，建立新政府。莫里斯·克莱因说，这是18世纪广为人知的一份“数学性文件”。

我当然能读明白《独立宣言》的推导过程，但社会科学很多时候不太好玩，就在于“公设”或者“公理”没有得到普遍的认可。回过头来我们看欧几里得的《几何原本》，前面有一串定义，然后是五个“公设”、五个“公理”，如“过任意两点可以做一条直线”“以任意点为圆心，任意长为半径，可以画圆”“彼此能够重合的物体是全等的”“整体大于部分”，等等。《几何原本》中数百个命题，都由这十条公理推出。如果你怀疑其中一条公理呢？比如“公设五”中讲到的平行线，真是这样吗？后世的数学家有自己的怀疑，就发展出了“非欧几何”。

简单而言，克莱因认为，希腊数学对西方文化的贡献就在于“演绎推理法”，这和以往埃及人凭借经验和归纳法获得的知识不一样。知道了三角的正切正弦余弦，就能测出地球直径，就能测出地月之间的距离；有了几何证明方法，就有了逻辑学中的矛盾律和排中律。克莱因由欧几里得出发，讲述绘画与透视、音乐与数学、射影几何与地图绘制，讲伽利略研究自然的定量方法，讲哥白尼、开普勒对宇宙定律的演绎推理，讲牛顿如何领悟飞逝的瞬间（微积分），他也讲述了洛克、休谟、边沁就人文科学提出的公理，他们根据演绎的方法推导出支配人类思想和行为的规律，但到头来，可能只有一条公理被世人所接受：人都是根据个人的利益而行动的。莫里斯·克莱因这趟数学之旅就是他的名著《西方文化中的数学》。

金克木老先生有一篇文章叫《春秋数学·线性思维》，讲我们的思维方式和欧几里得不同，和非欧几何也不同。老先生这一段夹枪带棒，我抄在下面——“例如名人阿Q君的名言：‘儿子打老子。’闲人打阿Q和儿子打老子本是两条平行线，互不相干，但是照Q兄的线性思维非数学公式就可以互换，合二而一，于是平行线相合了。二又不过是一分为二，归根结蒂还是独一无二。这种思维中的线实际上是单一线。线外一点上说是有线好像彼此平行，不过是虚设，真正心中承认的只有一条直线。所以不同能化为同，坏事可以当做好事，灾难能够显出辉煌，说是两条腿走路，往往不过是单足跳跃。所以天理、人欲，正派、邪说，左、右，前、后，说是两点，实际只有一点。从来不容两线平行，承认的是一个否定另一个，一实一虚，一真一假，有此无彼，非全宁无，所‘你死我活’是也。太极生两仪，再生四象、八卦，千变万化不离其宗，万法归一。孔子说：‘吾道一以贯之。’平行线不是两条或多条而是只有一条单行线。这条线是有定向的。一方为正号，是我。一方为负号，是反对我的，异己的。我是对的，所以对的都是我的。反我的是错的，所以错的都不是我的。方向性中有大学问。有时仿佛传说中的神仙张果老倒骑驴。眼见路旁树木房屋在前进而自己在后退，便拼命要拉驴子转过来倒退而前进，其实只要自己转过身来就一切都顺当了。然而不然，线性思维是不转身的，往往以退为进，不知进退。也只有神仙张果老才能发明这种表现线性思维的简明图像。有向线段又有时自认为可以逆转。不怕错，从头再来，好像时间中万事都可以逆转，时光可以倒流。有经验，处处用。没经验，向前闯。不承认线外有任何一点上可以有线和自己的线平行，决不左顾右盼。”

这是东方文化和西方文化比较的大话题，我没资格说话，还是再抄一段，利玛窦《译几何原本引》中的几句——“吾西陬国虽褊小，而其庠校所业格物穷理之法视列邦为独备焉。故审物理之书极繁富也。彼士立论宗旨，惟尚理之所据，弗取人之所意。盖曰理之审，乃在令我知。若夫人之意，又令我意耳。知之谓，谓无疑焉，而意犹兼疑也。然虚理隐理之论，虽据有真指，而释疑不尽者，尚可以他理驳焉；能引人以是之，而不能使人信其无或非也。独实理者明理者，剖散心疑，能强人不得不是之，不复有理以疵之，其所致之知且深且固，则无有若几何一家者矣。”

我希望孩子学好数学，就是信奉“惟尚理之所据，弗取人之所意”。“理之审，乃在令我知”，这是一个很难的学习过程。当年利玛窦翻译《几何原本》也是困难重重，他的合作者徐光启跟他说：“吾避难，难自长大；吾迎难，难自消微。”小学一年级的数学非常简单，十以内加减法，认识几个图形。但我们几个学龄儿童的父母，却总喜欢检查一下各自的数学学习，总喜欢拿几道小学奥数题或者小升初的数学题互相考一考，其中最难的就是“求阴影面积”这一类题，不外是正方形、三角形和圆形相互堆叠，然后有了一片阴影，其解题思路也不外是加辅助线、以相似三角形的比例来计算等，这样做了几道题之后，我的心理阴影面积就很大了。

许多讲解题技巧的书，开头就告诉你，数学知识和解题能力是两回事，学数学不只是知识的累积，解题能力更重要。《几何原本》看着就跟一本习题集似的，且看《钦定四库全书》中《几何原本》卷一第一题，“于有界直线上立平边三角形”，“法曰甲乙直线上求立平边三角形先以甲为心乙为界作丙乙丁圆次以乙为心甲为界作丙甲丁圆两圆相交于丙于丁末自甲至丙丙至乙各作直线即甲乙丙为平边三角形”。这就是四百年前翻译过来的几何题，“有界直线”就是“线段”，“平边三角形”即是“等边三角形”，我们用甲乙丙丁取代字母，文本不加句读。战国时期，欧几里得整理这些习题的时候，手头的工具跟现在小学生文具盒里放的东西差不多——笔、直尺、圆规。

徐光启可以说是古代读书人的典范，出身贫苦农家，19岁中秀才，到42岁才中进士，其间20多年，是在私塾里教书。用现在的职业来看，是个小学教师。我总觉得，凡经过多年寒窗苦读，最后能考上进士的，都具备了Grit精神。Grit，坚毅，现在非常时髦的一个概念。宾夕法尼亚大学的心理学教授安吉拉·达克沃斯以“坚毅”为题做过演讲、写过书，她说，坚毅由激情和坚持两部分组成，二者缺一不可，坚毅关注持久的耐力，而不是强度；坚毅，要对自己的目标保持忠诚。这话由一个美国人说出来，变得时髦了，其实没啥新鲜的。

徐光启翻译《几何原本》之后写了几篇文章做推广，他在《几何原本杂议》中说：“下学工夫，有理有事。此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心，学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。闻西国古有大学，师门生常数百千人，来学者先问能通此书，乃听入。何故？欲其心思细密而已。其名下所出名士极多。”徐老师在这里所说的，就是“柏拉图学园”，据说，当初是为了纪念一位叫阿卡德穆（Academus）的英雄，后来Academus这个词转变为Academy，即“学习的地方”，柏拉图学园门口曾有标语，不懂几何者不得入内。

徐光启接着写道：“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。凡他事，能作者能言之，不能作者亦能言之；独此书为用，能言者即能作者，若不能作，自是不能言。何故？言时一毫未了，不可向后措一语。何由得妄言之。以故精心此学，不无知言之助。凡人学问，有解得一半者，有解得十九或十一者，独几何之学，通即全通，蔽即全蔽，更无高下分数可论。”一道数学题，会做就是会做，不会做就是不会做，不会做就别叨叨。天下很多学问，都是张嘴就来，唯独数学，一个定理没解决，就不能继续推导下去。“若不能作，自是不能言”，这句话实在让我害臊。徐老师接着讲为什么要学数学，“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中才而心思缜密，即中才有用；能通几何之学，缜密甚矣。故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也”。

徐光启继续吹《几何原本》，说此书有四不必，不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得，有“三至三能”，似至晦实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难实至易，故能以其易易他物之至难。徐老师说：“有初览此书者，疑奥深难通，仍谓余当显其文句。余对之，度数之理，本无隐奥，至于文句，则尔日推敲再四，显明极矣。倘未及留意，望之似奥深焉，譬行重山中，四望无路，及行到彼，蹊径历然。请假旬日之功，一究其旨，即知诸篇自首迄尾，悉皆显明文句。几何之学，深有益于致知。明此，知向所揣摩造作，而自诡为工巧者皆非也。一也。明此，知我所已知不若我所未知之多，而不可算计也。二也。明此，知向所想象之理，多虚浮而不可挼也。三也。明此，知向所立言之可得而迁徙移易也。”徐老师最后说，学数学，不能急躁，不能粗心，不能妒忌，不能自满，不能骄傲。“学此者不止增才，亦德基也。”

这是四百年前徐光启老师讲的“为什么要学数学”。从小学一年级到初中，八九年的时间，不过是学会了两千多年前的那点儿数学。

（参考书：《西方文化中的数学》，莫里斯·克莱因著；《书读完了》，金克木著；《徐光启集》，徐光启著） 数学欧几里德